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文档简介
河南省开封市自立学校2021年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知点、、、,则向量在方向上的投影为()A.B.C.D.参考答案:A略2.设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:①;②;③;④其中为真命题的是(
).A.①④ B.①③ C.②③ D.②④参考答案:B①利用平面与平面平行的性质定理可知:,,则,故①正确;②,,则与可能平行,也可能相交,故②错误;③,且,因为,所以,所以,故③正确;④,或,故④错误.综上所述,真命题是:①③.故选.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且、、三点共线(该直线不过原点O),则S200=(
)A.201
B.200
C.101
D.100参考答案:略4.复数,则(
)A.1 B. C. D.2参考答案:B【分析】先化简z,然后结合复数模长计算公式,即可。【详解】,所以,故选B.【点睛】本道题考查了复数的四则运算和复数模长计算公式,难度较易。5.在中,若边长和内角满足,则角的值是A.
B.或
C.
D.或参考答案:C6.若中,则的形状为(
)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰或直角三角形参考答案:D7.复数(i是虚数单位)的虚部是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:D略8.已知集合,,则集合=(
)A.{} B.{}C.{} D.{}参考答案:C9.若方程表示双曲线,则实数的取值范围是(***)A.-2<<-1
B.>-1
C.<-2
D.<-2或>-1参考答案:D10.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是(
)A.[1,4];
B.[2,6];C.[3,5];
D.[3,6].参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“x>1”是“x2>1”的
条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)参考答案:充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解:由x2>1得x>1或x<﹣1.∴“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用向量相等的定义是解决本题的关键.12.若在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是
.参考答案:(-∞,-1]试题分析:转化为在上恒成立,即在上恒成立,令,所以,则的取值范围是(-∞,-1].13.等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
.参考答案:5【考点】等比数列的性质;对数的运算性质;等比数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2,再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案.【解答】解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3.又等比数列{an}中,a1a5=4,即a3=2.故5log2a3=5log22=5.故选为:5.【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.14.若0<α<,0<β<且tanα=,tanβ=,则α+β的值是________.参考答案:15.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_________;的大小为__________.
参考答案:2,16.求曲线与轴所围成的图形的面积为______________.参考答案:17.对于命题:,则是
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.(Ⅰ)求直方图中的值;(Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿,若招生名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;(Ⅲ)从学校的高一学生中任选名学生,这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为,求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)参考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)144;(Ⅲ)的可能取值为
由直方图可知,每位学生上学所需时间少于分钟的概率为,,
,,,.
所以的分布列为:01234
.(或)所以的数学期望为.
19.某工厂生产某种产品,每月的成本C(单位:万元)与月产量x(单位:吨)满足函数关系式C=2+x,每月的销售额Q(单位:万元)与月产量x满足关系式,已知当月产量为2吨时,月利润为2.5万元.(其中:利润=销售额-成本)(1)求k的值;(2)当月产量为多少吨时,每月的利润可以达到最大,并求出最大值.参考答案:(1)因为当月产量为2吨时,月利润为2.5万元,带入得k=9
-------6分(2)设利润为y(万元)当时,
当且仅当x=5时取等号.
当时,
又因为4>3,所以当月产量为5吨时,月利润最大为4万元20.如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).(Ⅰ)求证:PB⊥DE;(Ⅱ)若PE⊥BE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.参考答案:【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.【分析】(I)根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直,结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB,再由线面垂直的性质可得PB⊥DE;(II)分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.设PE=a,可得点B、D、C、P关于a的坐标形式,从而得到向量、坐标,利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组,解出平面PCD的一个法向量为=(1,1,),由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标,建立关于参数a的方程,解之即可得到线段PE的长.【解答】解:(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,….∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面PEB,又∵PB?平面PEB,∴BP⊥DE;
….(Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE,∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),…设PE=a,则B(0,4﹣a,0),D(a,0,0),C(2,2﹣a,0),P(0,0,a),…可得,,…设面PBC的法向量,∴令y=1,可得x=1,z=因此是面PBC的一个法向量,…
∵,PD与平面PBC所成角为30°,…∴,即,…解之得:a=,或a=4(舍),因此可得PE的长为.…21.(10分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;(2)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.参考答案:(方法一)(1)证明:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.(2)=(0,1,0),=(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sinθ=|cos〈,〉|==.于是,解得,所以AM=.(方法二)(1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE
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