八年级数学三角形辅助线大全

33三形辅性法全在用角的角大任和不邻内证角不关时如直证不来可结点延某，造角，求的角某三角外的置，角在角位上再用角理题例：为△ABC内一，求证：＞BAC证法〔一长ACE，∵∠BDC是△EDC的外角，∴∠＞

AA同理：∠＞BAC∴∠＞BAC证法〔二结AD，并延长交于F

B

EC

B

F

C∵∠BDF是△的角，∴∠＞∠同理∠CDF＞∠CAD∴∠＋∠CDF∠＋∠CAD即：∠＞BAC2.有平线时在两截相的段构全三形例图AD为ABC的中线且∠12，∠3∠4求证：＋CF＞证明：在DA上截取DNDB连结NE，那么

DN

在△BDE和NDE中

NDN=DB

∠1=∠2EDED

1

24D∴△≌NDE∴=NE同理可证：=NF在△EFN中EN＋＞EF∴BE＋＞有以段点端的段时常倍长线构全三形.例图AD为ABC的中线，且∠1，3=∠4求证BE＋CF＞EF证明：延长EDM使=DE，连结CM、FM△和△CDM中BD=∠1=∠5ED∴△BDE≌△∴CMBE又∵∠1∠，∠3=∠

∠12＋∠＋∠180∴∠3＋∠2即∠EDF=90o∴∠FDM=EDF=o△EDF和△MDF中

AED∠FDM=∠EDF

E

CDF=DF∴△EDF≌△MDF∴EF=MF∵在△CMF中CFCM＞BECF〔此题也可加倍FD，证法同上〕在三形有线，加倍长线造等角.例图AD为ABC的中线，求证：AB＋AC2AD证明：延长AD至，使DEAD，连结BE∵ADABC的线

∴=CD在△和△EBD中

BD=∠1=∠2

1

2

AD=ED∴△≌△∵△ABE中＋＞∴ABAC2AD5.截补作辅线方

截法在长线上取条段于短段补法延较线和长段等这种法称长短.当求中及线ab、、有下况一用此方：①a＞②b③bc±例图，在ABC中AB＞，∠1=∠，为AD上一点，求证：ABAC＞PB－PC证明：⑴长：AB上取AN=，连结PN在△APN和APC中，AN=∠1=∠2=AP

1

2∴△APN≌△∴=PN

P

∵△BPN中PB＜BN∴PB＜－AC⑵短：长AC至M使AM=AB，连结PM在△ABP和AMP中=AM∠1=∠2

=AP

1

2∴△ABP△∴PBPM

B

又∵在有CM＞PM－∴ABACPB练：1.，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是ABC的平,且它们交于点求证：＋CD，如图AB∥CD∠=,∠∠

求证：BCAB＋

6.证两线段等步：

1423C①察证段哪个能等三形，后这个角形等②设中有等角，以求线用它等线代换再它所的角全③果有等线代，设作助构全三形例如图，、交于F，∠=∠C，∠∠，求证：DF=证明：∵∠=∠B∠∠AEFC∠4又∵∠3∠∠=∠∴∠∠AEF在△和AEF中∠ADF=∠AEF∠1=∠2

AAF=AF∴△≌△AEF

2

E

C∴DF=7.在个形中有个直系，用角等〕余相来明两角等.例图eq\o\ac(△,Rt)ABC中，=AC∠=D，CEAN于E，求证：=BD－CE

，过A作任一条直，作BD⊥AN于证明：∵∠90o

BD⊥∴∠＋∠2=90o

∠1∠=90o∴∠2=∠3∵⊥ANCE⊥AN∴∠∠AEC=90o在△和CAE中1

2

3

∠BDA=∠∠2=∠3=AC∴△≌△∴=AE且ADCE∴AE－ADBD－CE∴BD8.三形边的端到边中所的线距相.例：AD为ABC的线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD延长线于E求证：BE=证明〕

1

2

9.条缺时延边造角.例：ACBD，ADACA，BCBD于B求证：AD=BC证明：分别延长DA交点E∵AD⊥AC⊥∴∠CAE∠DBE=90在△DBE和CAE中∠∠CAEBD=AC∠∠E

∴△DBE≌△CAE

A

B∴EC，EB=EA

O∴－ECEB∴ADBC

D

连四形的角，四形题化三形解问.例图AB，AD∥BC求证：=证明：连结〔或BD〕∵ABCD，AD∥BC∴∠1=∠2

1

3

在△和CDA中∠1=∠2

B

4

2

AC=CA∠3=∠4∴△ABC△∴ABCD

E

CA

练图DC，AD=BC，BF求证：BE=DF11.和平线直线时，常这线延。归为角垂腰〞例图在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，AB，∠90o∠=∠2，CE⊥BD的长线于求证：证明：分别延长BA、交于∵⊥CF∴∠BEF=∠BEC90o在△BEF和BEC中

F∠1=∠2

EBE

∠BEF∠BEC

B

12

∴△≌∴CE=FE

12

∵∠90o

BE∴∠=∠CAF=90∠1∠=90∠1∠BFC∠BDA=∠在△和ACF∠BAC=∠CAF∠BDA=∠=AC∴△ABD≌△ACF∴=CF∴=2CE练习图∠ACB=3B，∠1∠2,CDAD于D，求证：ABAC=1

2

12当证有难，结条，图中某点连起构全三形例图ACBD相于O且AB=DC，AC=，求证：A=∠D

A

D证明结BC过程略〕

OB当题少线相的件，取条段点为题供件例图=，AD

求证：∠ABC=DCB证明：分别取、点N、，连结NBNMNC〔过程略〕

D有平线，过平线的点角边

做线利用平线的到两距相证.例图，∠=，P为BN上点，且⊥于D，AB=2BD求证：＋∠BCP=o证明：过作PE于E∵PD⊥BC∠∠2∴PE=

AN在eq\o\ac(△,Rt)BPEeq\o\ac(△,Rt)BPD中BP=BPPEPD∴eq\o\ac(△,Rt)BPEeq\o\ac(△,Rt)BPD∴=BD∵AB=2BDBC=＋BD，AB=BE－AE∴=∵PE⊥，PD⊥∠=∠PDC=90在△和PDC中PEPD∠=∠PDCAE=CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB=∠∵∠BAP∠EAP=o∴∠BAP∠=180o练习：1.，如图，PA、分是ABC外∠与∠NCA的分线，它们交于P，⊥BM于M，⊥于F，求证：为的分线A

PB

C

F，图，ABC中∠ABC=100o∠ACB

，CE是ACB的分，是AC上一点，假设CBD=o求的数。BA

D

有腰角形常的助⑴顶的分，边线底高例图=ACBD⊥AC于D，求证：BAC=∠DBC证明法〕作∠BAC的分线AE，于，么12又∵=AC∴AE⊥∴∠＋∠ACB12∵⊥

12

∠BAC∴∠＋ACB∴∠2=∠DBC

B

∴∠2∠DBC〔方法二〕过A作AE⊥于〔程略〕〔方法三〕取中E，连结AE过程略〕⑵底中时常底中例图，△ABC中=AC，为BC中，DE⊥AB于，⊥AC，求证：证明：连结∵为BC中，∴=CD又∵=AC

EF∴AD分∠BAC

B

∵⊥AB，DF⊥∴⑶腰长倍构直三形题例图，ABC中=AC，在BA延线和AC上取一点E，AEAF求证：⊥BC证明：延长到N使ANAB,连结那么=AN=AC∴∠=∠ACB,∠∠∵∠ACB＋∠ACN＋∠ANC

∴2∠＋2ACN=o

E∴∠BCA∠=90o

A即∠BCN=o

F∴NC⊥BC∵=AF∴∠AEF=∠AFE又∵∠BAC=∠AEF＋∠BAC∠＋∠ANC∴∠∠∠ANC∴∠AEF=∠∴EF∥

B

C

22∴EF⊥BC⑷过腰的一做一的行例图，在ABC中=AC，DAB上在AC长线上，且BD=，连结DE交于F求证：DF=证明法一〕过D作DN∥AE交BC于N那么DNB=，NDE∠E，∵ABAC∴∠=∠ACB∴∠=∠∴=DN又∵CE∴=

D在△和ECF

N

1

2

∠1=∠2

∠NDF=EDN=∴△≌△ECF∴DF=〔证法二〕过E作EM交延线于那么EMB=∠过程略〕⑸过腰的一做的行例图，△ABC中=AC，EAC上D在长线上，且=AE，结DE求证：⊥证明一点E作EF交AB于F那

NA

么∠B

F

∠=C∵ABAC∴∠B∠C∴∠AFE∠∵ADAE∴∠AED=∠ADE又∵∠＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE=∴2∠AEF＋2∠AED=o即∠FED=o∴⊥又∵EF∥BC∴⊥BC

B〔证法二〕过点D作DN∥BC交CA的长线于N程〕〔证法三〕过点A作AMBC交DE于M程〕⑹将腰角转成殊等三形等边角例图，△ABC中=，∠BAC=∠PCB=30o求PAB的数解法一：以为一边等边三角形，连结那么∠BAE∠ABE60

为形内一点，假设PBC

AE=AB=∵ABAC∴=AC∠ABC=∠ACB∴∠=∠ACE∵∠=∠BAC－BAE=

－60o

=20o∴∠=

12

o∠EAC)=

1∵∠ACB=(180o－∠2

B

P

∴∠=ACE∠ACB=80o

－50o

=30o∵∠PCB∴∠PCB∠BCE∵∠ABC∠ACB=∠ABE=∴∠=ABE－ABC=60o∵∠PBC∴∠PBC∠EBC在△PBC和中∠PBC=EBCBC=BC∠PCB=BCE∴△PBCEBC∴BP=∵ABBE∴ABBP∴∠∠BPA

－50o

=10∵∠ABP=ABC－∠PBC=50－10o

=o∴∠

12

o

－∠o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为边作等边三角，结AE,那么==BC∠BEC∠EBC=60o∵=∴在BC的中线上同理A在BC的垂线上∴所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥

∠AEB=

12

∠BEC=o

∠PCB

由解法一知：∠ABC=∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10=∠∵∠ABE∠=BC,AEB∠PCB∴△ABE△PBC∴ABBP∴∠BAP∠BPA∵∠ABP∠－∠PBC=50o－

=40∴∠PAB=

1o－∠ABP)=(180o2

)=70o有倍时常的助⑴造腰角使倍是腰角的角外例图，在ABC中∠1∠，ABC=2∠C，求证：ABBD=证明：延长到E，使BE=BD连结DE那么∠=∠∵∠=E∠BDE∴∠∠E∵∠2∠∴∠E∠在△AED和△

2∠=∠C∠1=∠2AD=AD

D

∴△AED△∴=AE∵=＋∴=＋即ABBDAC⑵分倍例图，在ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=∠DBC求证：ABC=∠ACB证明：作∠的分线AE交BC于E，那么∠BAE=∠CAE∠∵⊥∴∠CBD＋∠C∴∠CAE＋∠C=∵∠AEC=－∠CAE－∠C=90o

A∴AE⊥∴∠ABC∠BAE=

∵∠CAE＋∠C=

E

C∠BAE=∠CAE∴∠∠⑶倍角

BB例图，在ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=∠DBC求证：ABC=∠ACB证明：作∠∠DBC,BF交ACF〔过程略〕AFD17.有垂平线常垂平线

上点线两点结来例图，△ABC中，ABAC∠BAC=120o

EF为AB的直平分线EF交BCF，交

于求证：BF=

12

证明：连结AF那么=BF∴∠=FAB∵ABAC∴∠=∠C∵∠o∴∠=∠C∠BAC

12

o

－∠BAC)=30o

∴∠FAB30o∴∠FAC∠－∠o

－30o

=90

B

又∵∠=30∴=

12

∴BF=

12

练习中的分线与的垂直平分线交点DDM⊥于MDN⊥延线于N求证：BM=CNAB

E

C18.有垂时构垂平线例图，在ABC中∠B=2∠，AD于D求证：=AB＋BD证明〕CD上取DEDB，连结AE那么=AE∴∠=∠AEBC

AE