《工程力学与结构建筑》练习题

第广3章

1.已知两力Pl和P2相交于A点，力P,=600N,方向水平向右,力P2=500N

与水平线成a=60°角，而朝向右上方，求它们的合力R。

解（1）图解法

从两力的交点A出发、沿水平线方向往右按图画出P1的大小；然后从B点画

•与AB线成（180忆60°）角的方向线，并用同一比例画Pz，得矢量P2的箭头点C,

连接AC,线段AC即表示合力R的大小与方向。用所定比例量取，得R=950N,

合力与水平线的夹角a=27°。

（2）数解法

R=+g2+2P18cos60。

22

=A/600+5OO+2x600x500xcos60°

=954N

P2500

sina尸Rsina=954sin60°=0.4539a,=27°

由上面两种方法比较，可见所得结果是一致的，但作图法由于度量上的精度问题，以至合力的大小与

方位可能会有微小的误差。

2.简支梁AB受力如图所示。不计梁自重，画它的受力分析图。

解先将梁从它所受的支座约束中脱离出来，画梁的脱离体，以及画作用在该脱

离体上的已知外力R和P2。其次，画A端固定钱的两约束反力V,、，H.作用于梁A

端，及画B端滚动较支座的约束反力V,作用于梁B处，下图即为梁的受力图。

3.图所示AB,BC,BD三钢绳索通过圆环B相连接。在BD钢绳D端悬挂重为

W的重物E。试分别画出重物E、钢绳索BD及圆环B的受力图。

w

E

解（1）重物E受垂直向下的重力W作用。由于钢绳索只能承受拉力，且其力总

是沿着绳索的方向，故钢绳索BD通过D点对E物体作用垂直向上的拉力他。下

图是重物E的受力图。

-AN''BD

（■^4）B

IED

IW*N'BO

（2）右图为BD绳索的受力图。重物反作用在绳索上的力NS与绳索作用在

重物E上的而是作用在两物体上的一对作用力与反作用力。N-BD是圆环B作用

在BD绳索上的力。由于不计钢绳索的自重，故NBD=N'BD=N，,BD=W。

（3）下图为圆环受力图。N-'BD是绳索BD作用在圆环B上的力，与W5为

一对作用力与反作用力。NBA，NK分别是钢绳BA、BC作用在圆环上的力。方向均

沿绳索方向。

若AB,BC,BD为二力杆，通常分析B节点的受力情况可了解三杆件是受拉力

还是压力。当实际力的方向为离开节点B时,该杆件受拉力；指向节点B时，该

杆件受压力。

4.图为AB钢筋混凝土横梁的起吊装置简图。要求考虑自重，但吊钩与钢索

的重量不计。画下列对象的受力图：（1）钢筋混凝土横梁；（2）吊钩；（3）

整体。

解（1）将AB横梁从钢索CE,DE中分离出来。它所受的约束反力是钢索CE,

DE对横梁的拉力，以N@,g表示。横梁自重以分布荷载集度q表示。画得横梁

受力图，如下图所示。

（2）右图为吊钩E的受力图。吊钩E受CE,DE两钢索的拉力N5N5。它

们各与此两钢索对横梁的拉力NCE,g等值、共线、反向。吊钩E所受的约束反

力是最上面的吊索拉力N。

（3）下图为整体受力图。以整体为研究对象时，由于心与N，E；心与N”

都是作用在同一对象上的等值、反向、共线的平衡力，它们互相抵消对整体不产

生外效应，故不必画出。只需画出外荷载：横梁的自重q与上面吊索的约束反力

No

E

Al[]]]][]]]।B

5.一重量为P的电动机，放置在ABC构架上。构架的A,C端分别以较链固

定在墙上，AB梁与BC斜杆在B处较链连接。如忽略梁与斜杆的重量，试分析斜

杆的受力情况。

解由于ABC构架处于静力平衡状态，当只研究BC斜杆的受力情况时，可将BC杆假想地脱

离构架，如下图，题意BC杆的自重不予考虑，因此，只在杆的两端通过较链B和C分别受

到约束反力RB和Rc。根据光滑铉链的性质，这两个力必定分别通过B,C点。BC杆在此两

个力作用下处于平衡，根据二力平衡的条件，这两个力必定沿同一直线且等值反向。所以，

可以确定RB和Rc的作用线应沿B和C的连线。至于力的指向，本题是压力（对于不同的受

力情况，应由平衡条件确定）。

在工程上经常会遇到二力构件,:力构件所受约束反力的特点:两力必都沿作用点的连

线。

6.图所示人字梯的两部分AB和BC在A点较接，又在D,E两点用水平绳连

接。梯子放在光滑的地平面上，其一边作用有铅垂力P。如不计梯重，试分析并

画人字梯整体、AB及AC部分的受力图。

解从整体考虑，人字梯所受的外力有铅垂力P与B,C处的约束反力。因梯子B,C端放在光滑的地平面上,

由于光滑接触面（线）的约束反力只能是压力，它作用在接触处，方向为沿着接触表面在接触处的公法线

而指向物体,所以，B,C端受到地面垂直向上的约束反力％,Vco下图为人字梯整体的受力图。

取AB为研究对象，如下图所示。DE水平绳只能受拉力，不能受压力，从作用力与反作用力定律可知,

AB在D处受DE方向的绳子拉力N则A为钱接点，约束反力方向未知，可分解为L与H、，其指向可先行假

设如图中所示。同理，可画出AC的受力图。

7.-钢筋混凝土带雨篷的门顶过梁的尺寸如图所示过梁与雨篷板的长度（垂直纸平面）均为4m设此过

梁上砌砖至3m高时，便要将雨篷下的木支撑拆除，试验算在此情况下雨篷会不会绕A点倾覆。已知钢筋混

3

凝土的容重Yi=25kN/m’，砖砌体容重Y2=19kN/mo验算时需考虑有一检修荷载P=lkN作用在雨篷边缘上

（检修荷毂即人与小工具重量）。

解令雨蓬、过梁及31n高砖墙的体积分别为％,%,V3,则

雨篷重W,=YIV,=25X103X（7OX1O3X1X4）=7000N

33

过梁重W2=Y1V2=25X10'X(350X10X240X10X4)=8400N

3S

砖墙重W3=Y2V3=19X10X(240X10X3X4)=54700N

各荷载作用位置如图所示。

使雨篷绕A点倾覆的因素是W1和P,它们对A点产生的力矩称为倾覆力矩，而阻止雨篷倾覆的因素是

W：和照,它们对A点产生的反力矩为抗倾覆力矩。分别计算如下：

倾覆力矩=一皿X0.5-PX1=-7000X0.5-1000X1=-4500N•m

抗倾覆力矩=+%X0.12+晒X0.12

=+(8400X54700)X0.12

=+7574.4Nm

由上面计算结果可知，抗倾覆力矩大于倾覆力矩，所以，雨篷不会倾覆。

8.如图所示AB悬臂梁的自由端B,作用一个在xOy平面内、与x方向夹角30。的力P=2kN。AB梁的

跨度1=加，求P力对A点之矩。

P

解解题时直接求力臂h的大小稍觉麻烦，如利用合力矩定理，可较为方便地计算出P力对A点之矩。把P

力分解为水平分力P”与垂直分力P”

由合力矩定理得:

MA(P)=MO(PX)+MA(Py)=0+Psin30°X4=2X0.5X4=4kN-m

9.一AB简支梁，在C处受一力偶作用如图2-22a所示，已知力偶矩M=100kN•m,梁跨度l=5m,求

A,B两支座的反力。

解取AB梁为脱离体，由于梁处于平衡状态，故必有支座反力组成的力偶矩与外荷载M平衡。今B处支反

力%垂直于AB梁，所以，V,、也垂直于AB梁，并假设h,V,的方向如下图所示。由力偶平衡条件：

M100

-M+VB1=0得VB=/=5=20kN

因匕与V,组成一个力偶，故匕=V“=20kN

答案为正值，说明假设方向与实际相符合。

10.如图所示，在E处挂有一重量为100N的物体，由两根绳子保持平衡。绳AD保持水平，绳ABC

是连续的，并跨过无摩擦滑轮B。求绳AD的拉力NAD和为平衡重物而在C处悬挂的重量W.

解该结构处于平衡状态，那么，取任意部位为脱离体均符合平衡条件。

1.先分析A点受力情况。如下图所示，点A作用三个汇交力。绳索AE对A点作用一个垂直向下、数值

等于物体重量100N的力心，拉力加与N*的大小未知，而方向已知。

2.作力多边形。以20nmi等于100N的比例画力多边形。如图所示，以任意点a为起点，作力N*的方向

线ab边，取ab边长20mm得b点，由b点作力NM方向线be,与过a点作力的方向线ac交于c点。

NAB

NAE

NAD

3.用相同比例量得NM=180N,N,,»=200NO

4.分析B点的平衡。如图所示，因为绳索ABC跨过无摩擦滑轮，力加=200N在绳索中是常数，故g

=NAB=200No

NBC

5.研究C点的平衡。对于绳索BC,C处重物给绳索作用力NBC,同样绳索给重物的拉力为N”(见图)。

M与N”是一对大小相等、方向相反作用在两个物体上的作用力与反作用力，故1笈=脑=20()刈又因C

点重物处于平衡状态，故C点悬挂的重物W=N'BC=200NO

N'BC

W

11.管道支架由AB,CD两杆组成，结构尺寸如图所示。B,D两处是固定被支座，C处是连接用较链。

管道悬挂在水平杆AB的A端，该支架所承担的管道重为4kN。不计杆重，求CD杆所受的力和支座B的反

解画受力分析图（见下图），

在A端受管道竖直向下的重力P=4kN；根据题意，CD杆的重量不予考虑，CD

杆中部无外力作用，c,D两端均为较支连接，可见CD杆是一个二力杆，它通过

C校作用在AB杆上的力心作用线与它本身的轴线相重合，即与AB杆成45°夹

角；B端为固定较支座，支座反力RB的作用点为B点，方向待定。由于AB杆处

在平衡状态，杆上仅作用三个力，现力必作用线与管重P力作用线汇交于0点,

可知第三力RR的作用线必为0B连线方向，因此P,Na),RH为作用在AB杆上的三

力汇交平衡力系。由于P力数值与方向已知，Nc”R的方向已知，故可用闭合的

力多边形法则作图3-5co图中力的比例尺为lcm=2kN,量得ac与be线段之长

分别为3cm和4.2cm,所以，两力NCD和&的大小分别为

Na,=4.2X2kN=8.4kN

R„=3X2kN=6kN

CD杆所受的力与图中的Ne等值、反向，所以，CD杆受力N，8=8.妹N,且是拉力。

注意，图中各力的数值与方向要力求正确，这样可提高图解法的精确度。

12.已知作用在刚体上并交于0点的三力均在xoy平面内(如图)，且R=250N,P2=200N,P3=l()0N.

<1)=30°,9=60°.用数解法求此平面汇交力系的合力R。

解先求各力在坐标轴上的投影：

Pi*=0

P?x=P2cos(I)=200Xcos30°=173.2N

P3x=-P3cosO=-100Xcos60°=—50N

Ply=-250N

P2,v=-P2sin<i>=-200Xsin30°=-100N

P3y=P3sin0=100Xsin60°=86.6N

用合力投影定理求合力R在坐标轴上的投影

R=£x=0+173.2-50=123.2N

R尸£y=-250-100+86.6=-263.4N

求合力R的大小和方向

,,R=J/?，+&2=J123.22+（一263.4尸=290.8N

方向：因为Ry是负值，艮是正值，故R方向为右下方，与X轴的夹角:

-263.4

=2.138

R,123.2

a=64.9°

13.图示一起重构架ABC的A点装置一个定滑轮。校车D的钢绳通过滑轮而起吊重物W,已知W=15kN«

支架A,B,C三处的连接均为较接，不计滑轮、钢绳、构架的自重及滑轮轴的摩擦。求起重架AB,AC杆所

受的力N”N”

解以滑轮A为研究对象。作用在它上面的力有四个，其中，AB杆与AC杆由于不考虑自重，两端为钱支,

故是二力杆，力作用线与杆轴线重合。起重钢索AD段的拉力心以及它的铅垂段的拉力W虽然都作用在轮

缘上，但是他们的大小相等，它们的合力通过轮心A。

因此，可将拉力即与铅垂力1V=15kN看作作用在轮心A上，即不计滑轮的尺寸，而将其看作是一点，这样

当研究A节点的平衡问题时，列出两个平衡方程：

£x=0Ni+N2cos30°-N.M)sin400=0

£y=0N2sin30°-NADcos40°-W=0

因为一知条件中NAD=W=15kN,故可解得方程组中两个未知量：

N2=53kN

N1=-36.3kN

求得的Nz为正值，弗力假设的方向正确，AC杆受压力；I为负值，说明实际NJJ的指向与所假设的方

向相反，应为离开节点A,故AB杆受拉力。

14.一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成。节点A,B,C均采用焊接，

在分析支架受力情况时，可简化为较接计算，已知每一管道重为248N/m,支架间距为6m。试求支架A,B

两处的约束反力。支架自重忽略不计。

解由题意知支架节点均简化为较接，管道重以集中力的形式通过接触点垂直作用在支架上，支架间距为

6nb每一支架承担6m长的管道重量，故：

P=6X248=1488N=L488kN

支架中BC杆为二力杆，所以，B钱处的约束反力RB必沿BC方向作用。而AC杆不是二力杆，A处约束

反力方向未知，以%及％两分力代替。各反力指向先假定。

1.用一矩式方程组求解

ZMA=OPX1+PX1.4-R8COS300X1.26Xtan30°=0

1.488X1+1.488X1.4-RBsin30°XL26=0

1.488X1+1.488X1.4-RBsin300XL26=0

得RB=5.67kN

£y=0VA+RBsin30°-P—P=O

VA=2.976-RBsin30°=0.141kN

Ex=0RBCOS30°—HA=0

HA=4.91kN

2.用二矩式方程组求解，如r.

£MA=0可求得RR=5.67kN

2Mli=0H,X4B+1.488X1+1.488X1.4=0

AB=ACtan300=1.26Xtan30°=0.727m

将A5值代入上式方程中求得H、=4.91kN

£y=0方程与上面一矩式中的相同，可得L=0.141kN。这儿若再用£x=0方程，不能解出第四个未

知量，故£x=0称不独立方程，只可将其作为校核之用。

£x=0-HA+RBCOS30°=-4.91+5.67Xcos300=0

3.用三矩方程组求解

ZMA=O如上求得RB=5.67kN

£MB=O如上求得HA=4.91kN

ZMc=OVAX1.26-1.488X0.26+1.488X0.14=0

得VA=0.141kN

上面三组平衡方程，在解题时，只需任选一组即可。

15.一简支梁受力如图所示。己知P=20kN,q=10kN/m,不计梁自重，求A,B两支座反力。

解画A,B两支座的约束反力如图所示。在求支座反力时，可将分布荷载q以集中力2q的形式作用在分

布荷载的中点（图中虚线所示）。由平衡方程：

£x=0HA—Pcos600=0

20x-

H,,=2=iokN

VBX6-qX2X5-Psin60°X2=0

-(10x2x5+20xsin60°x2)

VB=6=22.4kN

ZMB=0VAX6-Psin60°X4-qX2Xl=0

-(20xsin60°x4+10x2xl)

VA=6=14.9kN

为了检查计算结果的正确性，可用Ey=0方程进行校核。

Ey=0L+VB—Psin600-2q=0

o

VA4-VB=Psin60+2q

22.4+14.9=20sin600+2X10

37.3=37.3

说明前面计算结果正确。

16.求图示三较刚架A,B处的支座反力。

解构件ADC与BEC通过较C连在一起，并用较A,B与地基连在一起，成为一个几何不变体系。较A,B

各有两个反力，故有四个未知数，%,HA;VB,HB,它们的方向先假定如图所示。

先从三较刚架整体考虑，可列出平衡方程：

LMA=OVBX4a—qX4aX2a—PX2a=0(a)

15

--(8qa2+2qa~

得VB=4。=2

ZMB=OVAX4a+PX2a-qX4aX2a=0(b)

1°3

—(8qa~一2qa~)—qa

得V尸4a=2

£x=0H,t—Ha+P=O(c)

从整体考虑只能列出三个平衡方程，无法解出四个未知量，所以要补充一个方程。为此，可取部分脱

离体，现取CEB部分脱离体(如图3-21b所示)，C被处有一约束:反力，分解为两个未知量％、He(方向可

先假定)，故脱离体共有三个未知量，但因本题意不要求解出％、He,故可取C为矩心，以求％：

£Mc=OHi{X3a+qX2aXa—VuX2a=0

—(V„x2a-2qa2)—x2a-2qa2),、

H尸3as=3«2"=qa(一)

以%值代入式（c）中，得H,\=0

校核一取整体平衡，检查各力在y轴上的投影总和是否为零:

35

—qa—qa

£y=0VA+VR—4qa=2+2—4qa=0

再取任一点，如D点，检查各力对该点之矩的代数和是否为零:

£Mp=OHAX3a+Pa+VBX4a-HBX3a-qX4aX2a

0+4。2+-qa'x4a-qax3a-8qa2

=2=o

说明所求A,B支座反力正确。

17.图示一最大起重量P=100kN的塔吊。其自重G=400kN。作用线距离塔

身中心线0-0,为0.5m。塔身最下面四个轮子可在轨道上行走。为使在起吊过程

中不倾倒，必须放置配重W,配重作用线如图所示。试问W为多少kN时，该塔

吊不会发生倾倒？

解该塔吊受平面平行力系w,G,P作用，为使它不倾倒，力系的合力作用线范

围必须在AB之间合力大小R=W+G+P=W+400+100=

500+W

若合力作用线位置在AA-，各力对塔身中心线00,取矩，合力R力臂H=lm：

RXH=WX3-GX0.5-PX10

(R"+Gx0.5+Pxl0)3+500)x1+400x0.5+100x10

W=3=3

得W=850kN

若合力作用线位置在BBL各力对塔身中心线取矩：

RXH=GXO.5+PX10-WX3

(W+500)X1=400X0.5+100X10-3W

得W=175kN

所以，当塔吊有最大重量P=100kN时，配重范围为850kN>W>175kN。

18.求图示AB外仰梁的支座反力。

解在求支座反力时，可将分布荷载q以集中力6q作用在q荷载的中点C处（图中虚线所示）。画A,B

的支座反力作用线，并假设方向向上。

2Mli=0V,、X4.5—PzX1.5—PiX3-6qX3=0

40x1.5+20x3+6x10x3

VA=4.5=66.7kN

LM»=0VBX4.5-PLXI.5-P2X3-6qX1.5=0

得VB=53.3kN

用£y=0进行校核

VA+VB-P,-P2-6q=66.7+53.3-20-40-6X10=0

可见计算正确。

第4章

1.试分析图中a,b,c三种情况的儿何组成。

AB

解（1）图a中AB杆可视为刚片I,基础（地球）为刚片I【，它们由三根支杆相连，且此三支杆既不全平

行又不全交于一点，所以体系是几何不变的，且无多余联系。

（2）图b中杆AB和基础分别视为刚片I,H,两刚片之间连接是由相交于A点的三支杆相连，所以,

体系是几何可变的。

这里必须指出，虽然两刚片相互连接是由三根支杆相连，从支杆的联系数目来说是符合规则的,

但由于支杆的布置不恰当，体系就成为可变了。

（3）图c中杆ABC为刚片I,基础为刚片U,两刚片是由四根支杆相连，且支杆之间既不全平行，又

不全交于一点，所以，体系为几何不变，且有一个竖向的多余联系。

2.试分析图示结构的儿何组成。

解分别将图中的AEC,BFD,基础视为刚片I,II,HI,刚片I和HI以钱A相连，A钱用（1,3）表示，B钱

是联系刚片n和川的以（2,3）表示，刚片I和刚片n是用CD,EF两链杆相连，相当于一个虚钱0用（1,2）

表示，如图b所示。

则连接三刚片的三个较(1,3),(2,3),(1,2)不在一直线上，故为不变体系，且无多余联系

3.试分析图示结构的儿何组成。

此体系初看似很复杂，不能直接应用两个基本规则来分析，但经过简化后就容易了。

解首先把上部和左、右两边二元片撤除，如图b所示，AB、BC、基础分别为刚片I,II,HI,刚片I,

III和刚片n,HI分别由链杆以虚钱(1,3),(2,3)相连,刚片I,II由B较(L2)相连，此三线1,3),(2,

3),(1,2)不在一直线上。

所以，整个体系为几何不变，且无多余联系。

4.试分析图a,b所示体系的几何组成。

解⑴在图a中，将ABC和DEF分别合成为刚片I,H,此两刚片由BE,CD两链杆相连，因为缺少一联系,

故体系是可变的。

(2)在图b中，将ABC和DEF分别合成为刚片I,II,此两刚片若用BE,BD,CD三根不全平行也不全

交于一点的链杆相连，就是不变体系，现在多了一根链杆CE,所以，整个体系为几何不变，且有一多余联

系。

5.试分析图示体系的几何组成。

解法

如图a所示，将基础，BCDEF,AB分别视为刚片I,II,Ill,刚片工和11用两支杆交于D点的虚较相连,

B较连接刚片11,川，A较连接刚片I,01,则三较(1,2),(2,3),(1,3)不在一直线上。故体系为不变

的，且无多余联系。

解法二

将基础和杆BCDEF视为刚片I,H,而刚片AB是用A、B两校与其他部分相连，可将刚片AB视为链杆

(以虚线在图b中所表示AB链杆)。因此，两刚片用三根不全平行也不全交于一点的链杆相连，同样，可得

到几何不变的结论。

第5章

1.已知一剪支梁如图所示，荷载巴=24KN,PF80KN,求梁跨中截面E处的剪力Q,和弯矩M。

解(1)求支反力，梁上无水平力，故只有垂直方向支反力VA和V8。假设支应力的方向如图所示。

由平衡条件

EMA=OVB・4-PJ1-P2・2.5:0

VB=1A(24・1+80・2.5)=56KN

£MB=0VA*4-P1*3-P2*1.5=0

VA=1A(24*3+80*1.5)=48KN

用£My=O校核

A

V+VB-P1-P2=48+56-24-80=0

校核结果表明支反力计算无误。

(2)用截而法求剪力Q和弯矩ME

用截面法在截面E处切开，考察左段梁的平衡，并假设Q和ME均为正值，如图b所示。

由£y=0

VA-PI-QE=O

QE=VA-PI=48-24=24KN

EME=O

ME-VA-2+Pi*1=0

ME=VA*2-P1*1=48*2-24*1=72KN*M

得到的QE和ME均为正值，说明假设方向对,E截面上的剪力QE和弯矩ME均为正值。

2.简支梁受均布力q和集中力偶ME=ql2/4的作用，如图a所示。求C截面的剪力和弯矩。

解（1）支反力

此题求支反力时可用叠加法求较为方便，即分别求出在q和ME单独作

用时梁的支反力，然后求其代数和：

2

VA.ql/2+Mf：/L=ql/2+ql/4=3ql/4

VB=ql/2-ME/L=ql/4

再由£y=0校核

VA+VB-ql=3ql/4+ql/4-ql=0

上式表明支反力计算无误。

在求C截面的内力时，因为C截面作用有集中力偶M,,故C截面稍左面

和稍右面的内力可能不同，现分别计算如下：

（2）求C截面稍左截面处的剪力Q.和弯矩Mr,如图b

由£y=0

QcA：—V«+qL/2=0

故@左=VA-qL/2=3ql/4-ql/2=ql/4

由£Mc=O

Me左一VJ/2+qL/2•L/4=0

故Mes=V„L/2-qL/2•L/4=3qL/4•L/2-qL/2•L/4=ql2/4

(3)求C截面稍右截面处的剪力Qy和弯矩八

由£y=0

Qci；—V〃+qL/2=0

故彘左=V.-qL/2=3ql/4-ql/2=ql/4

由EMc=O

Mc^,—VAL/2+qL/2•L/4+=0

故临左=V,、L/2—qL/2•L/4=3qL/4•L/2-qL/2•L/4=ql2/4

3.简支梁作用均布荷载q,如图所示。试绘出该梁的剪力与弯矩图。

解（1）支反力

由对称性可知VA=VB=ql/2

（2）取A点为坐标原点，列出剪力和弯矩方程

Q(x)=VA—qx=ql/2—qx(0<x<l)

2

M(x)=VAx—qx/2

=qlx/2—qx2/2(OWxWl)

b)

IWTrrrr^

(Q图

ql/2

ql?/8

从剪力方程式可知,Q图是一条斜直线：

当x=0时，QA=+ql/2；

当x=l时，Qis=-ql/20

根据弯矩方程式知，M图为二次抛物线：

当x=0时,MA=0；x=l时，MB=0；

2

最大弯矩在x=l/2处，其值为Mmax=ql/8O

4.剪支梁作用集中荷载P,如图所示，且a>b,绘制剪力和弯矩图。

解（1）求支反力

VA=pb/LVB=pb/L

取梁的A点为坐标原点。由于集中力P作用在C点处，所以，应将梁分为AC和CB两段列出剪力方程

和弯矩方程式。

AC段

Q(x)=VA=pb/L(0<x<a)

M(x)=VAX=pbx/L(OWxWa)

CB段

Q(x)=VA-P=Pb/L-P

=-P(1-b/L)二一Pb/L(a<x<L)

M(x)=VAX—P(x—a)

=pal/l(1—x)(OWxWa)

根据上述方程作剪力图和弯矩图，如图b、c所示。剪力图在AC和BC段均为常数，在P力作用点C处,

剪力由+Pb/L变为一Pa/L,数值上发生了突变，最大剪力Qw=Pa/L发生在CB段内。

pb/l

切)

poto/l

AC段及CB段的弯矩均与x成正比，故弯矩图是两条斜直线，最大弯矩发生

在C截面处,其值为Mx=pab/L,如a=b=L/2,则k=PL/4。

从剪力图上还可以看出，在A、C、B三个截面处，剪力图均有突变，其突变

的绝对值分别为Pb/L、P和Pa/L,即分别等于该处集中力的值。这一规律是普

遍存在的，即在集中力作用处剪力图上有突变，突变值等于该剪力值的大小。

这种剪力不连续的情况，是因为荷载简化为集中力的缘故。实际上荷载不是

集中作用在一点上，而总是分布在一小段长度上。如果将P力以分布力表示，则

剪力图是连续的，而弯矩图在此处将是一段光滑的曲线。

5.在剪支梁C点处作用一集中力偶Me,绘此梁的剪力和弯矩图。

解(1)求反支力，假设支座反应力方向如图所示:

%二/=Me/L

(2)分两段列出剪力方程和穹矩方程

AC段

Q(x)=-VA=-Me/L(0<xWa)

M(x)-VAx=-MeX/L(OWx<a)

CB段

Q(x)=-VA=-Me/L(aWx<L)

M(x)=-VAx+Me=-MeX/L+Me(a<xWL)

从AC段和CB段的剪力方程知，剪力在全梁上是一常数。

从AC和BC段的弯矩方程知:

AC段

当X=0时MA=O

当X二a时Me充二-Mea/L

CB段

当X=a时Mc&=—Mea/L+Me=Meb/L

当X=L时MB=O

弯矩图为两条斜直线，MrHMu这说明在集中力偶作用处弯矩图上有突变，突变值为Me,这也是普遍

现象。即在集中力偶作用处弯矩有突变，其突变值等于该截面卜•的集中力偶的数值，而在集中力偶作用处

剪力图上无变化。

b)

H(Q图

、Mrd/L

c

6.如图所示的外伸梁。已知：q=20KN/M,P=20KN,Me=160KN•M,绘此梁的剪力图与弯矩图。

由£MB=O

VA•10-160-20•10•3+20•2=0

V»=72KN

由£M,=0

VB•10+160-20•10•7-20-12=0

VB=148KN

再由£y=0校核

V»+VB-q•10-P=72+148-20•10-20=0

校核结果无误。

画剪力图和弯矩图时，首先求出特定截面的剪力和弯矩。

对剪力图，特定截面的剪力指集中力作用处的左、右侧截面的剪力，以及分布荷载的起点或终点处截

面的剪力。

对弯矩图，特定截面的弯矩指集中力作用截面，以及分布荷载起点或终点处截面和集中力偶作用处左、

右侧截面的弯矩。然后根据弯矩、剪力和分布荷载集度间的关系归纳的几条规律来绘制剪力图和弯矩图。

(2)绘剪力图

A截面右侧截面的剪力等于支应力V”因为V,、是正剪力故向上突变72KN,又因为AC段梁上无均布荷载,

所以AB段的剪力图为一水平线。B截面有集中力ViFMgKN,所以B截面左、右侧的剪刀不同，可求出Qp

=V,-8q=70-20«8=-88KN,QC右=-88+148=60KN,D截面有集中力P作用,所以,Q”.=20KN,又因为CB•段

和BD段段上有均布荷载q作用，剪力图均为斜线。

(3)绘弯矩图

A点为简支端，弯矩MFO,C点有集中力偶作用，在截面C处弯矩图有突变，Me/.-：=V「2=144KN

AC段无分布荷载，弯矩图为一斜直线。再求出正产％•2—Me=144-160=-160KN•M,kk-P•2-

q•2•1=-8OKN•M,CB段上有均布荷载，弯矩图是一条二次抛物线，又因d,(x)/dxJ-q〈O,所以弯矩图

向下凸，但必须注意到CB段剪力图上有剪力等于零的截面,弯矩图在该截面上斜率必为零,有极值弯矩。

要求出极值弯矩,首先必须求出剪力等于零的截面位置,如果该截面离A支座的距离用x表示,可令

Q(X)=O,求出X的值，即Q(X)=V»-q(x-2)=72-20(x-2)=0,得x=5.6m,故M极值

=V*X-Me-q(x-2)72=72•5.6-160-20•(5.6-2)72=113.6KN•M

至于BD段，己求出MB=-80KN•M,而D为自由端MD=0,同时BD段有负值均布荷载,所以弯矩图也是一条

向下凸的二次抛物线.

7.作图所示多跨静定梁的内力图。

p

解⑴画出关系图，如图b所示。

AE为基本部分,EF相对于AE来说为附属部分，而EF相对于FG来讲则EF乂是基本部分，而FG为附属部分。

(2)求各支反力。

先从附属部分FG开始计算,F点反力求出后，反其指向就是EF梁的荷裁.再计算出EF梁上E点的反力后，

反其指向就是AE梁的荷载.各支反力的具体数值？如图C所示。

(3)做各单跨梁的弯矩图和剪力图，并分别连在•起,即得该多跨静定梁的M图和Q图，如图所示。

在设定多跨静定梁时，可以适当选择中间校的位置，使其弯矩的峰值减小，从而达到节约材料的目的。

po/?po/2

0、

8.两跨静定梁，全长承受均布荷载q。如图所示。要使正负弯矩峰值相等，试求D较的位置，并绘出相应

的弯矩图。

cb

解（1）设D钱的位置与B支座的距离为X

(2)计算支座反力。

先从附属部分AD开始，由平衡条件求得VD=q(L-x)/2,并将其反向作用到基本部分DBC」二,

(3)求D钱的位置。

2

B支座处的负弯矩为q(L-x)x/2+qx/2,AD跨中的正弯矩为q(L-x)78o

根据题意，得

q(L-x)2/8=q(L-x)x/2+qx2/2

x-0.172L

(4)将求得的x值代入正负弯矩的表达式，作弯矩图如图所示，其正负弯矩的峰值为0.086ql?。

q

A口口中也冲口口”

J.\L________

d)DI55q?

rmr

0.5LQ5L.D.5L

9.试作图所示的刚架的内力图。

解（1）求支座反力

取整个刚架为脱离体，假设反力方向如图中所示。由平衡条件得

£X=0

HB=30KN

£MB=O

VA•6+30•4-20•6«3=0

VA=40KN（t）

£MA=0

VB-6-30•4-20•6•3=0

VB=80KN（t）

（2）分段求杆杆端内力

AC段：M,“=M"=0Q—，NAC=-40KN

CD段：Mcu=0,MI）C=3O・2=60KN・M（左彳则受拉）,Qa=-30KN,Qx^SOKN,NCB=NI）C=-40KN

BC段:MBI：=0,MEB=30•6=180KN*M（右侧受拉），QEB=QBE=30KN

NBE=NEB=-80KN

DE段：求DE杆两端的内力时，可以分别利用结点D和E由平衡条件求得:

结点D：£X=0,N（t=-30KN

ZY=O,Qw;=40KN

£MD=O,M„I；=60KN・M

结点E：SX=O,NED=-30KN

XY=O,QED=-80KN

LME=O,MED=180KN・M（上边受拉）

分别做M,Q和N图，在做M图时，DE段的弯矩因两端弯矩值已求得，在此

两纵标值的顶点以虚线相连，从虚线的中点向下叠家简支梁的弯矩图，简支梁跨

中的弯矩值为ql78=90KN・M。

10.试作图所示三角刚架的内力图。

解（1）求支座反力

截断固定钱支座A和B,取整个刚架为脱离体，如图所示。有四个未知反力L,V”H“和％需要列出四

个方程才能求出。考虑整体平衡，可得

LM»=OV„•8-20•8•4=0VB=80KN(t)

LY=0VA+VB-20•8=0VA=80KN(t)

EX=0,

再利用C较处弯矩为零的条件得到补充方程，取钱C左半部分(或右半部分)，

由£虬=0,

得％•4-H,,•8-20•4•2=0,H,=20KN(-),所以HB=H»=20KN(一)

(2)求各段杆端内力

AD段M»=0,Mm=20•6=120KN«M

Q,M)=QOA=-2OKN,N,MFNM=-80KN

DC段Me=0,MK=120KN・M(上边受拉)

DC杆是一根斜杆，承受沿水平方向的均布荷载，求杆端D的剪力和轴力图时，可截取结点D为脱离点,

取沿DC方向为N轴，垂直DC方向为t轴，

因"匕：Et=0,Q(»-62.6+80cosa=0

其中COSa=2/=0.894sina=1/石=0.447,代入得

QDC=80・0.894-20•0.447=62.6KN

£n=0,Ni)c+80sina+20cosa=0

N^-80•0.447-20•0.894=-53.6KN

求DC杆C端的剪力和轴力时,可截取DC杆为脱离体,

Qe=62.6-80•0.894=-8.9KN

如用力矩方程，即由£M0=0,得QCD-DC+20•4•2-120=0,其中DC==4.47,代入得

Q™=(120-160)/4.47=-8.9KN,所得结果与上面用投影方程解是一样的，再由

En=0,Ncl)+53.6-80sina=0

N™=-53.6+80•0.447=-17.8KN

(3)分别绘制M,Q和N图

根据上述所求得的各杆杆端的内力大小和方向可绘出内力图，如图,在做DC杆的弯矩图时,可利用叠加

法.因DC杆的两端的弯矩为已知，以虚线相连,从虚线的中点向DC杆的轴线作垂直线,叠加简支梁的弯矩图,

中点叠加的弯矩值为q178=40KN«M.

11.试计算图所示三较拱的内力并绘其内力图。已知其拱轴为一抛物线，当坐标原点选在左支座时，其拱

轴方程为y=4fx(L-X)/L2。

q74KN/c

。〉HIUlUcP=50KN

解(1)求支座反力。

V.=V°A=(14•6•9+50•3)/12=75.5KN

0

VB=VK=(14•6•3+50•9)/12=58.5KN

H=M0c/f=(75•5«6-14•6•3)/14=50.25KN

(2)各截面的内力计算.在计算内力时,可将拱跨分为8等分,计算出各分段点截面的弯矩、剪力和轴

力值。计算时为了清楚和便于检查，计算可列表进行。然后根据计算结果绘出M,Q和N图，如图所示。

为了说明计算过程，现以距A支座为1.5的截面1为例，计算如下：

由已知的拱轴方程,将L=12m及f=4m代入，

得y=4f(1-x)X/12=X(12-X)/9

则有tanV=dy/dx=(12-2x)/9=4(1-x/6)/3

将截面1的横坐标x=l.5m代入,得

y,=l.5(12-1.5)/9=1.75m

tanVi=4(1-1.5/6)/3=1

Wi=45"

贝ijsin450=cos45<'=0.707

1=(75.5•1.5-14•1.5♦1.5/2)-50.25•1.75=9.5KN«M

Ql=Q%os5-Hsi