物理光学第一章节

物理光学第一章节第一页，共一百五十三页，2022年，8月28日第1章光波的基本性质

光波是电磁波。因此要了解光波的基本性质，首先要知道电磁波的基本性质。1.1电磁场基本方程一、麦克斯韦方程组相互作用和交变的电场和磁场的总和，称为电磁场。交变的电磁场按照电磁定律的传播就形成了电磁波。电磁波用电场强度E和磁感应强度B、电位移矢量D和磁场强度H来描述，描述这四个量之间相互关系的就是麦克斯韦方程组。第二页，共一百五十三页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组的积分形式利用斯托克斯公式和高斯公式可以把麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。（见郭硕鸿电动力学）第三页，共一百五十三页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组的微分形式这4个方程并不是相互独立的，由1和4式可推得2,3式，反之亦然。因此,由它们不能直接求出方程组中的4个物理量，需补充以下物质方程。高斯公式斯托克斯公式第四页，共一百五十三页，2022年，8月28日

光波在各种介质中的传播过程实际上就是光与介质相互作用的过程。描述介质特性对电磁场量影响的方程，即是物质方程：

式中，ε0是真空的电容率，εr是相对电容率；μ0是真空中磁导率，μr是相对磁导率；σ为电导率。

二、

物质方程（本构方程、本构关系）

D,B最普遍的形式第五页，共一百五十三页，2022年，8月28日P是电极化强度矢量，M是磁（极）化强度矢量。若电极化在各个方向是相同的，介质就是各向同性介质。对于晶体等有些介质来说，电极化在各个方向是不相同的，这就是所谓的电各向异性介质。在那种情况下，ε就是一个二介电张量。对磁各向异性介质有类似情况。第4章详述。电荷守恒定律（又称电流连续性原理）电流密度矢量J和电荷密度之间满足电荷守恒定律第六页，共一百五十三页，2022年，8月28日三、能量定律，坡印廷矢量对于光学问题，E、D、B、H四个基本量都是无法直接测量的量，能够测量且又必须知道的一个量是光强度。为此，有必要再从麦克斯韦方程组中推导出场的能量定律。

能量密度

单位体积内电磁场的能量能流密度单位时间内垂直通过单位面积的电磁能传输功率第七页，共一百五十三页，2022年，8月28日单位时间内从封闭曲面向外流出的电磁能量电磁场与带电系统相互作用在单位时间内消耗的电磁能量电磁场的能量定律第八页，共一百五十三页，2022年，8月28日利用高斯公式能量定律的微分形式再考虑第九页，共一百五十三页，2022年，8月28日比较S对某一观察时间内求平均，就是常说的光的强度，亦称为波的强度。（对时间平均的坡印廷矢量）坡印廷矢量第十页，共一百五十三页，2022年，8月28日为我们熟知的形式。四、波动方程

对于各向同性介质当电磁波（也就是光波）在透明各向同性介质中的传播时于是第十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日同理这就是著名的波动方程。它告诉人们，电磁场是以波的形式在空间传播的。第十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日自从19世纪人们证实了光是一种电磁波后，又经过大量的实验，进一步证实了X射线、γ射线也都是电磁波。它们的电磁特性相同，只是频率(或波长)不同而已。如果按其频率(或波长)的次序排列成谱，称为电磁波谱。通常所说的光学区域(或光学频谱)包括红外线、可见光和紫外线。由于光的频率极高(1012~1016Hz)，数值很大，使用起来很不方便，所以采用波长表征，光谱区域的波长范围约从1mm到10nm。人们习惯上将红外线、可见光和紫外线又细分为：1.2光波与电磁波从波动光学的观点，光是极高频的电磁波。电磁波谱第十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日400—760nm范围内的电磁波可被人眼感受到，该波段内电磁波叫可见光。在可见光范围内，不同频率的光波引起人眼不同的颜色感觉．可见光对应的频率范围是：

=（7.64.0）1014HZ

．760630600570500450430400(nm)红橙黄绿青蓝紫第十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日电磁波谱称为光频波段第十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日光振动在空间的分布按波面形状可分为平面波、球面波、柱面波等。光振动按频率则可分为单色光、准单色光和复色光。若无特别说明我们讨论的对象都是单色光。

光波是横波，因此，要完全描述光波还必须指明光场中任一点、任一时刻光矢量的方向。光的偏振现象就是光的矢量性质的表现。但研究表明，在光的干涉、衍射等许多现象中，特别是当光波为非偏振光（或称自然光，这时光矢量迅速地且随机地不断改变方向）时，在理论分析中不计光矢量的方向性而用一个标量表示光振动，或者说只考虑光矢量的任一个直角坐标分量，所得结果相当精确地与实际情况相符（参见第2章光的干涉，第3章光的衍射）。第十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日因此，在这些现象中，可以把光波近似地当作标量波处理。理论分析表明：场矢量的每个直角分量都应满足齐次波动方程。一、平面波、球面波、谐波、柱面波、高斯光束平面波是指波面（任一时刻振动状态相同的各点所组成的面，即等相面）为一平面的波，如图1-2-1(a)所示。若P为t时刻的波面，则P上任一点A的振动状态与B的振动状态相同。图中OB与平面P垂直，是波面P的法线方向（S为波法线）。A,B有相同的波函数（坐标和时间的函数）。B点的波函数为1.平面波第十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于任意点A满足此式就代表一个平面波第十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于沿z轴传播的平面波代入波动方程引入中间变量第十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日则fpqzt于是再积分一次第二十页，共一百五十三页，2022年，8月28日是波动方程的一般解。此解的物理意义如下：先讨论f1(z-vt)。显见，在每一个z等于常数的平面内，场都在随时间变化；而在某一时刻t，场则因z值而异。对于满足z-vt为常数的z和t值，场都有相同的值。例如，经过任意时间间隔△t以后，(z,t)变成（z+v△t,t+△t)，这时(z-vt)保持不变。同理，在沿波面法线方向经过任意空间间隔△z后，(z,t)变成（z+△z,t+△z/v)，这时(z-vt)）仍保持不变。所以f(z-vt)确实代表了一列沿z轴正方向传播的平面波。而OB（即s）就是波的传播方向。同样容易判断，f2(z+vt)是沿反方向，即沿z轴的负方向前进的平面波。所以上式就是平面波情况下波方程的一般解。第二十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日2.球面波现再给出波动方程的另一个简单解：球面波的解。球面波是指波面为一球面的波。一般从点光源发出的光波就是球面波。（当观察点到光源的距离比光源线度大十倍以上时，这光源就可看作点光源。）由于球面波的波面是球面，同一个球面上的点有相同的振动状态。因此在球面坐标系下（考虑等相面的球对称性）

波方程解的形式则为f=f(r,t)

，r=r(x,y,z)第二十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日这个结果说明球面波振幅随r成反比变化。已经知道：平面波的振幅是一常数，不随距离r变化。与平面波情况相似，f1代表从原点（一般原点即为波源）向外发散的球面波，即沿r正方向传播的波；而f2则代表向原点传播的会聚的球面波，即沿r负方向传播的波。一个点光源发出的球面波，当离开光源一定距离后，波面为一定大小的球面波就可看成平面波。比较第二十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日3.时谐波

所谓时谐波是指空间每点的振动是时间变量的谐函数的波。其数学表达式为这是单色波。这里a为实数。

第二十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日在光场中的不同点，a和一般有不同的值，所以a和应表示为光场中任一点的坐标（x,y,z)的函数。因为在光场中任一点，振幅a(x,y,z）可代表光振动的强弱。

则说明任一光振动状态发生的先后，所以a(x,y,z）和就表达了光振动在光场中的分布。对于时谐平面波，由上式得引入波矢平面波方程变为第二十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于球面波方程变为4.单色光波的复数表示法——复振幅第二十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日记住这种约定，波方程进一步简写为对于单色波只讨论复振幅，最后结果乘以时谐量即可。5.柱面波柱面波是由线光源产生的，其波面为一柱面。实际上平面波通过长狭缝就可形成柱面波。如图1-2-3所示，线光源和y轴重合，它发出的柱面波波面沿z

轴传播，为过观测点P的一圆柱面波前。r

为此柱面的半径，柱面波场的振幅随衰减。所以其振幅的表达式为第二十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日a0是离光源单位距离处波场的复振幅。

第二十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日柱面波示意图在xz

平面内，柱面波的复振幅为在yz平面内，简化为即沿z轴传播第二十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日6.高斯光束

可以证明，在凹面镜构成的谐振腔中产生的激光束既不是均匀平面光波，也不是均匀球面波，而是一种结构比较特殊的高斯光束。下面只讨论基模情况。沿某一方向（设为z方向）传播的高斯光束的电矢量表达式是JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)第三十页，共一百五十三页，2022年，8月28日第三十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日z处光束半径，束腰半径z处波阵面的曲率半径瑞利长度第三十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日高斯光束基本特性（1）z=0处说明，在z=0处，高斯光束的等相面是z=0平面。它和平面波的波阵面一样；光斑中心最亮，随的增加，光强逐渐减小。且当时，光强降为中心点的1/e。所以定义光振幅下降到中心值1/e处的光斑半径为束腰。在z=0处高斯光束的等相面虽是平面，但其振幅分布却与平面波不同，因此不属于平面波。高斯光束在z>0和z<0处，其等相面均不再是平面。

第三十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日(2)等相位面特性从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为这说明波阵面的曲率中心不在原点（z=0）上，而且R随z不断变化，如图1-2-4所示第三十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日等相面是平面等相面也是平面等相面半径最小(3)瑞利长度当光束从束腰传播到处时，光束半径，即光斑面积增大为束腰面积的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作zR。在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。第三十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日共轭焦距第三十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日第三十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日远场发散角从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义远场发散角（半角）：包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相面保持球面。第三十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日二、光场中任一平面上的复振幅分布很多情况下只需研究光场中一个平面上的光波的复振幅分布，例如，光学系统中物平面和像平面上的场分布，干涉和衍射问题中观察屏上的场分布等。从数学讲，就是把光波的复振幅表示为所考虑平面上坐标的函数。一般均取直角坐标系的z轴为光波传播的平均方向，或光学系统的光轴。考虑垂直于z轴的任一平面上的复振幅，如图1-2-1(b)上的P(xl,y1)平面上的复振幅为第三十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日第四十页，共一百五十三页，2022年，8月28日因为z1为常数，x1,y1是平面上的变量，于是表示P(xl,y1)平面上的复振幅。下面给出平面波与球面波在任一平面上的复振幅表达式

1.平面波情况

第四十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日显然，相位是在z=z1平面上随x1,y1变化等相点的轨迹满足第四十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日为一条直线第四十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日因此，(x1,y1)面上的复振幅分布就表现在等相位线为平行斜线的相位分布上，相位值沿图中箭头A的方向增加。实际上是一种以相位值为2π周期的分布。即线间距为2π。2.球面波情况

光源在原点的球面光波第四十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日等相点的轨迹满足因此，等相位线是一些同心圆第四十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于靠近z轴的球面波（傍轴光线）第四十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日所以，当任一个平面上的复振幅表达式中含有这种相位因子时，就可近似地看做有一个从距离该平面z1处的点光源发出的球面波经过该平面。当z1为负值时，则可看做有过该平面向距离z1处会聚的球面波，光的传播方向一般地约定为自左向右。三、空间频率与空间频率谱上述单色光波的数学表达方法是把光波用复振幅的空间分布u(x,y,z)作为空间坐标的函数表示的。在讨论光波的传播、衍射、叠加、成像等现象时，就是研究在产生这些现象的物理条件下，光场中各处的复振幅或光强是空间坐标的何种函数。这种表达与分析的方法称为在空间域中的分析，它是讨论光波时的一种常用方法。1.空间频率第四十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日

在光通信理论中，对光波场还有另一种分析方法。这就是把数学中的傅里叶分析应用于研究光波的空间分布上，讨论光波场中的空间频率与空间频率谱。这种方法被称为在空间频率域中的分析，分析如下：各种单色光波的特征在于光场中复振幅在空间的分布各不相同。对于平面波的空间的分布：在任意一个xy平面上，复振幅表现为空间的复数函数周期分布。这种周期分布由相位因子表达，而要讨论的空间频率就是用来表征这种空间周期分布的参量。现讨论xy平面内，传播方向平行xz平面，即方向余弦为的平面波。它在任意一个xy平面上的复振幅为:第四十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日等相线方程任意相邻的两等相位线沿x方向的距离即沿x方向的空间周期dx第四十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日xzyk第五十页，共一百五十三页，2022年，8月28日空间周期的倒数表示在x方向上单位长度的变化周期数称为复振幅在x方向上按复数函数变化的空间频率。在y方向上，由于等相位线是平行于y轴的，复振幅沿y方向不变，即，或。因此，传播方向余弦为(cosα,0)的平面波在任一xy平面上复振幅的空间周期变化可用一组空间频率(fx=cosα/λ,fy=0)表示。相应地有:第五十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日这就是直接用空间频率表示的xy平面上的复振幅分布。它代表一个方向余弦为cosα=λfx,cosβ=0的平面波。第五十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日在传播方向余弦为(cosα,cosβ)的一般情形下，xy平面上的复振幅为等相线方程图1-2-9中画出几条相位值依次相差2π的等相位线。这时在xy平面上，沿x方向与沿y方向复振幅都是周期变化的。其空间周期为dx=λ/cosα，dy=λ/cosβ。相应的两方向的空间频率fx=cosα/λ,fy=cosβ/λ。第五十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日第五十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日复振幅为它代表一个传播方向为cosα=λfx,cosβ=λfy

的平面波。由此可见，空间频率是个特征参量，它描述光场中垂直于z轴平面上复振幅相位的空间周期分布。这周期分布表示为:每组(fx,fy)值对应于一个空间频率成分，也对应于一个沿一定方向传播的平面波。第五十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日

若一个平面上的复振幅可分解为许多种这样的基本周期分布，各由一组空间频率值表征，则说明这平面上的复振幅含有许多种空间频率成分，表示有许多个不同方向传播的平面波通过这个平面。空间频率的概念还可推广到其它物理量的周期分布。例如，在考虑非相干光成像问题时，要研究光强I(x,y)的空间分布问题；按照傅里叶分析方法，一个平面上的光强也可以分解为许多用二维函数表示的光强周期分布。这时fx,fy代表不同的光强分布的空间频率，而并不代表向某个方向传播的单色平面波。第五十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日2.单色光波复振幅的分解——空间频谱

利用傅里叶分析方法，可把一个空间坐标函数展开为无数复数函数的叠加。空间坐标函数f(x,y)若满足一定条件，则可利用傅里叶积分写成式中

频率域变换到空间域

空间域变换到频率域傅氏变换第五十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日F(fx,fy)一般为复函数，称为f(x,y)的傅氏变换；而f(x,y)则称为F(fx,fy)的逆傅氏变换。即傅氏变换说明，函数f(x,y)由无数个形式为exp[i2π(xfx+yfy)]的基元函数叠加起来得到，即把f(x,y)分解成许多（一般为无限多）的空间频率成分；而函数F(fx,fy)则代表空间频率为(fx,fy)的成分所占的比例（权重）。因此，傅氏变换F(fx,fy)

也称为f(x,y)

的空间频率谱，简称空间频谱。

第五十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日把这种分解方法用于单色光波场中任一个xy平面上的复振幅u(x,y)，则可求出其空间频谱而复振幅u(x,y)这结果说明：通过平面xy的任一光波均可分解成许多向空间各方向传播的平面波，每个平面波成分与一组空间频率值(fx,fy)

对应：传播方向为cosα=λfx,cosβ=λfy、振幅为u(fx,fy)。第五十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日即无数平面波u(fx,fy)exp[i2π(xfx+yfy)]

的叠加。例：求傍轴近似球面波的空间频谱。任一xy

平面上的傍轴近似球面波复振幅为

傅氏变换第六十页，共一百五十三页，2022年，8月28日利用这结果给出了u(x,y)所包含的各种空间频率成分的组成比例（权重）。这说明，在傍轴近似下，传播到任一平面上的球面波，可以看成向空间辐射方向传播的无数等振幅(振幅为λA)的平面波组成，这些平面波随传播方向和距离不同有不同的常量相位第六十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日四、相速度和群速度

平面波、球面波的表达式中都引用了速度v这个物理量，现讨论v代表波的什么速度。一般情况下余弦波的表示式可写成这里Φ(x,y,z)是随位置变化的相位项，而ωt-Φ(x,y,z)=常数的面叫等相面。和以前的情况不同，这是一个形式更复杂的时间谐波，其中A和Φ都是位置的实标量函数。而且一般情况下其等幅面和等相面并不重合，这样的波称为非均匀波。与平面谐波不同，上式表示的波在空间上不是周期的。然而由第六十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日两边对变量微分所以对于任意时刻t，Φ(x,y,z)=常数的曲面就是该时刻的等相面第六十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日就是等相面沿其法线向前推进的速度——相速度

平面波第六十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日所以平面波速度中的v就是相速度对于平面波，当n＜1时，相速v大于真空中的光速。例如在色散介质的所谓反常色散区（参看5.3.3节），就有v＞c的情况。按相对论，光信号的传播速度绝不能大于c。这就说明相速并不是光信号（即光能量）传播的速度。由于相速不能从实验上测定，因为要测量它，就需要在这无限延伸、光滑的波上做一记号，去测量这个记号的速度。然而，这样做记号的结果，就把无限的谐波波列换成了另一个空间和时间的函数了，测出的是另一波的速度。第六十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日第六十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日为简单起见，假设实际波列是由振幅相同频率接近的两列平面波余弦波叠加而成。这种简化对结果的普遍性没有影响。第六十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日2Acos(tδω-zδk)随时间和空间变化缓慢，因此此波群可以近似看成振幅随时间和空间缓慢变化的余弦波。振幅大小为2Acos(tδω-zδk)，在0和2A间变化。振幅变化的时间周期振幅变化的空间周期第六十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日相位函数变化的时间周期相位函数变化的空间周期所以，振幅变化比相位函数变化要缓慢。这时若在波群上任取一点，例如振幅为最大值的点，再求出这点的位移速度，就是等幅平面的传播速度，这个速度称为群速。群速的求法与相速相同，即对等幅面方程两边微分，得第六十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日第七十页，共一百五十三页，2022年，8月28日上述关系式对于频率连续分布的波群仍然成立，只要其频率范围很窄。显见，若介质的色散不大，则波列的形变进行缓慢，这时就可把其振幅最大处的传播速度作为实际波列的传播速度。不过，这个传播速度和组成波列的任何一个单色波的相速度都不相同，而要用上式进行计算。第七十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日如果δvp/δλ＞0

（正常色散），则vg<vp;

如果δvp/δλ＜0

（反常色散），则vg>vp

。除了真空中，任何介质都或多或少存在色散。对于一般透明介质，在一定波段范围内，对于精度要求不高的场合，可以忽略色散。

如果介质没有强烈的色散，一个波群将能传播相当长一段距离而不发生显著的“扩散”。在这种情况下，也只有在这种情况下，才可以认为群速是波群作为一个整体传播的速度，它也将代表波能量传播的速度。但一般情况下，不是这样，特别是在反常色散区，群速可能超过光速或变成负的，此时，群速就不再有任何明显的物理意义了。第七十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日五、光的横波性——偏振态及其表示1.光的横波性描述（略）

各向同性均匀透明介质第七十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日平面电磁波是横波：场矢量E和H彼此正交，且均与波前进方向垂直，两者振幅大小成正比，相位相同；波所携带的能流密度与其振幅平方成正比，沿波传播方向前进等。由于有这些特性，因此在光学中一般只讨论一个场矢量——电矢量E在介质中传播的情况，而不必同时讨论E和H两个矢量。同时由E2之值即可求出能流密度的相对值。2.光波的偏振态

假设z轴为平面波的传播方向，故有

(1)椭圆偏振光

第七十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日电场的三个分量合矢量的端点轨迹通过消去参数τ

得到，即是一椭圆方程。这结果说明：矢量E的端点所描绘的轨迹是一个椭圆。即在任一时刻，沿波传播方向上，空间各点E矢量末端在xy平面上的投影是一椭圆；或在空间任一点，E的端点在相继各时刻的轨迹是一椭圆。这种电磁波在光学上称之为椭圆偏振光。

第七十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日第七十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日(2)线偏振光和圆偏振光若

方程简化为

椭圆退化成一条直线。这时电矢量E就称为线偏振（亦称为平面偏振）。若

椭圆退化成圆。这时电矢量E就称为圆偏振。此时若方程简化为

第七十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日要求

它说明Ey比Ex的相位超前π/2，因此其合矢量E

的端点描绘出一个顺时针方向旋转的圆。这相当于一束平面光波迎面向观察者射来时，电矢量E是顺时针方向旋转，这种偏振光称为右旋圆偏振光。反之，若sinδ

<0，称为左旋圆偏振光。除上述情况外，δ为其它值时，则为椭圆偏振光，如图1-2-13所示。这时，虽然偏振椭圆随δ的不同而变化，但所有椭圆都内接于同一大小的长方形，这长方形的边分别平行于x,y方向，边长分别为2E0x和2E0y

。简单地令

第七十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日第七十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日（3）偏振光的表示方法

由上述讨论可知：两振动方向相互垂直的偏振光叠加时，一般将形成椭圆偏振光。椭圆的长、短轴之比及其在空间的取向，将随两偏振光振幅之比E0y/Eox及其相位差δ而变，参看图1-2-14。这说明，由两个特征参量即可表示任一光波的偏振态，下面介绍表示椭圆偏振光各参量之间关系的4种方法。①三角函数表示法如图1-2-15所示，两振动方向相互垂直的偏振光Ex和Ey叠加后将形成椭圆偏振光。通过坐标系旋转，将椭圆方程变为标准形式。变换关系第八十页，共一百五十三页，2022年，8月28日第八十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日在新坐标系下可设a,b是椭圆的半长和半短轴,正、负号对应左、右旋向。显见，由比值b/a和角度φ两参量即可确定椭圆的外形及其在空间之取向，因此是椭圆偏振光的两个基本参量，也是实际工作中可以直接测量的两个量。下面再求它们与比值Eoy/Eox

以及相位差δ之间的关系。第八十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日以上方程消去τ和δ0两个变量，并定义得由此可见，若测出和两角度之实际值，则两偏振光之振幅Eox,Eoy

，以及相位差δ就可由上式求出。第八十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日反过来，已知α和δ之值，则可由上列方程组求出a、b及φ之值。这也是测量透明电介质薄膜的厚度和折射率的一种方法（椭圆偏光法），因为根据菲涅尔公式薄膜厚度和折射率与α和δ有联系。②琼斯矢量表示法1941年，琼斯(R.C.Jones)用一个列矩阵来表示一电矢量的x、y分量用复数表示为略去公共因子写成矩阵形式第八十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日该矩阵一般称之为琼斯矢量。它在抽象的数学空间是一个矢量，但在实际的物理空间不是一个矢量。它包含了电场分量的振幅和相位的全部信息，因此唯一确定了波的状态，是描述偏振光的一种方便而常用方法。通常取归一化的琼斯矢量，即dagger第八十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日略去公共因子写成

α为振动方向相对x轴的方位角。这里的J自然是归一化的。(1)线偏(2)圆偏(3)其他情况，椭偏第八十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日例(1)x方向的线偏光(2)y方向的线偏光(3)45o方向的线偏光(4)圆偏光③斯托克斯矢量表示法（略）

④邦加球表示法（略）

第八十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日1.3平面光波在各向同性介质分界面上的反射和折射一、边界条件光遇到两种介质的界面时要反射和折射。由于在分界面处介质的物理性质（由电容率和磁导率表征）有突变，一般导致在界面出现面电荷及面电流分布，使有关物理量发生突变，此时微分形式的麦克斯韦方程组不再适用，但积分形式麦克斯韦方程组可应用于任何连续介质内部。电磁场通过这种突变面时所服从的各个关系式即为边界条件。推导边界条件的基础是积分形式的麦克斯韦方程组第八十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日注意，法线方向由介质1指向介质2。与麦克斯韦方程组一样，4个式子并不独立，通常仅用前两个就够了。切向分量法向分量第八十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日两个概念：入射面是指界面法线与入射光线组成的平面。光波的振动面是指电场矢量的方向与入射光线组成的平面，或指电矢量所在的平面。

二、反射定律和折射定律第九十页，共一百五十三页，2022年，8月28日假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波。第九十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日若入射波为平面谐波，则反射波和折射波都是平面谐波波函数可以写为：界面两侧的总电场为：

第九十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日利用边界条件

对任意时刻，及边界上任意位置该矢量方程始终成立。当(x,y,z,t)=(0,0,0,0)时

三个红框内为三个共面常矢量，各自有随空间和时间变化的任意系数。欲使任意时刻任意位置始终成立，只可能系数相等时，即

第九十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日对时，任意时刻t，两方程成立，则第九十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日同样，对t=0时，任意坐标两方程成立，则意味着，频率为ω的光入射各向同性介质后，反射和折射光频率保持不变。界面为z=0的平面，故有由于上式对z=0的平面任意x,y成立，入射面为xz平面，因此第九十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日所以，入射波、反射波与折射波均在同一平面（入射面）上；三个波矢的切向分量相等。第九十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日相位匹配条件

第九十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日这就是介质界面上的反射定律和折射定律。折射定律又称为斯涅耳(Snell)定律。

于是三、

菲涅耳公式

上面只得出入射波、反射波和折射波传播方向之间的关系。下面给出它们的振幅和相位之间的关系。为此要考虑E,H两矢量的取向。由于任一偏振态的光均可分解为两个相互垂直的分量，一般把它分解成在入射面内的分量（平行分量或称p分量）和垂直于人射面的分量（垂直分量或称s分量）。因此，可以分别讨论E垂直和平行入射面这两种情况。第九十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日第九十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日先讨论电场强度E垂直人射面的情况,即s分量的菲涅耳公式：因为界面上的入射光、反射光和折射光相因子相同，根据电磁场的边界条件及s分量、p分量的正方向规定，可得：利用 ，得到：消去Et0s，经整理可得

第一百页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于非磁介质μ1≈

μ2≈

1，并结合折射定律若消去Er0s，经整理可得

对于非磁介质μ1≈

μ2≈

1，并结合折射定律第一百零一页，共一百五十三页，2022年，8月28日p分量的菲涅尔公式（平行于入射波的分量）。采用与s分量相同的方法，可求得：

第一百零二页，共一百五十三页，2022年，8月28日对于非磁介质μ1≈

μ2≈

1，并结合折射定律对于非磁介质μ1≈

μ2≈

1，并结合折射定律第一百零三页，共一百五十三页，2022年，8月28日菲涅耳反射系数和透射系数:

设介质中电场矢量的振幅分别为Ei、Er和Et，每个量又可以分为s分量和p分量，则s分量和p分量的反射系数和透射系数分别定义为：

上述四个方程即为菲涅尔公式。这些系数首先是由菲涅尔用弹性波理论得到的，所以又叫做菲涅尔系数。注意：不管s还是p分量情况菲涅耳反射系数和透射系数都是用电矢量振幅来表达的第一百零四页，共一百五十三页，2022年，8月28日所以菲涅耳反射系数和透射系数为第一百零五页，共一百五十三页，2022年，8月28日第一百零六页，共一百五十三页，2022年，8月28日四、反射率和透射率定义反射光与入射光的平均辐射功率（能流）之比为反射率:菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之间的场振幅关系，现在，进一步讨论反映它们之间能量关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。第一百零七页，共一百五十三页，2022年，8月28日透射光波和入射光的平均辐射功率（能流）之比为透射率

第一百零八页，共一百五十三页，2022年，8月28日由光强公式可以得到代入反射率和透射率的公式：同理，可推导出当入射波中只有p分量时的反射率和透射率：第一百零九页，共一百五十三页，2022年，8月28日s波和p波的反射率和透射率是满足能量守恒定律的Rp+Tp=1，Rs+Ts=1影响反射率、透射率的因素入射光的偏振态，入射角，界面两边介质的折射率（电容率和磁导率）。

下面回到通常情况即，μ1≈μ2≈

1第一百一十页，共一百五十三页，2022年，8月28日反射率与入射角的关系曲线第一百一十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日

Rs≠Rp，即反射率与偏振状态有关。在小角度(正入射)和大角度(掠入射)情况下，Rs≈Rp。在正入射时，

一般情况下第一百一十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日结论1：正入射时，仍然有反射光存在，只是反射较弱。反射率仅与介质的折射率n有关。用于成像的光学系统，尽可能的使用光线正入射以减小光能损失。当系统中光学元件较多时，反射光能的损失巨大。在空气-玻璃界面上，当n=1.5时，反射率为0.04。为减少光能的损失，在许多场合，在光学元件的表面镀上增透膜，来增加光能量的透过率，减少反射率。第一百一十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日θi<θB，R数值小，变化缓慢。θi>θB，R随着θi的增大急剧上升，直到为1。

结论3：反射率与界面两侧介质的折射率有关。

下图给出了在n1=1的情况下，光正入射介质时，介质反射率R随其折射率n的变化曲线。在一定范围内，R与n几乎是线性关系，当n大到一定程度时，R的上升就变得很缓慢了。结论2：反射率R随入射角θi

变化的趋势第一百一十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日

垂直入射时R随n变化的关系例如，正入射时，n=1.5的玻璃反射率R≈4%，红宝石(n=1.769)的反射率为7.7%，而对红外透明的锗片，n=4，其反射率高达36%，一次反射就几乎要损失近40%的光。

第一百一十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日或

例如，光由玻璃射向空气时，临界角θc=41°8′。对于n1＜n2（外反射）的情况，不存在全反射现象。

存在一个临界角θc，当θi＞θc时，光波发生全内反射。由折射定律，相应于临界角时的折射角θt=90°，因此有

n1>n2(内反射)情况第一百一十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日光从光密介质入射到光疏介质时的情况

第一百一十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日当光从光密介质射向光疏介质时，对于正入射或者时入射角度较小的情况，反射光没有半波损失

θi<θc时s分量的反射系数大于0，即反射光中的s分量与入射光中的s分量同相位，p分量的反射系数：θi<θB时大于0，说明反射光中的p分量相对于入射光中的p分量相位相同；θB<θi<θc时小于0，说明反射光中的p分量与入射光中的p分量有π的相位突变。第一百一十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日布儒斯特定律依然有效透射系数ts和tp都大于l，且随入射角的增大而增大。

虽然ts和tp都大于l，但并不意味着透射率T大于1或必随入射角的增大而增大，因为T还与系数有关。

第一百一十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日

所以折射角在实数范围内不存在。此时发生了全反射现象，并且反射光的s分量和p分量的相位相对于入射光中的s分量和p分量的相位都是有一渐变的过程，从0变化到π。将有关参数扩展到复数域，可以从形式上仍然使用菲涅耳公式来讨论反射波和透射波的性质。

当θi≥θC时（即入射角大于等于临界角）由于第一百二十页，共一百五十三页，2022年，8月28日Γ是一个实数。代入到菲涅尔公式中

s分量和p分量的振幅反射系数都为复数

五、全反射的性质及其应用

1.反射波：将cosθt写成虚数的形式：

第一百二十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日全反射时，反射光中的s分量和p分量光场相对于入射光的相位的变化n=n2/n1：两种介质的相对折射率

并且有：s分量和p分量的相位是不相等的，它们之间存在一个相位差。第一百二十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日s分量和p分量的相位差与入射角和两个介质的折射率有关。当两个介质的折射率确定以后，适当的控制入射角，即可改变这个相位差，从而可以改变反射光的偏振状态。因此，线偏振光入射在全反射时，也可以得到圆或椭圆偏振光。

2.倏逝波

倏尔而逝第一百二十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日实验表明，全反射时，光波不是绝对地在界面上被全部返回第一介质，而是透入第二介质大约一个波长的深度，并沿着界面流过波长量级距离后重新返回第一介质，再沿反射方向射出。这个沿第二介质表面流动的波就称为倏逝波。①倏逝波的波函数

为复矢量

令

倏逝波的波函数可在形式上表示为

根据电磁场的边界条件，可以得到

第一百二十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日则第二介质中的折射波（倏逝波）的波函数可以表示为：倏逝波的相位项为：②倏逝波的性质可以看到，它仍然有行波的特点，其相位分布仅与x坐标轴有关，等位相面垂直于x轴，且沿x轴传播。

第一百二十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日倏逝波的波长（空间周期）

相速度

可以证明，倏逝波一般不再是横波。

倏逝波的振幅项为

倏逝波的振幅随z的增大而按指数函数衰减，等幅面与介质的界面平行。当振幅降至原值的1/e时的z值称为穿透深度，即：第一百二十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日进一步的研究表明，发生全反射时，光由第一个介质进入第二个介质的能量入口处和返回能量的出口处，相隔约半个波长，即如图所示，存在一个纵向位移，此位移通常称为古斯一汉森(Goos—Hänchen)位移。

第一百二十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日3.全反射的应用从理论上来说，全反射时，光能能够全部反射回介质，而没有损失。

①光导纤维

光纤中的传光原理，基于全反射现象。光纤是如图所示的圆柱形光波导，其纤芯的折射率n1大于包层的折射率n2。当光线由端面进入纤芯，并以一定的入射角射到界面上时，如果入射角大于临界角，光线将全反射回到纤芯中，并在纤芯中继续不断地全反射，直至从另一端折射输出。第一百二十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日根据全反射的要求，对于光纤端面上光线的入射角，存在一个最大值，它可根据全反射条件，由临界角关系求出：

第一百二十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日

当光线在端面上的入射角大于临界角时，光线在包层-纤芯界面上将不满足全反射条件，光线将透过界面进入包层中，并向周围空间产生辐射损耗，即产生能量的损耗。此时，光纤将不能够有效地传递光能。通常将n0sinφm称为光纤的数值孔径（NA）。

数值孔径表示式为

式中

称为纤芯和包层的相对折射率差，一般光纤的Δ值为0.01~0.05。第一百三十页，共一百五十三页，2022年，8月28日②倏逝波的应用

倏逝波透入介质2中深度的变化所带来的对介质1中全反射效应的影响，称为受（挫）抑全反射效应。图所示装置就是通过d的变化来控制V1和V2接收到的光强。反之，若测出透射和反射的两路光的光强．也可以求取微小位移d。

第一百三十一页，共一百五十三页，2022年，8月28日③反射波相位变化的应用

利用全反射时的相位变化特性，选取适当的折射率n和入射角可以得到反射光中s和p分量特定的相位差，从而改变入射光的偏振状态。据此原理设计的菲涅耳棱体有类似于波片的功能，且能在调谐范围内消色差，因此在激光光谱学中得到应用。

材料为玻璃n=1.52,θc=41o8’第一百三十二页，共一百五十三页，2022年，8月28日图a中，选取入射角＝48°37´或54°37´，经两次全反射，产生π/2的相位变化，当入射光是线偏振光时，反射光一般为椭圆偏振光；苦取入射光方位为45°，则出射光将是圆偏振光。这里棱镜起着改变入射光偏振态的作用，相当于一块1/4波片。

第一百三十三页，共一百五十三页，2022年，8月28日

图b所示由两块棱体组成，能产生π的位相变化，起到旋转入射光振动面的作用。第一百三十四页，共一百五十三页，2022年，8月28日

1.4光波在金属表面上的反射和折射一、导体中的电磁波

在科学技术中金属是一种常用的材料。普通金属是由许多取向杂乱的小晶体构成的，可以看成各向同性的均匀导体。金属导体内部有大量的自由电子，电磁波在导体中传播时，电磁能转变成热能，导致电磁波被强烈吸收。若传播的是一严格的单色波，其角频率为ω，则E、H随时间变化的规律为第一百三十五页，共一百五十三页，2022年，8月28日由麦氏方程和物质方程得

得

令

为复电容率在形式上与透明介质中的波动方程相同，只是在金属中电容率应取复数。与此类似可定义复相速、复折射率、复波矢如下第一百三十六页，共一百五十三页，2022年，8月28日这里n为折射率，χ为消光系数。利用关系n2=ε’μ得，它们与ε，σ，μ

的关系是第一百三十七页，共一百五十三页，2022年，8月28日有平面波解

这说明，金属中传播的是一衰减的平面波，其振幅按衰减。能量密度d为沿波法线方向的传播距离能量密度第一百三十八页，共一百五十三页，2022年，8月28日当能量密度降至原值的1/e时的传播距离定义为穿透深度二、金属对光波的反射和折射金属中电磁波与介质中电磁波的差别只是金属的电容率、折射率和波矢均为复数。前面给出电磁波通过界面时的一些结果，可以直接引用，只需要把相对应的量用复值代替。如图1-4-1所示，一平面电磁波从电介质进人导体，设两种介质均为无限大。xy是分界面，xz是入射面，由折射定律有第一百三十九页，共一百五十三页，2022年，8月28日这时θt为复数，已不再有简单的折射角的意义。

第一百四十页，共一百五十三页，202