2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末数学试

题

一、单选题

1.若复数z=T+3i,i为虚数单位，则z的共辗复数为（）

A.l+3iB.l-3ic.T-3iD.3-i

C

【分析】根据共甄复数的概念求解即可

【详解】复数z=T+3i的共辗复数为T-3i

故选：C

2.一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机

抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面

说法正确的为（）

A.男队员应抽取12人B.男队员应抽取16人

C.女队员应抽取6人D.女队员应抽取14人

B

【分析】根据分层抽样分别计算抽取的男女队员人数即可得解.

282-2

------=—56x—=16

【详解】抽样比为56+427,故男队员应抽取7人，女队员应抽取

42x-=12

7人，

故选：B

3.若何=应，入（-"）,Z与否共线，则向量£的坐标可能为（）

A.1（I1）B.

也_逅〕

2'2、

\/D."一

A

【分析】利用卜卜夜，向量共线的坐标运算逐项判定可得答案.

【详解】若£则卜卜友,"（TJ）=-。，-1）=工,故A正确;

若"（L1）,则卜卜友,-1X1H1X1,故B错误；

a={-HI娓（八、C

若J2人则卜卜r修力—了故°错误;

若”亍可，则BM,-Txl<-l）x-^故D错误.

故选：A.

4.下列命题正确的为（）

A.两条直线确定一个平面

B.一条直线和一个点确定一个平面

C.若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点

D.若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线

D

【分析】根据空间中几个基本事实（公理及其推论）判断即可.

【详解】选项A：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，两条异面直线不能确

定一个平面，A错误.

选项B：当点在直线上时，则不能确定一个平面，B错误.

选项C：直线和平面的关系分为线在面内、线面平行、线交，当线交时，有一个公共

点，C错误.

选项D：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，若两条直线没有公共点，则这

两条直线是平行直线或异面直线，D正确.

故选：D.

5.下列说法正确的为（）

A.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与5中恰有一个发生的概率大

C.事件A与事件8中同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小

D.设A,B是一个随机试验中的两个事件，则尸（4UB）=尸（4）+尸⑶-尸⑷劣）

D

【分析】根据互斥与对立事件的定义判断A,再结合概率的性质判断BCD即可

【详解】对A,互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；

对B,当事件A与事件3为对立事件时，事件A与事件8中至少有一个发生的概率和

A与8中恰有一个发生的概率相等，故B错误；

对C,当/=8时，事件A与事件8中同时发生的概率等于A与8中恰有一个发生的概

率，故C错误；

对D,设A,8是一个随机试验中的两个事件，则

P⑷8)=尸⑷+P⑻"卬8)正确，故口正确,

故选：D

g(x)=sin|4x+—|

6.要得到I3J的图像，只需要将/(x)=cos2-2x-snr22x的图像()

A.向左平移§个单位长度B.向右平移万个单位长度

不兀

C.向左平移五个单位长度D.向右平移％个单位长度

B

/(x)=sin|4x+—।

【分析】先将函数"X)化为I2),然后由正弦函数的图像平移可得答案.

f(x)=cos22x-sin22x=cos4x=sin4x+—

【详解】'I2J

71g(x)=sin[4x+y

2

所以将/(x)=COS2x-sin。2x的图像向右平移五个单位长度,的图

像

故选：B

7.为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分(十分

制，单位：分)的统计数据如下表：

得分345678910

频数231063222

设这30名学生得分的中位数为切，众数为〃，平均数为x,则下列选项正确的为

()A•阳=〃=工B.m=n<x

m<n<x[)4n<m<x

D

【分析】根据中位数，众数，平均数的定义，分别求出其值，可得出答案.

5+6u<

m=------=55

【详解】这30名学生得分的中位数为2・，众数为〃=5,

-3x2+4x3+5x10+6x6+7x3+8x2+9x2+10x2厂”

x=-------------------------------------------------------------------=5.96

平均数为30

所以

故选：D

8.若球。是正三棱锥"-BCD的外接球，BC=3,"=20，点E在线段8。上，

BD=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）

A.五兀B.2万C.4"D.9a

B

【分析】设。是球心，°’是等边三角形8C。的中心，在三角形°。。'中，有

OO'2+DO'2=OD2,可求得R=OD=2,再利用产=心-。6可得过E且垂直OE的

截面圆最小即可.

如图所示，其中。是球心，。'是等边三角形88的中心,

O'B=O'D=—BC=y/3

可得3

AO'=LB2-O'B2=3

设球的半径为R,在三角形℃0'中，由OO"+OO'2=82,

即（3-A）~+（Gj=屋，解得R=2,

BE=LBD=IZEB0'=-

在三角形BE。'中,36,

O'E=./3+l-2x>^xlxcos—=1

由余弦定理得、6

在三角形O°'E中，因为00'=4。'_/0=1,故OE=JOO"+O'£=0,

设过E且垂直°E的截面圆的半径为，r2=R2-OE2=4-2=2,故最小的截面面积

为nr2=2%

故选：B

二、多选题

9.连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为（）

A.两次均正面朝上的概率为5

1

B.两次均反面朝上的概率为Z

1

C.两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为I

3

D.两次中，至少一次正面朝上的概率为4

BD

【分析】根据概率的公式逐个求解即可

111

-x———

【详解】对A,两次均正面朝上的概率为224,故A错误；

111

—x———

对B,两次均反面朝上的概率为224,故B正确；

11111

—x—+—x—=一

对C,两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为22222,故C错误;

111

—x———

对D,两次均正面朝上的概率为224,故两次中，至少一次正面朝上的概率为

1।—1=一3

44,故D正确；

故选：BD

10.已知三个不同的平面a,P,7和三条不同的直线"?，"，心下列命题中为真命

题的是（）

A.若〃?〃〃，加~La,则〃_La

g若用〃〃，加〃a,贝ij〃"a

C.若=机，〃ua,IuB,n//19则加〃加/

D.若a〃/，则月，7

ACD

【分析】根据线面垂直的性质可判断A,根据〃与平面。的关系判断B,再由线面平

行的判定与性质定理判断C,根据平行平面的性质及面面垂直的判定定理判断D.

【详解】由线面垂直的性质定理知，机〃"，故A正确；

当机〃“，时，可能〃ua内，也可能故B错误；

Iu。，.,.〃//力，又“ua,aC0=m,.•.〃//枕，nllmlll,故C正

确；

因为a'y,设机u/,mva,因为a〃夕，所以机，夕，又机uy,所以夕，7,故

D正确.

故选：ACD

11.给出以下24个数据:

148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.2157.0

158.0158.0159.0159.5161.5162.0162.5162.5

163.0163.0164.0164.1165.0170.0171.0172.0

对于以上给出的数据，下列选项正确的为（）

A.极差为24.0B.第75百分位数为164.0

C.第25百分位数为155.2D.80%分位数为164.1

AD

【分析】根据极差百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.

【详解】对A,由数据可得，极差为172.0-148.0=24.0,故A正确；

对BCD,由25%X24=6,75%X24=18,80%X24=19.2,

可知样本数据的第25,75,80百分位数为第6,7位的平均数，第18,19位的平均数

155.0+155.2163.0+164.0,/一

------------=163.5

第20项数据，分别为22,和164.1,故BC错

误，D正确；

故选：AD

12.在△43C中，Z^JC=135°,AB=6AC=36,。为8c边上的一点，且。到A

3距离相等，则下列结论正确的为（)

sin/ABC-----

A.10B.

C.外接圆的面积为45兀D.S.ABC=18

BC

【分析】根据余弦定理求出8c，再由正弦定理求sin8可判断A,过点。作的垂

线DE,利用直角三角形可求出“。可判断B,由正弦定理求三角形外接圆半径可判断

C,根据面积公式可判断D.

［详解］A/8C中，NB4c=135°,4B=6,AC=3>/2,

由余弦定理可知8c2=AB2+AC1-2AB-ACcosABAC=90,

BC=3710,

-c=匹小必尤=^^=^=^=巫

由正弦定理可得sin/，8csin/,BC3so10,

_3V10

DcosB=-------

由角B为锐角知10,故A错误；

过点。作的垂线QE,垂足为E,如图,

由4D=BD得cosND4E=cosB,2,

AD=———=-^—=^==厢

cos/.DAEcos53410

RtA.4Z)E中，10,

:.BD=AD=厢,故B正确；

2R=g=平=6布

sin4J2

由正弦定理知，A/8C外接圆的直径T,R=3后,

••・△/8C外接圆的面积为S=TTR2=45兀，故C正确；

11py

S.RC=—AB-AC-smA=—x6x3>/2x——=9

由三角形面积公式可得222,故D错误.

故选：BC

三、填空题

13.已知复数z满足z+4i=6+zi,其中i为虚数单位，则复数z=；

5+ii+5

【分析】根据复数的四则运算法则化简即可得到答案.

z=6-4iJ6-4i)(l+i)=5+.

【详解】z-zi=6-4i,所以J

故答案为.5+i

1a

sina+cosa=—八cos—=

14.已知5,0<a<^,则2

sina+cosa=—2sinacosa=-----<0

【详解】因为5,两边同时平方得25

兀

—<a<兀

又因为OWaW兀，所以2,

sincr-cosa=J(sina+cosaY-4sinacosa=一

所以sina-cosa>0,故v5,

14

sina+cosa=—sma=—

55

.73

sina-cosa--cosa=——

所以5解得5

V5

故5

15.已知”=（1-2左，1）,‘=（-3,左），若£与否的夹角为钝角，则实数”的取值范围为

（7,一1）111用

【分析】由已知7否<°且£、B不共线，结合向量的坐标运算可得出关于后的不等式

组，由此可解得实数k的取值范围.

a-b=k-3（\-2k^<03

【详解】由已知且人很不共线，则口）#-3,解得且

kH-、

所以，实数人的取值范围是I7人

故答案为.I7）

四、双空题

16.某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前

往后逐道题回答.在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确,

就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一

次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一

枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰;

两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章.对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每

2§3

道题回答正确的概率均依次为10,9,4,且每道题回答正确与否不受其它题的

影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为;该参赛者能获得优胜者纪念奖

章的概率为.

12^L

51800

【分析】由相互独立事件的概率乘法公式先求出第一轮4个人问题全答对的概率；然

后第二轮去全对或恰好有一个问题答错，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公

式可得出答案.

【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为109435

该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率:

1(98311831913198119832>257

P

2=511094310943109431094310943J?800

12^1

故《，1800

五、解答题

17.已知复数z=(二一7加+10)+("-5加+6>,i为虚数单位，meR.

(1)若z为纯虚数，求机的值；

(2)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求加的取值范围；

(3)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x-N-14=°上，求机的值.

(1严=5

(2)3<m<5

(3)〃?=0或加=9

【分析1(1)根据Z为纯虚数得出关于用的方程组，从而得出答案.

m2—5m+6>0

(2)根据复数z的点位于第二象限则1/一7〃?+10<°,从而得出答案.

(3)将复数z对应的点坐标代入直线方程，从而可得出答案.

m2-5加+600

【详解】⑴z为纯虚数，则W-7m+10=0,解得加=5

J"/-5加+6>0

(2)复数z的点位于第二象限则-7"?+10<0,解得3Vm<5

(3)复数z的点位于直线2x，14=0上，则2"-75+10>(>一5加+6)-14=0

解得机=。或机=9

18.试分别解答下列两个小题：

⑴已知门，门，〈八「,求向量。与6的夹角外

sin(夕-a)cosp-cos(a-f})s\nB=-tan|2a4-|

(2)已知I5,a是第三象限角，求I4J的

值.

17

⑵31

【分析】(1)根据平面向量数量积的运算求解即可;

(2)根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与二倍角的正切与两角和的正

切公式求解即可

.G+-3书＞48=0\a\—|小阿8$。一6网+48=0.

【详解】(1)由题意，《八r，即"IIII।।，代入

H=6,Bl可得36-24cos9-6xl6+48=0,即8s"=一5,因为北取回，故

e=—

3

33

sin(2-a)cos(J-cos(a-f3)sin/=-sin(/7-a)cosP-cos(/?-a)sin/?=-

(2)因为5,故5,

sin(-«)=-sina=一-cosa=-71-sin2a---

即5,即5,因为。是第三象限角，故5,

33

-2tana

tan2a=------------2

sina31-tana

tana=-------

即cosa4,故,故

r34少.1

tan2a+tan

tan2a+网____________4_=J__17

I4ic34一尸3?

1-tan2a•tan

47

19.试分别解答下列两个小题:

(1)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其它差异.采用不放

回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设事件4="第一次摸出球的标号小于3”,

事件8="第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A与事件8是否相互独立？请写出

判断过程;

⑵如图，在平行六面体—44G2中，M为OQ的中点，N为CC；的中点，求

证：平面平面小C.

(1)事件A与事件8不是相互独立的，理由见解析

（2）证明见解析

【分析】⑴根据古典概型的方法，分别计算0（'）,尸⑻和P（”）判断是否等

于尸⑷尸（8）即可;

（2）根据中位线的性质，结合平行四边形的性质证明N8//平面K4c与9"/平面

K4c即可

【详解】（1）由题意，事件A发生包含的基本事件有（L2）,

（L3）,0,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）共6个；事件8发生包含的基本事件有（1,2）,

（2，1），*,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）共6个：事件48发生包含的基本事件有。⑷，

21

（2」）共2个，尸（"）一五一%，因为P（，8）”⑷尸⑻,故事件A与事件8不是相

互独立的

（2）连接〃，N,因为“为"A的中点，N为CG的中点，故MNMDC,且MN=DC,

又DC”AB,DC="故四边形Z8CO为平行四边形，故NBiiMA,因为平面

m，，x/cNC=MD、=—DD.

MAC,M4u平面M4C,故NBU平面MAC又NCUMDJ121故

四边形为平行四边形，微MC"D\N,因为N.O平面比4C,MCu平面

MAC,故NDJ/平而MAC.又NBC\NDI=N,NB,ND、u平面NBD1,故平面

〃平面加4c

20.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标

的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标值的检测数据进行整理，发现这

些数据均在区间口［5］内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，…，第

7组对应的区间分别为［I?,13,5）,区7）,,113,15］,绘成如图所示的频率分布直

方图.

018

]3579II13154投标值

(1)求直方图中。的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数和85%分

位数(结果保留两位小数)；

(3)现从第2组A指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为凡，也,&,凡，从第5

组A指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为用，心，与，然后将这7只家禽混在一

起作为一个新的样本。，从建中任取2只家禽进行5指标值的检测，求从C中取到的

两只家禽的A指标值的差的绝对值小于2的概率.

(1)0.14

(2)7.33,10.00

3

⑶,

【分析】(1)根据频率分布直方图结合所有频率之和为1,运算求解；(2)先根据频

率分布直方图求每组的频率，再结合中位数、百分位数的定义运算求解；(3)先列举

出所有的基本事件，再从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式运算

求解.

【详解】⑴由题意可得：2x@02+0.06+a+0.18+0.05+0.03+0.02)=l,则。=014

(2)由题意可得:每组的频率依次为：0.04,0.12,0.28,0.36,0.10,0.06,0.04

...0.04+0.12+0.28=0.44<0.50,0.04+0.12+0.28+0.36=0,70>0,50

・••中位数位于［79)内，设为m，则044+0.18(m-7)=0.5°

...m®7.33

・.・0.04+0.12+0.28+0.36=0.80<0.85,0.04+0.12+0.28+0.36+0.10=0,90>0,85

・•.85%分位数为［9,11)的中点10.00

⑶从。中任取2只则有：

{舄,司}{&£},{&禺)

{&R2},{&R,},{/?„4},{/?,,6}E2},{&E3},{a,&},{4,&},{g,

区,&｝,｛&,耳｝,｛4,/｝,｛&,与｝｛凡,4｝,｛&,与｝,｛凡,与｝，｛昂为｝｛昂与｝，｛纥，与｝

共21个基本事件

记“从。中取到的两只家禽的A指标值的差的绝对值小于2”为事件B,则事件B包含:

｛舄｝,｛a,&3｝，｛&］，&｝，｛&2，火3｝,｛&，&｝,｛4'&4｝，｛耳，“2｝｛"1'&｝，｛“2，玛｝共9个基本

事件

从。中取到的两只家禽的A指标值的差的绝对值小于2的概率V217

21.如图①，在平行四边形"83/中，48司=60。，/B=4,"4=2,C,G分

别为/8,4A的中点，现把平行四边形"4G。沿CG折起如图②所示.在图②中，

连接"4,"4,若叫=布,试解答下列两个小题：

（1）求证：平面44CC，平面

（2）求平面,4片与平面BB£C所成的锐二面角的大小.

⑴证明见解析;

⑵4.

【分析】（1）取CG的中点°,连接。4,OB、4G,证明/°_L平面88CC即可得

出平面与平面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角大小即可.

【详解】（1）取CG的中点0,连接°片，"G,如图，

B

y

・••在平行四边形”844中,4即=60。，48=4,44]=2,c、G分别为川？、

A'B'的中点,

A8CG为边长为2的正三角形,

则ZO_LCq,OBJCG,^O=BtO=2x—=y/3

22

乂AB1=m,：.AO+B]O=AB;；:.AOLB}O

又CC、AOB]=O-40_L平面8&GC,

AOu平面44GC,.•.平面44|G。-L平面BB、C]C

(2)以。为原点，以℃,叫04为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则c(i,o,o),A(o,G,o),c,(-1,0,0)/j(o,o,^3)(则西=(-2,0,0)

则麴=兀=(-2,0,0),福=(0,3-6),

m-AA=-2x=0

<x___

设平面48M的法向量为玩=(x，y，z),则["明=扬-任=0,

令z=i,则x=o,y=l,即/=(°」」)，

—>-*

设平面BBCC的法向量为〃，则易知〃=(0,0,1),

—»—>

〃

cos（而㈤=?•n=工=也

—>—>02,因为0yzM4兀,

则I加II〃I

所以4,

it

即平面与平面88CC所成的锐二面角的大小为4.

22.如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地480,其中O/=3km,

°8=3Gkm,4408=90。.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖。MN,其

中“，N都在边