人教A版必修2第四章4.2.2圆与圆的位置关系学案

4.2.2圆与圆的位置关系【学习目标】1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系 .3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.问题导学 预可新知夯文苓僦知识点两圆位置关系的判断思考圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为一，「2(riw「2),则⑴当d>ri+「2时，圆Ci与圆C2外离；(2)当d=ri+「2时，圆Ci与圆C2外切；⑶当|ri—「2|vdvri+r2时，圆Ci与圆C2相交；(4)当d=|ri—旧时，圆Ci与圆C2内切；⑸当dv|ri—3时，圆Ci与圆C2内含.梳理(i)用几何法判断圆与圆的位置关系已知两圆Ci：(x-xi)2+(y-yi)2=r2,C2：(x—X2)2+(y—y2)2=r2,则圆心距d=|CiC2|=勺Xi-X22+yi-y22.两圆Ci,C2有以下位置关系：位直大系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d>ri+「2d<|ri—r2||ri—⑵<dvri+r2d=|ri-r2|d=ri+r21图示n^n电I

（2）用代数法判断圆与圆的位置关系已知两圆：Ci：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=O,C2：x2+y2+D2X+E2y+F2=0,x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,将方程联立 22x+y+D2X+E2y+F2=0,消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，则①判别式A>。时，Ci与C2相交；②判别式△=0时，Ci与C2外切或内切；③判别式上0时，Ci与C2外离或内含.TOC\o"1-5"\h\z।一思考辨析判断正误- （.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. （X）.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（X）.从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. （X）.过圆O：x2+y2=r2外一点P（x。，y。）作圆的两条切线，切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.（v/）题型探究 启迪思维掇究董屿类型一两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断例1已知圆M：x2+y2-2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是242,则圆M与圆N：（x—1）2+（y—1）2=1的位置关系是（ ）A.内切 B.相交C.外切 D.外离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案B得两交点坐标分别为（0,0）,（-a,a）.x2+y2得两交点坐标分别为（0,0）,（-a,a）.•••圆M截直线所得线段的长度为 25.$2+-a2=2也,又a>0,•.a=2.，圆M的方程为x2+y2—4y=0,即x2+(y—2)2=4,圆心为M(0,2),半径为ri=2.又圆N：(x—1)2+(y—1)2=1,圆心为N(1,1),半径为「2=1,|MN|=yj0-12+2-12=小「「1—「2=1,「〔+「2=3,1v|MN|v3,，两圆相交.反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程 (若圆方程已是标准形式，此步骤不需要 ).(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长 「1,「2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|「1—「2|,「1+「2的大小关系.(5)根据大小关系确定位置关系.跟踪训练1已知圆C1：x2+y2—2x+4y+4=0和圆C2：4x2+4y2—16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为 ( )A.1或3B.4C.0D.2考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案D解析由圆C1:(x—1)2+(y+2)2=1,圆C2：(x—2)2+(y+1)2=；,得C1(1,—2),Cz(2,4-1),।cci 2-12+-1+22=啦1又「1=1,「2=2"，则「1—「2<|C1C2IV「1+「2,，圆C1与圆C2相交.故这两个圆的公切线有2条.命题角度2已知两圆的位置关系求参数例2当a为何值时，两圆Ci：x2+y2—2ax+4y+a2—5=0和C2：x2+y2+2x—2ay+a2-3=0：⑴外切；(2)相交；(3)外离.考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围解将两圆方程写成标准方程，则Ci：(x—a)2+(y+2)2=9,C2：(x+1)2+(y—a)2=4.•••两圆的圆心和半径分别为 Ci(a,—2),ri=3,C2(—1,a),「2=2.设两圆的圆心距为d,则d?=(a+1)之十(—2—a)?=2a：+6a+5.(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时，两圆外切，此时a=-5或a=2.(2)当1vdv5,即1<2a2+6a+5<25时，两圆相交，此时一5vav—2或一1vav2.⑶当d>5,即2a2+6a+5>25时，两圆外离，此时a>2或av—5.反思与感悟 (1)利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径.②计算两圆圆心的距离d.③通过d,「1+「2,|「1—「2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合.(2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系.跟踪训练2若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2—6x—8y+m=0外切，则m等于( )A.21 B.19C.9 D.—11考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案C

解析由题意可知，圆Cl的圆心Ci(0,0),半径「1=1,|C1C|C1C21=ri+「2,圆C2的圆心C2（3,4）,半径12=工——2 ,小00小00—4m,解得m=9.类型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x2+y2—2x+10y—24=0和x2+y2+2x+2y—8=0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度.考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,・••圆C1的圆心坐标为(1,—5),半径为口=5\/2,圆C2的圆心坐标为(一1,—1),半径为「2=4^又..|C1C2I=2琳，「1+「2=5址+^10,|「1-「2|=|5^2-^10|,|「1—「2|<|C[C2|<「1+「2,，两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0.⑶方法一由(2)知圆C1的圆心(1,—5)到直线x—2y+4=0的距离为d=|1-2X-5|1-2X-5+4|，公共弦长为l=2业2-d2=2^50-45=2^5.方法二设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,

x=—4,x=0,解得 或y=0 y=2,|AB|=^-4-02+0-22=2#.即公共弦长为2\5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆Cl：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=o与圆C2：x2+y2+D2X+E?y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(Di—D2)x+(Ei—E2)y+Fi—F2=0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程， 利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3圆Ci:x2+y2=1与圆C2：x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3：(x-1)2+(y-1)2=25-所截得的弦长为 .4考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题答案,23解析由题意将两圆的方程相减，可得圆Ci和圆C2公共弦所在的直线i的方程为x+y—1=0.又圆C3的圆心坐标为(1,1),其到直线l的距离为其到直线l的距离为d=|1+1-1|#12+12由条件知,「2—Qi1=23，所以弦长为类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线x—y—4=0上，且过两圆x2+y2—4x—6=0和x2+y2—4y—6=0的交点的圆的方程.

考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过两圆交点的圆的方程解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2—4x—6+Xx2+y2—4y—6)=0(A—1),所以圆心坐标为2 2所以圆心坐标为2 2人1+入'1+入B(3,B(3,+y2+x相切又圆心在直线x—y—4=0上，所以；;■—~ ■—4=0,1+入1+入1即入=—7.3所以所求圆的方程为 x2+y2—6x+2y—6=0.x2+y2-4x-6=0,方法二由x2+y2-4y-6=0,得两圆公共弦所在直线的方程为 y=x.y=x, x1=—1, x2=3,由x2+y2-4y-6=0,解得y1=—1, y2=3.所以两圆x2+y2—4x—6=0和x2+y2—4y—6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),3),线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 y-1=-(x-1).y—1=—x—1,x=3,由 得x-y-4=0, y=-1,即所求圆的圆心坐标为(3,—1),半径为V3-32+[3——1]2=4.所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为 (x2+y2+D1x+E[y+F1)+Mx2D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出 小RT.跟踪训练4求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x—2y—4=0的交点且与直线y=的圆的方程.

考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过直线与圆交点的圆的方程解设所求圆的方程为 x2+y2+4x—2y—4+A（x+y+4）=0.y=x,x.两圆x2+y2—1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是（ ）A..两圆x2+y2—1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是（ ）A.内切 B.相交C.外切 D.外离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案B解析圆x2+y2—1=0的圆心为C1（0,0）,半径为「1=1,圆x2+y2—4x+2y—4=0的圆心为C2（2,—1）,半径为「2=3,两圆的圆心距为d=|C1C2I 2-02+-1-02=乖,又「2—「1=2,「1+「2=4,所以「2—「1<d<r1+「2,故两圆相交..圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+（y—3）2=1的内公切线有且仅有（ ）A.1条 B.2条C.3条 D.4条考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案B解析因为两圆的圆心距为3,半径之和为2,故两圆外离，所以内公切线的条数为 2..圆x2+y2—4x+6y=0和圆x2+y2—6x=0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ ）得x2+（1+?）x+2（ 1）=0.因为所求圆与直线y=x相切，所以△=0,即（1+万2—8（入一1）=0,解得入=3,故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.x+y+3=02x-y-5=0达标检测 x+y+3=02x-y-5=0C.3x—y—9=0 D.4x—3y+7=0考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦所在直线的方程答案C解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2,—3)代入，即可排除A,B,D..已知以C(4,—3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是.考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案(x-4)2+(y+3)2=16或(x—4)2+(y+3)2=36解析设圆C的半径为r,圆心距为d=74—02+—3—02=5,当圆C与圆O外切时，r+1=5,r=4,当圆C与圆O内切时，r—1=5,r=6,，圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x—4)2+(y+3)2=36..若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay—6=0(a>0)的公共弦长为243,则a=.考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题答案1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y=-,圆心(0,0)到直线的距离为da=—=*^22—a/32=1,所以a=1.a।一规律与方法- 1.判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系..当两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程..求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.

课时对点练一、选择题.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )A.外离 B.外切C.相交 D.内切考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案C.若圆Ci：(x+2)2+(y—m)2=9与圆C2：(x—m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为(A.2 B.—5C.2或—5 D.不确定考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案C解析两圆的圆心坐标分别为(一2,m),(m,—1),两圆的半径分别为3,2,由题意得mm+22+~—1—m~入=3+2,解得m=2或—5.3.设r>0,圆(x—1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是( )A.内切 B.相交C.内切或内含 D,外切或外离考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系答案D解析两圆的圆心距为d=1V1-02+-3-02=#0,两圆的半径之和为r+4,因为切0<r+4,所以两圆不可能外切或外离，故选D.

所以两圆不可能外切或外离，故选D.4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是 x-y+1=0,则( )A.E=-4,F=8 B,E=4,F=-8C.E=-4,F=-8 D,E=4,F=8考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦所在直线的方程答案Cx2+y2-2x+F=0, ①解析 x2+y2+2x+Ey-4=0, ②①—②可得4x+Ey-F-4=0,EF+4即x+[y-丁=0，由两圆的公共弦所在的直线方程为 x-y+1=0,解得E=-解得E=-4,F=-8,5.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x—4y+4=0有公共点，则r满足的条件是( )A.rv邓+1 B.r>^/5+1C.|r-血<1 D.|r-4|<1考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案C解析由x2+y2+2x—4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为N-12+22=\J5.•••两圆有公共点，|r-1|0,wr+1,5/5-1wrw5JH+1,即-1wr—{5wi, |r-^J5|<1..半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y—3)2=1内切，则此圆的方程是( )(x—4)2+(y—6)2=6(x+4)2+(y-6)2=6或(x—4)2+(y—6)2=6(x—4)2+(y—6)2=36(x+4)2+(y-6)2=36或(x—4)2+(y—6)2=36考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案D解析 由题意可设圆的方程为(x—a)2+(y—6)2=36,由题意，得52+9=5,所以a2=16,所以a=±4..设两圆Ci,C2都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1),则两圆心的距离|CiC2|等于( )A.4B.4加C.8D.8v2考点两圆相切的有关问题题点两圆相切的有关问题答案C解析 二.两圆与两坐标轴都相切，且都经过点 (4,1),两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为 (a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1—a)2=a2,(4—b)2+(1—b)2=b2,即a,b为方程(4—x)2+(1—x)2=x2的两个根，整理得x2-10x+17=0,-a+b=10,ab=17.(a-b)2=(a+b)2-4ab=100—4x17=32,•|C1C2I=勺a-b+~a—b-[32~x2=8.二、填空题.若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2—2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是.考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围

答案a2+b2>3+2^j2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为 (a,0),啦和(0,b),1.因为两圆外离，所以al32+b2>2^2+1,即a2+b2>3+2^2..两圆相交于两点A(1,3)和B(m,—1),两圆圆心都在直线x—y+c=0上，则m+c的值为.考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案3解析由题意知直线AB与直线x—y+c=0垂直，•kABx1=—1,3——11—m•AB的中点坐标为(3,1).又AB的中点在直线x—y+c=0上，•3—1+c=0,..c=—2)・m+c=5—2=3..圆x2+y2=50与圆x2+y2—12x—6y+40=0的公共弦长为考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点两圆公共弦弦长问题答案25.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x—3)2+(y—4)2=r2},其中r>0，若APB中有且仅有一个元素，则r的值是.考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案3或7解析•••APB中有且仅有一个元素，・••圆x2+y2=4与圆(x—3)2+(y—4)2=r2相切.当两圆内切时，由2+4当两圆内切时，由2+42=|2—r|,解得r=7；当两圆外切时，由寸32+42=2+r,解得r=3..・r=3或7.12.经过直线 x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过直线与圆交点的圆的方程答案x2+y2—；x—%—；=04 4 4cc 3解析 由已知可设所求圆的方程为 x2+y2—2+Xx+y+1)=0,将(1,2)代入，可得入=故所求圆的方程为2 2故所求圆的方程为2 23 3 11…—4-=o.三、解答题13.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心02(2,1).(1)若圆02与圆01外切，求圆02的方程；(2)若圆02与圆01交于A,B两点，且|AB|=2、/2,求圆02的方程.考点求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点求过两圆交点的圆的方程解(1)设圆02半径为「2,因为两圆外切，所以|。1。2|=「2+2.又|0102|=^22+[1——1]2=2#,所以「2=|。1。2|-2=2(72-1),故圆02的方程为(x—2)2+(y—1)2=12—8位.(2)设圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,因为圆01