2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)-解析版

2021年全国统一高数学试卷（科乙卷）一、单项选择题（本大题共12小，共60.0分

设𝑧)

，则

𝑖

B.

C.

D.

𝑖【答案C【解析】解：设，，b是数，则𝑖

，则由𝑧)𝑖

，得𝑖𝑖，得𝑖𝑖，得，得，，即，故选：．利用待定系数法设出，，b是实数根据条件建立方程进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算待定系数法建立方程是解决本题的关键础题．

已知集{𝑠，{𝑡则

B.

S

C.

T

D.

Z【答案C【解析】【分析】本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题．首先判断集合T任意元素都是集合的素，从而得出集合T是集子集，然后即可求它们的交集．【解答】解：因为当时集合T中任元2所以，于是故选：．第1页，共页

3.

已知命题p：，命题：，

，下列命题中为真命题的是

B.

￢𝑞

C.

￢

D.

￢【答案【解析】解：对于命题p，，当时，，命题真命题￢为命题；，对于命题q：，因为，又函数为单调递增函数，

，故命题真命题￢为命，所以为真命题￢

为假命题，￢

为假命题，￢

为假命题，故选：A．先分别判断命题p和题q真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.

设函数，下列函数中为奇函数的

B.

C.

D.

【答案【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换题的关键是确的对称中心考了逻辑推理能力，属于中档题．先根据函数(的析式，得的对称中心，然后通图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，而得到答案．【解答】解：因

，所以函的称中心为，所以将函数(向平移一个单位，向上平移一个单位，得到函，函数的对称中心，第2页，共页

111𝜋24452454故函数111𝜋244524545.

在正方

中为

的中点直线PB与所的角为

𝜋2

B.

𝜋

C.

𝜋4

D.

𝜋6【答案D【解析】【分析】由

，得是直线与所的或所成角的补，由此利用余弦定理，求出直线所的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解

是直线与所的角或成角的补角，设正方

的棱长为2则22，222，

22，

222

2×

2

，

𝜋6

，直PB与故选：D

所成的角为．66.

将北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰项目进行培训，每名志愿者只分配到项目，每个项目至少分配名愿者，则不同的分配方案共

B.

种

C.

种

D.

种【答案C【解析】解：5名愿者选组，种法，然后4组行全排列，种，共有种故选：．先选2一组，然后全排列即可．第3页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥23本题主要考查排列组合的应用先分组后排列的方法是解𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥237.

把函数图上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再把所得2曲线向右平移个位长度，得函数3

的像，则

𝜋2

B.2

C.

sin(212

D.sin(212【答案【解析】解：把数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，2再把所得曲线向右平移个位度，得到函3把数的像，向左平移个位长度，3

的像，得到

𝜋𝜋𝜋312

的像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，可得(

𝜋2

的像．故选：B．由题意利用函数𝑖的像变换规律，得出结论．本题主要考查函的像变换规律，属基础题．8.

在区间与中随机取数，则两数之和大于的率

B.

2332

C.

32

D.

2【答案【解析解由题意可得可行域{，得三角形的面积

3232

，

32

．32故选：B．由题意可得可行域：{，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查第4页，共页

【解析】解：，，即𝐷𝐸(𝐸𝐸𝐻)了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：，，即𝐷𝐸(𝐸𝐸𝐻)9.

魏晋时期刘徽撰写的海岛算》是关于测量的数学著作中一题是测量海岛的高如，点，H，G在平线上DE和FG两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度“高”EG称“表距”GC和都为“表目距”，GC与EH的称为“表目距的差”，则岛的C.【答案𝐷𝐸𝐻𝐺𝐶𝐺𝐶𝐶𝐺𝐶故𝐴𝐻𝐶𝐴𝐴𝐸𝐸𝐺𝐺𝐶

，，

B.D.解得

⋅𝐸𝐺

𝐻𝐸

𝐸𝐻，故：

𝐷⋅𝐻

⋅𝐸𝐺𝐶𝐺𝐸

．故选：A．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.

设，为函

2

的极大值点，则

B.

C.

2

D.

2【答案D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题．根据，为数(𝑥

2

的大值点利用导数来判断，b第5页，共页

3𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+22该满足的条件，为此需要判断函数左右的单调性，本题需要，并3𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+2𝑎+22且，，且，，且，，并且共情况讨论，由此可以推出：并且或并，然后判断选项的正确性．【解答】解为Ⅰ所以数𝑥在−单调极值，不合条件；Ⅱ当时因)𝑥

𝑎+23

，所以，并且，

𝑎+23

，由′，：或，3由′)，

𝑎+23

，所以这(在−上调递增，

𝑎+23

上调递减是函数(的极大值点，符合条件；若

𝑎+23

由′)得

𝑎+23

或由′)，得：

3

所以这时(,单调递减在𝑎,上单调递增3是函数(的小点，不符合条件；若，并，

𝑎+23

，由′)，：，由′，3得或

𝑎+23

，这时(在−上单调递减，(

𝑎+23

上调递增是函数(的小点，不符合条件；若，并，

𝑎+23

，由′)，：

3

，由′，得

𝑎+23

或以这(在,单调递增在𝑎,上单调递增，3是函的大值点，符合条件；因此，为函数()(𝑥)并且或并且由此可见，，B均误；

2

的大值点，则，b必满足条件：又总有故选D．

2

成，所以C错，正确．11.

设是圆C：2

𝑦

22

的上顶点C上任意一点P满足则C的心率的取值范围

2

,

B.

,2

C.

]2

D.

2【答案C第6页，共页

222222【解析】222222【分析】本题重点考查椭圆的性质，属于一般题．设，得2

，利用正弦函数的性质求得

22

，进而可求离心率的范围．【解答】解：设𝜃由题意，得，√

𝜃

,当时不式成立；当时

22

3sin

2

3sin𝜃𝜃

，而

，，𝜃2

𝑐

√

22

，又故椭圆离心率的取值范围故选：．

12.

设，𝑙，𝑐，)

𝑐

B.

𝑐

C.

𝑐

D.

𝑐【答案【解析】解：，，，令(，令

，则

，

3)𝑡，

𝑡

2

3

𝑡3)

，在√上调递增，第7页，共页

2，222，，2，222，同理令√，再令

，则𝑡

，

，2在√上调递减，，，，．故选：B．构造函𝑙，，√，用导数和函数的单调性即判断．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，20.0分13.

已知双曲线：2𝑚的条渐近线为𝑚，C的距𝑚为．【答案】4【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．根据题意，由双曲线的性质可得据此计算c的，即可得答案．【解答】

𝑚

𝑚，解可得m的，即可得双曲线的标准方程，第8页，共页

2𝑥𝑚2𝑥，，，𝑖32𝑥𝑚2𝑥，，，𝑖3222𝑚𝑚，解可得𝑚，则有

2

𝑚的条渐近线为𝑥𝑚

，则双曲线的方程为2，则3+12，其焦距；故答案为：4．14.

已知向，，．【答案】5【解析】解：因为向量=，则3

，又，所以⋅𝑏−1525解得．5故答案为：．5利用向量的坐标运算求得3−

再由𝑏)得⋅

，即可求解的．本题主要考查数量积的坐标运算垂的充要条件方程思想与运算求解能力，属于基础题．15.

记的角的边分别为为

2

2

，则______．【答案22【解析】解：的角A，B，对边分别为a，b，面积为，，

2

2

，222

𝑐22，又

2

1228

2

2，负舍故答案为：．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的程，解方程可得．第9页，共页

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.

以图为正视图在图中两个分别作为侧视图和俯视图组成某个三棱锥的三视图则选侧视图和视图的编号依次写符合要的一组答案即．【答案或【解析解观察正视图，推出正视图的长为和1图的高也为，即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为2即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓，可以确定该三棱锥的俯视图为．故答案为：或．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图需学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．三、解答题（本大题共7小题，82.0分17.

某厂研制了一种生产高精产品的设备验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了产品到各件产品该项指标数据如下：旧设备

新设备

第10页，共17页

22222√√2√旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记22222√√2√

和

方差分别记为和．求，，，；判新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有著提如221210

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高．【答案】解：由题中的数据可得，

10

10.2，

10

(10.110.010.410.510.3,2

10

(10.310)

(10.22

22

(10.12

(10.2

2

；22

10

[(10.1

(10.42

(10.12

(10.0

(10.12(10.3

(10.62

(10.52

(10.42

(10.5

；(2)，221210

0.0360.0410

2，所以√

221210

，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】本题考查了样本特征数计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．利平均数和方差的计算公式进行计算即可；比较与√

221210

的大小，即可判断得到答案．18.如图四棱锥的面是矩形，底ABCD为BC中点．求；求面的弦．第11页，共17页

则，所以⋅√3则，所以⋅√3【答案结BD底面ABCD平面，则又𝑃PB平面，所以平面，平，则，所以，又，则有，以，

，得；因，DC，DP两垂直，故以点D为标原点建立空间直角坐标系如图所示，则(

,，，，所以

，,,，设平面的向量为=(，则有，，⋅令，则，，故√，设平面的向量为，则有

，即2−𝑞

，令，，，所以,

314

，设二面的面角为，则2,14

，所以二面角−𝑃的正弦值为．14【解析连BD利用线面垂直的性质定理证明，而可以证明平面，到，明即可得到长度；第12页，共17页

𝑛𝑛𝑛由，解得𝑛𝑛1𝑛𝑛，所以𝑛𝑛𝑛由，可得𝑛𝑛+1𝑛𝑛，代入，可得𝑛，可得𝑛𝑛𝑛建合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由𝑛𝑛𝑛由，解得𝑛𝑛1𝑛𝑛，所以𝑛𝑛𝑛由，可得𝑛𝑛+1𝑛𝑛，代入，可得𝑛，可得𝑛𝑛𝑛本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解求解有关空间角问题的时候一般会建立合适的空间直角坐标系空间角问题转化为空间向量问题进行研究于中档题．19.记为

的前n项𝑛

为数列

的n积，已知

𝑛𝑛

．证：数是差数列；𝑛求的项公式．𝑛【答案】解：证明：当𝑛时

，11

，当时

𝑛1

𝑛

，代入

𝑛𝑛

，消去，可得

𝑛1𝑛

，所以

是以首项，为公差的等差数列．由意，

，由，可

𝑛+2

，𝑛+2𝑛𝑛

，当时𝑛𝑛

𝑛1

𝑛+1

𝑛+1𝑛

𝑛(

，显然不满足该式，所以

,

𝑛(

𝑛．,𝑛【解析由意当𝑛时

代入已知等式可得的值𝑛时

𝑛1

𝑛

𝑛1𝑛𝑛

，进一步得到数{

是等差数列；由

𝑛+2𝑛

，代入已知等式可得

𝑛+2𝑛+1

，当𝑛时，

𝑛

𝑛1

𝑛(

，进一步得到数{

的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．第13页，共17页

故20.己知数已知是数故设数.

证明：．【答案解由题意，的定义域，令(，𝑙𝑎)，则⋅

，因为是数的极值点，则有，即，以，当时

，，因为′

2

2

，则上调递减，所以当时，当时，，所以时时函数的一个大值．综上所述，；证：可，要证，需证明，因为当，当时，𝑙，所以需证明，即，令，则⋅

−𝑥)

，所以，当时，当时，，所以为的小值点，所以，，𝑙

，所以

．【解析确函数的定义域，令(，极值的定义得到，求出值，然后进行证明，即可得到值；第14页，共17页

𝑥ln(1121𝑥221，𝑥𝑥23eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)将题转化为𝑥ln(1121𝑥221，𝑥𝑥23eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)

𝑥𝑙𝑛(1𝑥)

<1进步转化为证𝑥ln(1𝑥)𝑥𝑙，令𝑥)𝑥𝑥)ln(1，利用导数研的单调性，证𝑥)，可证明．本题考查了导数的综合应用主考查了利用导数研究函数的极值问题用数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.已知物线𝑥

的点为F，F与M𝑥

上的距离的最小值为．求p若P在M上PB为C的条切线B是切点，eq\o\ac(△,)𝑃面的大值．【答案】解：点

到圆M上点的距离的最小值|

，解得；由知抛物线的方程𝑥

，𝑥，则′

𝑥，设切点𝑥,)，𝑥𝑦，则易得

：

𝑥

𝑥

𝑥

,𝑙

：2

𝑥

𝑥

，从而得

𝑥𝑥

2

,1设𝑥，立抛物线方程，消去整理可得𝑥

𝑥，

，

，且𝑥

𝑥，𝑥，，|⋅𝑥

𝑥2

𝑥𝑥2

，点P到线AB的离

𝑘2

，eq\o\ac(△,𝑃)eq\o\ac(△,)

𝑘

，又点在圆M：𝑥

上，故

2

，代入得，

2

32

，而

3]