高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。二、排列与组合：排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。排列数、组合数：n!排列数的公式：Am=n(n-l)(n-2)…(n-m+1)=(m<n)n(n-m)!注意：①全排列：An=n!；n记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2,3！=6,4！=24,5！=120，6！=720；排列数的性质：Am=nAm-1(将从n个不同的元素中取出m(m<n)个元素，分两步完成：nn一1第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上)Am=mAm-1+Am(将从n个不同的元素中取出m(m<n)个元素，分两类完成:nn-1n-1第一类：m个元素中含有a，分两步完成：第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上)即有mAm-1种不同的方法。n-1第二类：m个元素中不含有a，从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上，有Am种方法。n-1Amn(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!,,组合数的公式：Cm二—二二(m<n)组合数的公式：nAmm!m!(n-m)!m组合数的性质：Cm=Cn-m(从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说,nn从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应于从n个不同的元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合。②Cm=Cm+Cm一1(分两类完成：第一类：含a,有Cm-1种方法；第二类：不含a,nn一1n一1n-1有Cm种方法;)n-1③Cm=H-Cm-(第一步:先选出1个元素，第二步:再从余下n—1个元素中选出m—1nmn-1个，但有重复，如先选出a，再选出a,a，…,a组成一个组合，与TOC\o"1-5"\h\z123m先选出a，再选出a,a，…,a组成一个组合是相同的，且重复了m213m次)④Cm=Cm-1+Cm-1+Cm-1+■■■+Cm-1(m<n)(分n—m+1类：第一类：含a，nn-1n一2n-3m-11为Cm-1；第二类：不含a，含a，为Cm-1；第三类：不含a，不含n-112n-21a，含a，为Cm-1；……)23n-3⑤Cm=CmC0+Cm-1C1+—+C1Cm-1+Cm(将n元素分成分成两个部分，第nrn-rrn-rrn-rn-r一部分含r(r>m)个元素，第二部分含n—r(n—r>m)个元素：在第一部分中取m个元素，在第二部分不取元素，有CmC0；rn-r在第一部分中取m-1个元素，在第二部分取1个元素，有Cm-1C1；……)rn-r3)排列、组合的应用：解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；解排列组合的应用题，通常有以下途径：以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素一一特殊元素法以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置一一特殊位置法先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数一一间接法(4)对解组合问题，应注意以下三点：对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。（3）解排列、组合题的基本策略与方法：去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是:分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。三、二项式定理：（a+b）n=C0an+C1an-lb+…+Cran-rbr+…+Cnbn（nGN*）nnnn（1）通项：T=Cran-rbr（0<r<n）TOC\o"1-5"\h\zr+1n（2）二项式系数的性质：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：Cm二Cn-mnn二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，nn即当n为偶数时，第-+1项的二项式系数最大，为C2；2—\o"CurrentDocument"n+1n+1n+1当n为奇数时，第一厂项及一厂+1项的二项式系数最大，为C2=C2；22nn二项展开式中所有项的二项式系数之和等于2",即C0+C1+…+Cn二2n；nnn二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即C0+C2+C4+•…=C1+C3+C5+•…=2n-1；C1+2C2+3C3+•…+nCn=n•2n-1nnnn(3)、(a+b+c)n展开式中apbqcr的系数求法(p,q,r>0的整数且p+q+r=n)(a+b+c)n=[(a+b)+c]n=Cr(a+b)n-rCr=CrCqan-r-qbqCrnnn-r

如：(a如：(a+b+c)10展开式中含a3b2c5的系数为C130C72C5510!3!x2!x5!4)二项式定理的应用：①求展开式中的指定的项或特定项：1如：①若(2x2-)n(neN)，展开式中含有常数项，则n的最小值是X3②求(IxI+-2)3的展开式中的常数项。|x|注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。求展开式中的某一项的系数：如:在(x-J3)10的展开式中，x6的系数是；求展开式中的系数和：女如(1+x)+(1+x)2+•…+(1+x)n—a+ax+ax2+•…+axn的所有各项的系数012n和是2n和是2n+1-2(赋值法：令x=1);a+a+a+…—024f(1)+f(-1)f(1)-f(-1)a+a+a+——；(令f(x)—a+ax+ax2++axn)TOC\o"1-5"\h\z1352012n求二项式展开式的系数最大项的问题：求(a+bx)n展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为A,A,…,A；12n+1'A>A设第r+1项系数最大，则Lr+1、J:然后求出不等式组的整数解。A>Ar+1r+2如:求(2+x)10展开式中系数最大的项。利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如:求证：32n+2-8n-9能被64整除(neN*)证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传n(n-1)递性进行证明。①(1+