2021年高考山东卷理科数学试题精析详解

普通高等学校招生全国统一考试数学（山东理科类）题精析详解一、选择题5分12=60分（1

1(1))2（A）i

(B)

(C)

1

(D)

[答]【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结.111【正确解答】，选))22i【解后反思】熟练掌握复数的代数式的四则运算及i

的性质.本可把

1

化为2cos())44

，12(cossin)4

，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结.（2函数y

1x

(

的反函数的图象大致是yo

1x

y-1ox

y

x

-1ox（A）[答]

(B)(C)(D)【思路点拨本题考查反函数的念及函数的图象利用互为反函数图象间的关系考查识图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图.【正确解答】

11(0)的反函数为y(它图象是将函数yxx

的图象向左平移单位后得到的，选B.【解后反思函数与图象的性质历年高考的重点深刻理解灵活运用函数的性质题也可从互为反函数的性质：互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选（3已知函数yx

12

12

则下列判断正确的是（A）此函数的最小周期为

，其图象的一个对称中心是(

12

,0)1

xx(B)此函数的最小正周期为

，其图象的一个对称中心是(

12

,0)(C)此函数的最小正周期为

，其图象的一个对称中心是(

6

,0)(D)此数的最小正周期为其象的一个对称中心是([答]

6

,0)【思路点拨题查三角函数二倍角公式及图象和性质简数解析式再利用图象的性质即可解.【正确解答】x

12

1))1226

，最小正周期为对中心的横坐标为x=

k当k,图象的一个对称中心是，选B212【解后反思】一般地，yA

的对称中心为

1

(

，对称轴方程为

1

(

2

Z)

，本题在求对称中心时也可用验证法，也就是在函数中取一个恰当的x值使y=0.（4下列函数中既是奇函数，又是区间（A）f()x

(B)

(x(C)

f(x)

12()(D)fx)22[答]【思路点拨】本题考查函数的奇偶性和增减性，可根据其定义逐个淘.【正确解答】选项A：f(

12

(a

x

)f(x)

，是偶函数，排除；选项f(

，是非奇非偶函数，排除；选项：fx()

，是奇函数，在[上调递增，排除；选项D：f)ln

22(x)2

是函数且[上调递减，故选D.【解后反思】解决函数问题时须解从初等函数的图象入手联其相关性质，也就是说要有数形结合的意.（5如果(3x

13

)

的展开式中各项系数之和为128，则展开式

1x

的系数是（A）

7

(B)

(C)

(D)

2

[答]C【思路点拨题要考查二项开式及通项公式的应用是求二项式展开式中的特殊项或系数，常用其通项公式列出方程，求出n或.【正确解答】令

，则2

，解得

n

，展开式的一般项为t(3x)(

1x

)

，1x3

的系数是

故选C.【解后反思】熟练掌握

Tr

的表达式及解方程的思想，这里二项式中必须留心，并要注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联（6函数

f()e

0.

若f(1)f()

则的有可能值为（A）1

(B)

22(C),(D)1,22[答]C【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点题考查分段函数的应用，函数的值域等，必须对的范围进行分类讨.【正确解答】

f

0

，所以f

，当a时a；当

时，

sin(

2)

，

a

22

选【解后反思】因为

，故fa)

，本题实质上求方程f(a)

的解，而分段函数必须分段求，要注意各段函数定义域的范围，恰当地舍取和验（7已知向量,

，且bBCb,a

则一定共线的（A）Ａ、B、D(B)A、CB、C、、、D[答]【思路点拨题查向量的基知识和运算能力解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关【正确解答】

ab

，因为

ABb

，且有一个共点B以AB、D三共选A3

【解后反思】一般地，b

（b线充要条是存在唯一实数使a

b

此寻找恰当的注意共线向量与三点共线之间的区别与联系（）设地球半径为R若甲地位于北纬东经20，地位于南纬东20，甲、乙两地球面距离为（A）

R

(B)

6

(C)

6

(D)

23

[答]【思路点拨】本量考查球的性质，球面距离的运，空间想象能力，可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质，求出球心与这两点所成的圆心角的大小、利用弧长公式解【正确解答】∠OB=120°∴、两点间的球面距离为d【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简

120360O1

选形：三棱锥单，而求在同一纬度上的点A、B间球面距离必须构建基本图，中纬面AOB，AO＝＝R1

A

B（为球的半径BO11

是北纬度角AO1

是A两所在经度的夹角（劣弧AOB是要所求A两O点间的球面距离的大圆的圆心于1AB间球面距离为R，里，解决此类型问题的关键，也是难.（9张奖券中只有3张奖5个人购买，每人，至少有中奖的概率是（A）

31111(B)(C)(D)1012[答]【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计【正确解答10张卷中抽取5张能的情况有C

510

种，中没有人中奖的情况有C

中，先求没有人中奖的概率，

P

C57C510

，至少有中奖的概率是

P

C57C510

，选4

【解后反思率统计这部分容要求不高键掌握概念公式并能在具体问题中正确应用（）设集合AB是集的个子集，则A

BCU

BU（A）充分必要条(C)充要条件[答]

(B)必要不充分条件(D)既不充分不必要条件【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算，及充要条件的判断能力.抽的两个集合，可用特殊值法，列举法或画出图进行分【正确解答】由AB可出(C)，之，(A)BUU

不一定要满足AB

，因此为充分不必要条件，选A【解后反思要熟练掌握数学符语言的等价转化是解决数学问题的必要条件也是是否具有数学素养的一个重要标（）0

下列不等式一定成立的是（A）log

(1)

(1)log

)

(1)(B)

log

)

(1)

)

(1)(C)

log

)

(1)

)

(1)

)

(1)

(1

(1)(D)

log

)

(1)log

(1

(1)

(1

(1)

)

(1)[答]【思路点拨】本题考查对数函数的性质及绝对值不等式的应用

考到log

)

(1)

与log

)

(1)

互为倒函数的关系，可采用换元思想，简化问题结构达到问题的转.【正确解答】令

)

)

则log

)

1t

，0

，||

11)||t

当且仅当

t

时等号成立，|A一成立，选A.解法：∵0<a<1，∴a，－a

)

)

)

(1)

5

222222∴

(1)

)log

)

)

lg(1))]lg(1))

【解后反思整体思想是重要的学思想而元法是整体思想的具体体现考学生的观察能力和宏观调控的重要手段，必须引起高度重.（）设直线l:x

关于原点对称的直线为l

2

4

的交点为A、B，点为圆上的动点，则使PAB

的面积为

12

的点P的数为（A）1(B)2(C)3(D)4[答]【思路点拨题查直线和椭的位置关系的判定及相关性质用直接法求得结果或数形给合的方.【正确解答】由题意得ly

，2解不等式组4得

，(1,0)

，AB|5

，设(x)

S

xy1|2yAB，2y|25

，24

（1或

2

（）

xy

xy方程组（）无实数解，方程组）有两个不同的实数解，故满条件的点P的数为2选解2直线lx

关于原点对称的直线为l－该直线与椭圆相交于(1,0)和B(0,2)为圆上的点PAB

的面积为

12

5到线l为，5在直线的下方，原点到直线的距离为

25

，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2+－2=0平且与椭圆相切的直线，切点为(

22

)该点到直线6

2n112n11的距离小于

55

，所以在直线上方不存在满足条件的点【解后反思题于直线和圆曲线的小综合题何与代数之间的等价转化是解决这类问题的重要方法.二、填空（4分

4=16分

limn

C2n(3[答]2

【思路点拨本题考查组合数公和性质及数列极限的基本运算化简分子分分母除以n的最高次幂就可得到结果.【正确解答】

lim

nnC2C2nn(n(n2n(n2

3lim2

1132n

【解后反思】要会求分子分母均是的项式，当时极限，分式是(banlim1（bnn在

型时(14)双曲线

a0)a22

的右焦点为右准线l与条渐近线交于两，如果PQF是角三角形，则双线的离心率e_______[答]

e【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质，可根据对称性来分析，只可能是PFQ角，由、b、c的系不难解决【正确解答】由PQF是角三角,根据图形的对称性，必有

为直a2PFFQa2a

c即双曲线的离心率a

7

2c2c解法双线

ba22

的右焦点为F

0)右准线l两条渐近线交于P

aaba2ab)Q(c

)两点∵⊥FQ∴

22bc

∴a,即双曲线的离心率e

【解后反思】解决本题的障碍是对Rt解决这类题型的关键.

的直角的确定，要深刻理解几何图形的特征是设,y是_

xy5,12,满足约束条件则得目标函数xy

的值最大的点x[答案]

【思路点拨本题主要考查简单性规划的基本知识二步第一步是作出二元一次不等式表示的平面区，第二步从图形分析

最大值时点的坐.【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域当

时y=0,

y0

，点（，0）在直线lx0

上，作一组直线

l0

的平行直线l:6(R

，要求使得

最大的点，即要求使

直线xy

截距最大，由图可知，当直线过

和y12

的交点M

时，z有大

O

值27.【解后反思】正确画出平面区域和直线l是决这类问题的关键0(16)知m是不同的直线，

是不重合的平面，给出下列命题：①若

//

n

则

//n②若m,n//则//8

③若n//n

则

④、两条异面直线，若m//mn//n//上面命题中，真命题的序号是___________(写出所有真命序)[答]

③④【思路点拨】本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.题是线线、线面和面面平行，线面垂直的判断题，可借助图形进行判.【正确解答】如图所示，中m、n可能异面，②

可能相交，③中mmn理证：n

即③是真命题，④中可过平面任一点作直线m

使m

//m,

//nm,n

异面

必相交，设由m

确定的平面为

，

m//

，同理可证n

//

//

，同理可证：//

即④是真命题，综上所述，真命题的序号是③、.【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.熟悉掌握线线平行、平面平行、面面平行的关系和转即线线平行

面平行

面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而②③的实质是两个平面平行的推三、解答题74分）(17)本小题满分）已知向量m

,sin

和2

，且

85

，求cos(

28

的值【思路点拨】本题从向量及模概出发，考查三角变换能力和运算能力，通过9

85

，构建三角函数关系式，再此关系式与所求比较，消除角或函数的差异，达到转化.【正确解答】解法一：mm(cos

2)

2

(cos

2

4cos(

)1)4由已知m

85

，得

7)425又)()42所以cos

2

16()2∵∴

988)2解法二：2

2

n

2

m22(2222cos

))8cos2()428由已知

85

，得

4)|2∵

9，∴cos(88

，∴

4)2【解后反思】三角函数的求值问题，关键是角和函数的变换，难点是三角函数符号的确定，在解题过程中，两者必须都要兼顾到，不能顾此失.（本小题满分分10

1袋中装有黑球和白球共7个,中任取个都是白球的概率为.有甲、乙两人从袋中轮7流摸取1个，甲先取，乙后取，然后甲再取

取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被出的机会是等可能的，用示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量

的概率分布；（Ⅲ）求甲取到白球的概率【思路点拨题查了离散型机变量的分布列和等可能事件概率的求法根据两者定义直接求得.【正确解答）设袋中原有n个白球，由题意知：C(n(nnC所以(n

，解得n

舍去

，即袋中原有３个白球（Ⅱ）由题意，

的可能始值为１p

3:p(:3)77735p

4)

4341:(5)735735所以取球次数

的分布列为：45

37

27

635

335

135（Ⅲ）因为甲先所以甲只有可能在第次、第次第次球，记“甲取到白球”的事件为A，则p(A)P““因为事件“

”两两互斥，所以()(

37353535【解后反思离散型随机变量的础则概率的计算古典概率互事件概率和相互独立事件同时发生的概率独立重复试验有k次发生的概率等，同时往往离散型随机变量11

分布列上具有的性质如

pi1,2,3,i

，

pp1

要理解地记忆便掌握.（本小题满分分已知

是函数

f(x)mx33(x

的一个极值,中,

（Ⅰ）求的关系表达;（Ⅱ）求)

的单调区间；（Ⅲ）当x

时,函数y(

的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,m取值范围【思路点拨此题考查了可导函的导数求法值的定义以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能【正确解答】（Ⅰ）解：

f

mx

2

mx

因为

是f(x

的一个极值点,以

0

即3m0

所以

n（Ⅱ）解由（Ⅰ）知f

mx

xmm

2

)

当

时,有1

2

当

变化时f(x

与f

的变化如下:

(

222)1(1,1)m

ff()

<0单调递减

极小值

>0单调递增

极大值

<0单调递减由上表知当m,

f(x)

在

22)单调递减在(1,1)

单调递增在单调递减（Ⅲ）解法:由已知得f

m即

2

m

x

2(x

12

即x

2

2(1

1)0,

（*）设x)2(1

12)

其函数图象的开口向.2由题意*)式恒成立m

m

m,m.

43

即

的取值范围是

43

m解法二：由已知,f，m((1

2

)

，

2

)

(*)1

时.(*)式化为怛成立

0

时x2(*)化为

．令

t

则

记t)

1t

在区间是单调增函数则g(t)1．g(t)(234由(*)式恒成立必有23

又

．

34

．综上0、0知

43

m【解后反思要深刻理解和熟练握数学思想和方法题中运用了数形结合法分离变量法、换元法等多种数学思想和方法因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能.13

（本小题满分分如图已知长方体

D11

，

AB1

直线平面

BB11所成的角为

，

垂直,F

为

1

的中点．

D

（Ⅰ）求异面直线AE

与BF

所成的角；F（Ⅱ）求平面BDF与平面

AA1

所成二面角（锐角）

C

D的大小；

（Ⅲ）求点到面BDF的离

C【思路点拨】本题考查了长方的概念，异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能，可根据长方体的特征，用定义或平面向量的知识是不难解决.【正确解答】解法一量法在长方体

BD中以AB所直线为x轴，AD在直线为y轴AA1111

所在直线为z

轴建立空间直角坐标系如图．已

AB1

，可得AF

．又平面，从面BD与面AA11

所成的

角即为DBA

又

AEBD,AD

23

从而易得

13(D(0,,0)22

（Ⅰ）

13,0),BF1,0,1)22AEBF

AEBFAEBF

即异面直线AE

、BF所的角为

2414

11（Ⅱ）易知平面

AA1

的一个法向量m设nx,,z

是平面的个法向量．

23

,0)由

BFBD

BF

32y3

xxy取∴

cos,n

n1即平面BDF与平面B成二面角（锐角）大小为a1

155（Ⅲ）点A到面BDF的距离，即AB在面BDF的向量上的投影的绝对值所以距离AB|cosn|

AB||

n|5n|5所以点A到面BDF的离为解法二：几何法

25（Ⅰ）连结

D1

，过F作

D1

的垂线，垂足为，

A

1

D

1∵与两底面ABCD，BCD都垂直，1111FBBB∴BDFB平BDDB1BDBBB1AEBB又AEAE平面BDDB11BBBD

BB

F

K

A

C

1C

E

D因此

//∴BFK

为异面直线BF

与

所成的角连结BK，由FK面

BDDB1

得FK

，15

1111111111从而

为

在

KF1

和

RtD11

中，由

DADF得FBB1

12

2

233223)3

2

12又

BF

2，∴BFK

BK∴异面直线BF

与AE

所成的角为arccos

24（Ⅱ）由于

AAt

由

作BF

的垂线

AG

，垂足

S为，结，由三垂线定理知

BG

A

D

1∴AGD为平面BDF与平面B所二角的平1面角且DAG90，平面AAB中延长与；11

B

F

G

A

C

1

E

D于点

B

C∵F为A的点F11

11,FAB,2

，∴

1

、

分别为

、

的中点即

SA2AA2AB1

，∴Rt为腰直角三角形，垂足G点为斜边SB的点，F、重易得

122在Rt中，32∴

tanAGD

ADAG23

，

S

A

D

1∴

AGD

63

，

F

A

H

D即平面BDF

于平面

AA1

所成二面角（锐角）的大小

B

C

1

EB

C16

为

63（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面是面与面B所成二面角的平面角所在的平面1∴面AFD面B在

中，由Ａ作AH⊥DF于H，则即点A到平面BDF的离由AHDF=AD，AFDF

2332(3)22)3

2

25所以点A平面BDF的离为

25

5【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步本中也可用等变换求距离空间向量的引入，给本题解答提供了新思路，关键是点的坐标和向量的正确，否则以全错而告.（满分分）数

n

的首项

a5,1

前

项和为

n

，且S

nN*)（I）证明数列

n（II）(xx1

2

xn

n

，求函数f)

在点

处的导数f

并比较f

与n

的大小【思路点拨本题主要考查数列通项等数列的前n项以及导数的概念考查灵活用数学知识分析和解决问题的能.道数列的递推公式求数列的通项时直接代入求解，由

n

与

n

间的关系求数列的通项公式时，只要利n

n

n

即可.对数的大小比较的常用方法是作差法，其差值可转化为关于n的函数，再利用函数的性质作出判.【正确解答由已知

nN*可得2,Sn

n

两式相减得

n

nn

n

即

nn

从而

nn

当

n

时S21

所以

aa21

又

a1

所以

a2

从而

2117

nn故总有

aann

，N

*

又

a01

从而

a2即数列a是a比数列（II由I）知an

n

因为(x)x1

2

xn

n

所以f

ana1

n从而

fa12

na

n

=

=

3

=

3

n2

由上

=12

(n

2n

①当

n

时，①=0所

2f

n

；当n时，①式所2f

23

2

n当n时

又

2n所以

即①从而f2【解后反思】1、数列前项和定义

a可S和之间的关系n1

((n

要注意的是，

＝－nn

仅局限在

n

的一切真整数，因此在求a时应分类讨论只有当a＝S满足＝S－n11nn

n

时通项公式才只有一个式子，否则就是分段函.、对一个指数或多项式大小比较时，必