【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）

【高考真题】2022年高考数学真题试卷(新高考全国II卷)

阅卷人

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

得分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)

1.(5分)已知集合A={-1,1,2,4},B={x\\x-1|W1},则AnB=()

A.{-1,2}B.[1,2}C.{1,4}D.{-1,4)

【答案】B

【解析】【解答】B={x|0<%<2},故AciB={1,2}.

故答案为：B

【分析】先求出集合B,再根据交集的概念求AQB即可.

2.(5分)(2+2i)(l-2i)=()

A.—2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【答案】D

【解析】【解答】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故答案为：D

【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.

3.(5分)中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面

图，DD],eg,BB],441是举，ODrDC、,CBiBAX是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为猊=0.5,舒=向，舞=的，蒜=的，若自，七，心是公差为01的等差数列，且直

线OA的斜率为0.725,则七=()

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】【解答】设。。1=DC1=CBi=BAr=1,则CCi-klfBB】=k2fAAt=k3,

根据题意，有&—0.2=酊，k3-0.1=k2，且猊;猊款=0725,

所以0.5+3%—0.3=0,as,故七=0.9.

故答案为：D

【分析】设ODi=DC】=CB[==1,可得关于k3的方程求解即可.

4.(5分)已知Q=(3,4),b=(1/0),c=a+tb，若Va,c>=<b,c>,则t=

()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】【解答】解：由己知条件可得c=(34-1/4)>cos<a,c>=cos<b,c>,即

9+3t+16_3+t

5©=同解得t=5,

故答案为：C

【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.

5.(5分)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列

方式有多少种()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有

3!种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方

式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种

不同的排列方式.

故答案为：B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.

6.(5分)若sin(a+9)+cos(a+1)=2&cos(a+9sin£,则()

A.tan(a+6)=-1B.tan(a+0)=1

C.tan(a-0)=-1D.tan(a—/?)=1

【答案】C

【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinacos/?+cosasin/?+

cosacos/3—sinasin/?=2(cosa—sina)sin6,

即：sinacosjff—cosasin/?+cosacos/?+sinasinf=0,

即：sin(a—0)+cos(a—^)=0,

所以tan(a—^)=—1,

故答案为：C

【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

7.(5分)正三棱台高为1,上下底边长分别为3百和4V3,所有顶点在同一球面上，则球的表

面积是()

A.100KB.128兀C.144兀D.1927t

【答案】A

【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r，所以2r12r2=

2sin60

_±邑，即n=3,72=4,设球心到上下底面的距离分别为d2,球的半径为R,所以

sin60

22

M=J/?2一9,d2=V/?-16>故|询一ci2l=1或幺+=1，即|，R2一9-V/?-16|=

1或V/?2-9+V/?2-16=1，解得解=25,所以球的表面积为S=4nR2=100兀.

故答案为：A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径勺，生，再根据球心距，圆面半径，

以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积.

8.(5分)若函数/(%)的定义域为R,且/(%+y)+/(%-y)=/(x)/(y)，/(I)=1，则

£当f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】【解答】因为/(x+y)+f(x-y)=/(%)/(y),令久=1,y=0可得，2/(1)=

/(1)/(0),所以/(0)=2，令x=0可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即/(y)=/(-y),所以

函数/(x)为偶函数，令y=1得，/(x+1)+/(x-1)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+

/(x)=/(%+1),从而可知f(x+2)=-/(%-1),f(x-1)=-/(%-4),故/(%+2)=

f(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函数/(x)的一个周期为6.

因为/(2)=/(1)-/(0)=1-2=—1，/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=

/(2)=-1，f(5)=/(-I)=/(I)=1，/(6)=f(0)=2，所以

一个周期内的/(1)+/(2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

所以2*/⑻=-1)+-2)+/⑶+八4)=1-1-2-1=-3.

故答案为：A

【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(I),/(2),

-，/(6)的值，即可求解.

阅卷人二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2

得分分，有选错的得。分。(共4题；共20分)

9.(5分)函数f(x)=sin(2x+卬)(0<0<兀)的图象以(等，0)中心对称，贝U()

A.y=/（x）在（0,驾）单调递减

B.y=/（%）在（—各晋）有2个极值点

C.直线％=普是一条对称轴

D.直线丫=字7是一条切线

【答案】A,D

【解析】【解答】由题意得：/（手）=sin（等+（p）=0,所以竽+3=/OT,keZ,

即（p=-+kn,k€Z,

又0<3<兀，所以k=2时，盟=竽，故f（x）=sin（2x+冬）.

对于A：当xG（0,罂）时,，2%+冬€（冬，岑），由正弦函数y=sinu图象知y=/（%）在

（0,§）上是单调递减；

对于B：当xe（—各岩）时，2%+孕eg,竽），由正弦函数y=sinu图象知y=/（x）

只有1个极值点，由2x+争=芋，解得％=弯，即久=患为函数的唯一极值点；

对于dx=藉时，2%+争=3兀，/借=0,直线％=普不是对称轴；

对于D：由y'=2cos（2x+=—1得：cos（2x+,

解得2%+羽=冬+2/£兀或2%+竽=等+2/£兀，k€Z,

从而得：％=/CTT或%=+kitfkEZ,

z

所以函数y=/（x）在点（0,空）处的切线斜率为k=y|x=0=2cos^=-1,

切线方程为：y—亨=—（久—0）即y=与—x■

故答案为：AD

【分析】先根据已知条件求出<p的值，从而求得函数得解析式/（x）=sin（2x+竽），再根据三角

函数的性质逐个判断各选项，即可得解.

10.（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线与C交于A,B两

点，点A在第一象限，点M（p,0）,若\AF\=\AM\，则（）

A.直线AB的斜率为2遍B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\0F\D./.OAM+Z.OBM<180°

【答案】A,C,D

【解析】【解答】对于A：易得F成，0）,由\AF\=\AM\可得点力在FM的垂直平分线上，则

A点横坐标为攀=*，代入抛物线可得y2=2p.¥=|p2,则火乎，孚）,直线AB的

花P

对于B：由斜率为26可得直线AB的方程为x=^=y+1,联立抛物线方程得y2-^py-

p2=0,设％）,则当p+%=2p,则为=—字，代入抛物线得（一率；=2p.

小，解得勺=号,则B%,—挈），

则[0'=]&2+（_学）2=学，|0?|斗，B不符合题意；

对于C：由抛物线定义知：|阴=学+号+0=等＞22=4|。「|,C符合题意；

对于D：次方=（米，字）•曙—孚）=*4+学•（一率）=—孚＜0，则“OB为

钝角，

又两.丽=（_号，浮）•（一半，一学）=—g（—给+字•（一学）=一等＜。，则〃MB

为钝角，

又乙AOB+Z.AMB+/.OAM4-乙OBM=360°,则LOAM+乙OBM＜180°,D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】由\AF\=\AM\及抛物线方程求得力（乎，孚）,再由斜率公式即可判断A选项；表示

出直线AB的方程，联立抛物线方程求得B得，-浮），即可求出\OB\判断B选项；由抛物线

的定义求出|48|=鬻即可判断C选项；由瓦5•砺＜0，MA-MB＜G求得/-AOB,4AMB

为钝角即可判断D选项.

11.（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED1平面ABCD,FB||ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为力,匕，匕，则（）

A---------------------B

A.V3=2V2B.V3=2VrC.V3=Vi+V2D.2%=3%

【答案】C,D

【解析】【解答】设AB=ED=2FB=2a,因为ED1平面ABCD,FB||ED,则匕=寺•

ED•S&ACD=2,2a,2.(2a)?=o?,V2=可,FB•SMBC=g,a,3•(2a)?=ga，>连接BD父

AC于点M,连接EM,FM,易得BD1AC,又ED_L平面ABCD,ACu平面ABCD,

则EDJ.AC,又EDCBD=D,ED,BDu平面BDEF,则AC1平面BDEF,

又BM=DM=^BD=V^a,过F作PG_LDE于G,易得四边形BDGF为矩形，则FG=

BD=2y/2a,EG=a,

则EM=J(2a)2+(y/2a)2=^6a,FM=Ja2+(V2a)2=V3a，EF=Ja2+(2V2a)2=3a>

2222

EM+FM=EF,则EMLFM,SlEFM=\EM-FM='^a>AC=2^2a，

则V3=，4-EFM+Vc-EFM=gac•S&EFM=2标,则2匕=3匕，1/3=31/2，V3=+，2，

A、B不符合题意；C、D符合题意.

故答案为：CD

【分析】直接由体积公式计算匕，V2，连接BD交AC于点M,连接EM,FM,由匕=

VA-EFM+Vc-EFM计算出匕，依次判断选项即可.

12.(5分)对任意x,y,x2+y2—xy=1,则()

A.%4-y<1B.x+y>—2C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】B,C

【解析】【解答】根据abw(竽/w包要(a,beR),d+产一孙=1可变形为，

(x+y)2-1=3xy<3(^^)，解得-2Wx+yW2，当且仅当x=y=-l时，x+y=

-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A不符合题意，B符合题意；

x2+y2-xy=l可变形为(/+y2)一1=孙三书於，解得/+32,当且仅当x=y=

±1时取等号，所以C符合题意；

因为x2+y2—xy=1变形可得(％—斗)+为2=1,设％一§=cos。，*y=sin0>所以％=

cos6+%sin。，y=-^sin0,Ellbk%24-y2=cos20+|sin204--^sin0cos0=14--^sin20—

1i

Wcos20+可

22

=^+^sin(20-J)e[|,2],所以当％=坐，y=_率时满足等式，但是x+y>l不成

立，所以D不符合题意.

故答案为：BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项.

阅卷人

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20

得分分)

13.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,a2),且P(2<X<2.5)=0.36,则P(X>

2.5)=.

【答案】0.14

【解析】【解答】因为X〜N(2,a2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=

P(X>2)-P(2<XW2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.

14.(5分)写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：,.

【答案】y=；x;y=—^x

【解析】【解答】解：因为y=ln|x|,当x>0时y=Inx,设切点为(x0,lnx0)，由y'=

(,所以田『=/，所以切线方程为y-lnx0=^(x-x0)，又切线过坐标原点，所以

-ln%o=白(一%o)，解得Xg=e,所以切线方程为y—1=-(%—e)，即y--x;

xoee

当％<0时y=ln(-x),设切点为(X1，In(-%1)),由y'=；,所以y'\x=X1,所以切线

11

方程为y-ln(-x1)=-^(x-x1),又切线过坐标原点，所以一皿一%1)=机(一/)，解得勺=

—e,所以切线方程为y—1=^(%+e)>即y=—；

故答案为：y=—xy=——x

【分析】分工〉0和X<0两种情况讨论，当x〉0时设切点为(x0,lnx0),求出函数的导函

数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出%0.即可求切线方

程，当x<0时同理求解即可.

15.(5分)已知点A(-2,3),8(0,a),若直线AB关于y=a的对称直线与圆(%+3)2+

(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为.

【答案】《，1]

【解析】【解答】解：因为4(—2,3)关于y=a对称点的坐标为/(—2,2a—3),B(0,a)在

直线y=a上，所以AB所在直线即为直线I,所以直线I为y=^-x+a,即(a-3)%+

2y-2a=0；根据圆方程可得圆心C(—3,-2),半径r=1,

I—3(a—3)—4—2a|

依题意知圆心到直线I的距离d=口_京苒~/1，

即(5—5a)2<(a—3)2+22>解得<a<>即ae百,.

故答案为：(，

【分析】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线

的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.

16.(5分)已知椭圆4+4=1,直线1与椭圆在第一象限交于A,B两点，与x轴，y轴分别交

于M,N两点，且\MA\=\NB\,\MN\=2>/3,则直线1的方程为.

【答案】x+V2y—25/2=0

【解析】【解答】解：记AB的中点为E,因为\MA\=\NB\,所以\ME\=\NE\,

所以乱2_上_+2_」一丝_=0,即任匚辿如㈤+⑵+〃应广如=0

663363

所以力次=-i,即k•k=-i,设直线AB：y=kx+m,fc<0,m>

[X]-42八”1十40EABz

0,

令x=0得y=m,令y=0得％=-£,即M（一0）,N（0,m）,所以E（一线,

m

即忆X2市,解得k=一孝或k=¥（舍去），

~2k

又|MN|=2V3，即\MN\=m2+（V2m）2=2次，解得m=2或m=-2（舍去）,

所以直线AB：y=-^-x+2，即x+同一2应=0;

故答案为：x+V2y-2a=0

【分析】记AB的中点为E,设%）,B（X2,y2）,利用点差法得到k0E-kAB=-

设直线AB：y=kx+m,k<0,m>0,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据

\MN\求出k、m,即可求得直线方程.

阅卷入__________四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过

得分程或演算步骤.（共6题；共70分）

17.（10分）已知｛出3为等差数列，｛bn）是公比为2的等比数列，且&2-打=。3-砥=匕4一

。4.

（1）（5分）证明：%=必；

（2）（5分）求集合｛刈尻=%„+a>1<m<500｝中元素个数.

【答案】⑴证明：设数列｛即｝的公差为d,所以，1+d,即可解

I04.-=«i+2d-461

I+d—2bl=8bl—（a1+3a）

得，比=4=9所以原命题得证.

（2）解：由（1）知d=2%=2%,

由bk=CLm+Clj知：b］，2k1=+（771—1）,d+的

fe-1

即比•2"1=b1+（m-l）-2bl+瓦，即2=2m，

因为14m4500,故242k-1<1000,解得24k410

故集合（k\bk=am+a1,1<m<500｝中元素的个数为9个.

【解析】【分析】（1）设数列｛a“｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得徵=2-2,即可解出.

18.（12分）记△ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边

长的三个正三角形的面积依次为Si，S2,S3，已知Si—S2+S3=苧，sinB=J.

（1）（6分）求UBC的面积；

（2）（6分）若sinAsinC=*，求b.

【答案】（1）解：•.•边长为a的正三角形的面积为学心，

4

・・Si—$2+S3=苧（凉一房+C2）=孚,即CLCCOSB=1,

由sinB=|得：cosB=卒，

•1372

•法=频=.

珈c_1._1^3/2^1_72

“乂SAABC=2acsinB0=qX—^―x=-g--

,2372

（2）解：由正弦定理得：扁=益r嬴=而输=g=5故b=5sinB=

【解析】【分析】⑴先表示出S「S2,S3,再由51-52+$3=李求得（。2-2+，2）=2,结合余

弦定理及平方关系求得ac,再由面积公式求解即可；

,2

（2）由正弦定理得%=.:°即可求解.

sin2BsinAsinC

19.（12分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数

据频率分布直方图.

嫉*

（1）（4分）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）；

（2）（4分）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70）的概率；

（3）（4分）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该

地区总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50），求此人患该种疾病的概

率.（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）

【答案】（1）解：平均年龄%=（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.0234-

55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002）x10=47.9（岁）

（2）解：设人=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70））,则

P（A）=1-P（A）=1-（0.001+0.0024-0.006+0.002）X10=1-0.11=0.89

（3）设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50）｝,C=｛任选一人患这种族病｝,

nwrh攵人舸W八T俎।”P（BC）0.1%x0.023xl00.001x0.23.

则由条件概率公式，得P（C|B）=向B,=------^6%-------=o^6-=°n,0n°n1i437520.0014

【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70）｝,根据对立事件的概率公式P（A）=1—

P（Z）即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出.

20.（12分）如图，PO是三棱锥P—/BC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中点.

(1)(6分)求证：OE||平面PAC；

(2)(6分)若乙48。=4CBO=30。，P0=3,PA=5,求二面角C-4E—B的正弦

值.

【答案】（1）证明：连接B0并延长交AC于点D,连接04、PD,

因为P0是三棱锥P—4BC的高，所以P01平面ABC,40,BOu平面ABC,

所以P01AO.P01BO,

又PA=PB,所以XPOA三XPOB,BP0A=0B,所以/.OAB=AOBA,

又/Bl4c,即^BAC=90°,所以/.OAB+/.OAD=90°,/.OBA4-^ODA=90°,

所以/.ODA=Z.OAD

所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以。为BD的中点，又E为PB的中点，所以

OE//PD,

又OEC平面PAC,PDu平面PAC,

所以OE//平面PAC

(2)解：过点A作AF\\OP,以AB为%轴，AC为y轴，AF为z轴建立如图所示的空问直角

坐标系.

因为PO=3,PA=5,由(1)。4=OB=4,

义/AB。=NCBO=30°,所以，AB=4V3，所以P(2次，2,3),B(4V5,0,0),

O

4(0,0,0),E(3遍，1,|),设4C=a,贝UC(0,a,0)

AB•可=0

平面AEB的法向量设为西=（%,y,z),AB=(4V3,0,0),AE=(3V3,1,

M荏・九1=0

4V3%=0

所以3岳+y+名=0,所以%=0,设z=-2,则y=3，所以元1=(0,3,-2)：

,0),AE=(3V3,1,3)pCn=0

平面AEC的法向量设为何=（x,y,z),AC=(0/a2,所

AE-712=0

(ay=0

以［3V3x4-y+|z=0，所以y=0,设％=g,则z=—6,吹以nJ=(V3,0,—6)：

所以以Crc0wS/5k1，7电?~*\）一同九1.九西2一_市w药一百12后_一4方V5

二面角C-AE-B的平面角为e,则sine=Vl-cos20=||,所以二面角C-AE-B的正

弦值为11。

【解析】【分析】（1）连接B。并延长交AC于点D,连接。4、PD,根据三角形全等得到

0A=0B,再根据直角三角形性质得到4。=DO,即可得到0为BD的中点从而得到OE〃PD,

即可得证；

（2）过点A作AF\\OP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根

据同角三角函数的基本关系计算可得；

21.（12分）设双曲线C：l（a>0,h>0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y=

ab

±V3x.

（1）（6分）求C的方程；

（2）（6分）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点PQi，yi）,QQz，y2）在

C上，且血〉％2>0,%>0.过P且斜率为-遮的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点

M,请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在4B上；②PQII4B；③|MA|=|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）解：由题意可得|=V3,7a2+b2=2,故a=1,b=百.因此C的方程为

必-£1-

（2）解：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可

知M在X轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而打=牝，

已知不符；

总之，直线AB的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k{x-2),

2-2

则条件①M在AB上，等价于y0=/c(x0-2)<=>ky0=fc(x0);

两渐近线的方程合并为3/一y2=(J,

联立消去y并化简整理得：(/—3)x2—4k2%+4k2-0

%Ixo"2

设Z(%3，丫3),F(X,%)，线段中点为N(XN，y)，则X=34=—，y=fc(%/v-2)=

3NNz2r-3N

6k

TT~：'

k-3

设M(x0，yo)，

则条件③|AM|=|BM|等价于(%0-久3)2+Qo-、3)2=(久0-久4)2+(%-、4)2,

移项并利用平方差公式整理得：

(%3—％4)[2殉一(右+%4)]+佻一丫4)团0-佻+%)]=0，

[2%0-(x3+X，+蒋兰[2y0-(Y3+丫4)]=o，即-+似丫。-o)=o，

an,f8k2

即久0+ky=-2—；

0KJ

由题意知直线PM的斜率为一百,直线QM的斜率为V3,

・••由%一%=—-％0)，为一％=-％0)，

.\乃—y2=-V5(X]+%2-2%o)，

所以直线PQ的斜率6=红及=—更红也二辿,

直线PM：y=-V3(x—x0)+y0，即y=y。+V3x0—V3x，

代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即(、&+y)(bx—y)=3中，

得：Go+V3x0)[2V3x-(y0+V3x0)]=3,

解得P的横坐标：5=乖(y+后x+V。+6%0)，

同理：孙=一市(铲%+、0一6%。),

xx

Xi-X2=-J=(2^x2+y。)'l+2~2%0=

3x()

..m=

y。’

...条件②PQ〃/IB等价于m=kcky0=3x0>

综上所述：

2

条件①M在AB上，等价于ky0=k(x0-2)；

条件②PQ〃ZB等价于ky0=3x0；

8k2

条件③|AM|=\BM\等价于x+ky

0Q,2>

k—3

选①②推③：

2k28k2

由①②解得:，，③成立;

xo=-2-­••%o+ky-4%o=72-T

/cz-30k-3

选①③推②:

2k2,6k2

由①③解得:x0—72

r-3

••=3%Q,...②成立;

选②③推①:

2k26k26

由②③解得:

&=-2­，ky,2Q，/.Xo-2=/2o

k-30k-3k—3

2

：.ky0=fc(x0-2),.•.①成立.

【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,

的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程;

(2)先分析得到直线4B的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(xO,yO),由

③|AM|=|BM|等价分析得到配+ky。=孝■:由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的

k一3

方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率巾=攀，由②PQ〃4B等价转化为ky0=3久°,由①M

/0

在4B上，等价于ky0=k\x0-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

22.(12分)已知函数f(x)=xe。*一e*.

(1)(4分)当a=l时，讨论/(%)的单调性；

(2)(4分)当x>0时，,求a的取值范围；

(3)(4分)设nwN*,证明：~r^=++***+-r->ln(n+1).

【答案】(1)解：解：a=1=>/(%)=xex—e"=(%—l)ex=/'(%)=xex

当%6(-oo,0)时，/(x)<0,/(%)单调递减;

当尤e(0,+00)口寸，/(%)>o,f(x)单调递增.

(2)令gQ)=/(%)+1=xeax—ex+l(x>0)

=g(x)<g(0)=0对Vx>0恒成立

又g'(x)=e"+axeax—ez=>g(O')=0

令/i(x)=g'(x)="(x)=aeax+a(eax+axeax)—ex=a(2eax+axeaz)—ex

则h(0)=2a-l

①若h(0)=2a—1>0»即a>^,h'(0)=lim*(°)=lim>0

k72—x-o+x-0欠一0+x

所以3x0>0>使得当xe(0,x0)时，有且等〉0=g'(x)>0=g(x)单调递增=g(%o)>

g(0)=0,矛盾

②若/i(0)=2a-1<0>即aW；时，g'(x)=eax+axe"—ex=ear+ln^1+ax)—ex<

x

e|x+in(i+^x)_ex<-e=0

=g(x)在［0,+oo)上单调递减，g(x)Wg(0)=0,符合题意.

综上所述，实数a的取值范围足aw；.

11

x

(3)证明：取Q=］，贝ijV%>0,总有xe2_〃+1v0成立，

令t=/，贝1Jt>1,t2=ex,x=2\nt,

故2tlnt<t2-1即21nt<t-1对任意的t>1恒成立.

所以对任意的nCN*,有如坪<耳一扁,

1

整理得到:ln(n+1)—Inn<,

Jn24-n

111

故iiH----Fi>ln2—Ini+ln3—ln2H----1-ln(n4-1)—Inn

「Jl2+1J22+2Jn2+n

=ln(n+1)，

故不等式成立.

【解析】【分析】(1)求出/'(%)=XQ，讨论其符号后可得/(%)的单调性.

(2)设g(x)=jce。*一靖+？0),求出令九(%)="(%),先讨论a>寺时题设中的不等式

不成立，再就0<aW；结合放缩法讨论九'(%)符号，最后就a<0结合放缩法讨论以X)的范围后可得

参数的取值范围.

1

（3）由（2）可得21nt<t-"对任意的t>l恒成立，从而可得ln（n+D一Inn<丁丁对任意的ne

、九4+九

N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：150分

客观题（占比）60.0(40.0%)

分值分布

主观题（占比）90.0(60.0%)

客观题（占比）12(54.5%)

题量分布

主观题（占比）10(45.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

解答题：本题共6小

题，共70分.解答

6(27.3%)70.0(46.7%)

应写出文字说明，证

明过程或演算步骤.

选择题：本题共4小

题，每小题5分，共

20分。在每小题给

出的选项中，有多项

4(18.2%)20.0(13.3%)

符合题目要求.全部

选对的得5分，部分

选对的得2分，有选

错的得。分。

填空题：本题共4小

题，每小题5分，共4(18.2%)20.0(13.3%)

20分。

选择题：本题共8小

题，每小题5分，共

8(36.4%)40.0(26.7%)

40分.在每小题给

出的四个选项中，只

有一项是符合题目要

求的。

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(86.4%)

2容易(9.1%)

3困难(4.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1函数的周期性5.0(3.3%)8

2频率分布直方图12.0(8.0%)19

3平面向量的坐标运算5.0(3.3%)4

4直线与圆的位置关系5.0(3.3%)15

5两角和与差的正弦公式5.0(3.3%)6

6椭圆的应用5.0(3.3%)16

7正弦定理的应用12.0(8.0%)