2023年高考数学黄金100题系列第15题指数函数理

第15题指数函数I．题源探究·黄金母题【例1】对于函数：〔1〕探索函数的单调性；〔2〕是否存在实数使函数为奇函数？【解析】〔1〕在上是增函数．证明：任取，且，＝＝－＝．因为，所以．又因为，所以，即，所以，即，所以函数在上是增函数．〔2〕假设存在实数使为奇函数，那么＋＝0，即，所以＝，即存在实数使为奇函数．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题【母题评析】此题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题．此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，到达考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的．【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决．性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决．II．考场精彩·真题回放【例1】【2023高考北京卷文理】函数，那么〔〕A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，应选B．【例2】【2023高考山东卷】假设函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，那么称函数具有M性质，以下函数中具有M性质的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由A，令，，那么在R上单调递增，具有M性质，应选A．【例3】【2023高考新课标III】设函数那么满足的x的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得：当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是．【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常根本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用．【难点中心】〔1〕处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，表达待定系数法的应用；〔2〕应用指数函数的图象时，常常涉及不太标准的指数型函数的图象，其作法可能较难；〔3〕解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；〔4〕在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难．III．理论根底·解题原理考点一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且∈*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：〔1〕；〔2〕0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．实数指数幂的运算性质①；②；③．考点二指数函数的定义一般地，函数〔，且〕叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域为．考点三指数函数图象与性质图象特征函数性质向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点〔0，1〕自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；考点四指数函数的实际应用主要以指数型函数的应用，因此建立此模型时注意确定参数及底数是解题的关键．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】1．通常根本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．【技能方法】1．分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：〔1〕在上，值域是或；〔2〕假设，那么；取遍所有正数当且仅当；〔3〕对于指数函数，总有；〔4〕当时，假设，那么；当时，假设，那么．【易错指导】1．无视隐含条件，如化简；2．平方开方转换时不等价，如化简：；3．混用运算性质，如化简：；4．对指数函数的定义理解不透彻，如函数为指数函数，那么是多少？5．无视对底数的讨论而致错，如求函数的定义域；6．无视换元后新元的取值范围，如求函数的值域；7．无视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间．V．举一反三·触类旁通考向1指数型函数的定义域【例1】【2023北京海淀模拟】函数的定义域为_________．【答案】【解析】要使原式有意义需满足，即，故函数的定义域为．【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可．【跟踪练习】1．【2023浙江宁波模拟】假设指数函数的图象过点，那么_________；不等式的解集为___________．【答案】，【名师点睛】因为指数函数的解析式中只含有一个参数，因此只须一个条件发即可求解，如知指数函数的图象经过一个点．2．【2023吉林实验中学二模】假设函数的定义域和值域都是，那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，那么在单调递减，那么，解得，此时，；假设，那么在单调递增，那么〔无解〕；应选D．考向2指数的运算法那么的应用【例2】〔1〕计算〔2〕，求值：．【答案】〔1〕；〔2〕6【解析】〔1〕．〔2〕．【技巧点拨】应用指数的运算法那么进行计算注意两点：〔1〕如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂，那么先化为分类指数幂以便用法那么运算；〔2〕如果题目中给出的是分数指数幂，先看是否符合运算法那么的条件，如符合用法那么直接运算，如不符合应创设条件去求．【例3】函数，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【技巧点拨】含有省略号“…〞的代数式的求值问题，通常要根据条件寻求规律：〔1〕看前后两项相加是否为同一常数；〔2〕分析相邻几项之和是否为同一常数，或为规律变化的数．【跟踪练习】1．【2023江西临川实验学校一模】实数满足，，那么等于〔〕A．8B．4C．2D．【答案】A【解析】此题考査指数函数和对数函数．，所以，得，那么．应选A．2．【2023河北曲周县第一中学一模】，，有如下四个结论：①，②，③满足，④那么正确结论的序号是〔〕A．②③B．①④C．②④D．①③【答案】B【解析】，，不妨令，，满足条件；那么，，①正确，②错误；又，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④，应选B．点睛：此题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是根底题根据题意，用特殊值代入计算，即可判断命题是否正确；高考数学选择题中常用的方法有1、特例法，其包括特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等；2、筛选排除法；3、代入验算法；4、图解法；5、极限法等．考向3指数型函数的奇偶性【例4】【2023江西百校联盟2月联考】是定义在上的偶函数，当时，，假设，那么的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】B【例5】【2023宁夏银川二模】是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，那么A．B．C．D．【答案】B【解析】因为对恒成立，所以函数是周期为2的周期函数．因为是定义在上的偶函数，所以，应选B．点睛：如果定义域在R上函数满足，那么是函数的一个周期，可推广为：如果义域在R上函数满足或，那么是函数的一个周期．【跟踪练习】1．【208山东滨州模拟】假设函数为奇函数，那么的解集为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以．由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，应选D．【思路点晴】解决此题的根本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．2．【2023高考山东卷】假设函数是奇函数，那么使成立的的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】C3．【2023高考天津卷】定义在上的函数〔为实数〕为偶函数，记，那么，的大小关系为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以由，得，所以，解得，所以，，．又在为增函数，所以，应选B．考向4指数函数的图象过定点【例6】【2023吉林松原模拟】函数的图象恒过定点，假设点在直线上，其中，，那么的最小值为()A．4B．5C．7D．【答案】D【解析】由题可知，代入直线得：，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，应选择D．【例7】【2023江西新余一中二模】函数的图像恒过定点，假设点在直线上，且为正数，那么的最小值为__________．【答案】4【易错点晴】此题主要考查指数函数的性质以及利用根本不等式求最值，属于难题．利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是屡次用或时等号能否同时成立〕．【跟踪练习】1．【2023吉林实验中学二模】当，且时，函数必过定点____________．【答案】【解析】令，得，即函数必过定点．2．【2023河北保定一模】函数的图象恒过定点A，假设点在直线上，那么的最大值为__________【答案】【解析】函数，时恒过定点，点在直线上，即，根据根本不等式:，当且仅当取等号，故填．考向5求指数复合型函数的单调性〔单调区间〕【例8】函数的增区间为___________．减区间为___________．【答案】；．【规律总结】此题指数复合型函数的单调性问题，因此解答遵循单调性的复合规律，即复合函数的单调性就根据外层函数和内层函数的单调性判断，遵循“同增异减〞的原那么．【跟踪练习】1．函数的单调递增区间是．【答案】【解析】．令，那么是关于上的减函数，而在上是减函数，在上是增函数，∴函数的递增区间是，递减区间是．2．求函数的值域为；其在上单调递增，在上单调递减．【答案】；；【解析】．令，那么当，即时取最小值；当，即时取最大值，故函数的值域为．在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．考向6指数函数单调性的应用【例9】【2023天津河西区二模】，当时，有，那么必有〔〕A．，，B．，，C．D．【答案】D点睛：求解此题的思路是运用推理的思维模式先确定必有一个是负数和一个正数，否那么都与题设是矛盾的，进而借助绝对值的定义，先将绝对值符号脱去，进而将不等式进行化简，从而使得问题获解．【例10】【2023全国Ⅲ理】，，，那么〔〕A．BC．D．【答案】A【解析】，，．因为函数在上为增函数，所以．又函数在上为增函数，所以，那么，应选A．【技巧点拨】此题实质上是联用指数函数与幂函数的单调性比拟数的大小，一般利用指数函数的单调性时注意统一底数，而利用幂函数的单调性时注意统一指数．【例11】【2023高考天津卷】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，假设实数满足，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为偶函数，所以，那么由，知．又在区间上单调递增，所以，即，所以，解得，应选C．【名师点睛】指数函数单调性的应用主要表达在两个方面：〔1〕根据指数函数的性质由自变量大小导出函数值的大小，如此题；〔2〕根据指数函数的性质由函数值的大小导出自变量的大小．【跟踪练习】1．【2023高考江苏】不等式的解集为________．【答案】【解析】因为函数在上为增函数，那么由，得，解得，所以不等式的解集为．【技巧点拨】利用指数函数的单调性解不等式关键是统一底数，因此须注意到常见的“3与，9、27、…〞，“2与，4，8，…〞等的关系．2．是定义域为的偶函数，且时，，那么不等式的解集为〔〕A．B．C．D．【答案】D考向7指数函数的最值〔值域〕【例12】【2023山东寿光现代中学开学考试】函数的定义域和值域都是，那么__________．【答案】4【解析】当时，函数单调递增，所以函数过点(-1，-1)和点(0，0)，所以无解；当时，函数单调递减，所以函数过点(-1，0)和点(0，-1)，所以，解得．所以【例13】【2023辽宁抚顺模拟】当，不等式恒成立，那么实数的取值范围为________．【答案】【名师点睛】不等式恒成立求参数取值范围，经常采用别离参数法，象此题一样化不等式为，只要求出的最大值，只要解不等式即得结论，其中的最值一般利用函数的单调性求得．【跟踪练习】1．【2023高考山东理14】函数的定义域和值域都是，那么___________．【答案】【解析】假设，那么在上为增函数，所以，此方程组无解；假设，那么在上为减函数，所以，解得，所以．【易错警示】由于底数的范围不确定，因此解答时注意分与两种情况进行讨论．2．函数〔是常数，且〕在区间上有最大值，最小值为．试求的值．【答案】或．【解析】令．∵，∴．当时，，∴．依题意得；当时，，∴依题意得．综上知，或【方法点晴】此题是含有参数且与指数有关的复合函数问题，欲求其在某区间上的最值，需先确定它在该区间上的单调性，从而求出最值，步骤：〔1〕求复合函数的定义域，〔2〕弄清函数是由哪些根本函数复合而成，〔3〕分层逐一求解函数的单调性，〔4〕求出复合函数的单调区间〔注意同增异减〕，〔5〕根据复合函数的单调性列出方程〔组〕求其最值．考向8指数函数的图象的识别【例14】【2023山西45校第一次联考】函数〔且〕与函数在同一个坐标系内的图象可能是〔〕A．B．C．D．【答案】C【方法点晴】此题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．【例15】【2023广东揭阳4月模考】函数的大致图象是ABCD【答案】B【解析】由可排除D，由，，可排A，C，应选B．【例16】【2023江西鹰潭二模】定义运算：，那么函数的图象大致为〔〕ABCD【答案】A【跟踪练习】1．【2023浙江嘉兴模拟】假设函数的图象如下图，那么〔〕A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由图易知，而函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的，而函数恒过点，所以由图可知，应选D．【技巧点拨】识别指数型函数的图象主要考虑三点：〔1〕图象的走向，即判断其单调性确定图象与底数的关系；〔2〕由指数函数所过定点确定指数型函数所过的定点位置；〔3〕由指数函数的渐近线线轴确定指数型函数的渐近线位置．2．【2023河南天一大联考】是大于0的常数，把函数和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是〔〕A．B．C．D．【答案】D考向9指数函数的图象的应用【例17】【2023安徽阜阳临泉一中二模】假设点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，那么称为两函数的一对“孪生点〞，假设，，那么这两个函数的“孪生点〞共有〔〕A．对B．对C．对D．对【答案】B【解析】根据题意：由“孪生点〞，可知，欲求的“孪生点〞，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数的交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点对数是：2．即两函数的“孪生点〞有：2对．故答案选B．点睛：此题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度．解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法那么以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案．【例18】【2023江西南昌一模】是定义在上的奇函数，且时，，那么函数〔为自然对数的底数〕的零点个数是〔〕A．0B．1C．2D．【答案】C点睛:此题主要考查函数的奇偶性，单调性，指数函数的图像与性质，及数形结合的数学思想方法．函数的零点问题，方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图像的交点个数问题来解决．要能熟练掌握几种根本函数图像，如二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等．掌握平移变换，伸缩变换，对称变换，翻折变换，周期变换等常用的方法技巧来快速处理图像．能利用函数的相关性质作出函数的草图．【例19】函数的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】函数的零点个数即为方程的根，也是函数与函数的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，即函数的零点为2，应选C．【思维点拨】图象法是解决函数零点问题常用方法，通常情况是将函数的零点转化为方程的根，再转化为两个新函数的交点个数问题【例20】【2023安徽合肥一模】函数，．方程有六个不同的实数解，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D【例21】【2023高考全真模拟卷】函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，以下判断中一定正确的为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令，函数f〔x〕图象与函数的图象如图，那么方程的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知，可能大于2，所以A错误，又，所以，所以B错误；，所以，那么C错误，综上可知选D．【跟踪练习】1．【2023广东茂名五大联盟学校9月份联考】假设关于的不等式在上恒成立，那么实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D2．【2023黑龙江哈尔滨三中二模】函数，与函数，假设与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，那么实数的取值范围是〔〕．A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题．即方程在区间上有解，由此可得，即，所以，应填答案．3．【2023河南息县一中第七次适应性考试】函数的图象与函数的图象关于轴对称，假设函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【思路点