由尺度函数到多分辨率分析

由尺度函数到多分辨率分析第一页，共二十三页，2022年，8月28日一、MRA的进一步讨论MRA由一组子空间序列组成，满足条件：

第二页，共二十三页，2022年，8月28日MRA的尺度函数应满足的条件：

是L2(R)的Riesz序列和的关系为：为何不提正交基？第三页，共二十三页，2022年，8月28日两种方法构造MRA：（1）构造一组子空间序列满足条件(1)-(5)，（容易）；然后寻找尺度函数满足(6)-(8)（困难）。(2)找函数满足(6)(7)，由(8)来定义若这样的满足(1)-(5)，就找到了一个MRA。第四页，共二十三页，2022年，8月28日当满足(6)(7)时，可证明(8)定义的满足(1)(4)(5)，定理5.1证明也满足(3)定理5.1：设满足条件(6)，由(8)定义，用表示由向的正交投影算子，则对任给的，有，即第五页，共二十三页，2022年，8月28日结论：若找到一函数满足(6)(7)，则(8)定义的满足(1)(3)(4)(5),只需再加一条件，就可确定(8)生成的也满足(2)，如定理5.2所示。定理5.2：设满足条件：

(a)是中的Riesz列；

(b)在0点连续，且；则(8)生成的有在中稠密，或。第六页，共二十三页，2022年，8月28日定理5.3：设满足：

(a)是的Riesz系；（条件6）

(b)，即满足双尺度方程；（条件7）

(c)在0点连续，且；则空间构成MRA第七页，共二十三页，2022年，8月28日注意：1）存在着一些小波，没有尺度函数（例如MexicanHat小波等）2）“好”的小波一定是由MRA生成的定理4.5若对某个，小波函数满足则这样的小波一定对应于MRA。（时频域同时局部化好）第八页，共二十三页，2022年，8月28日二、例2：Meyer小波设定义在R上的函数，满足

(1)(2)(3)(4)(5)则一定存在函数满足

（意味着找到MRA的尺度函数的频域形式）怎样证明？第九页，共二十三页，2022年，8月28日定理5.4：若满足(1)-(5),则(的傅立叶反变换）构成MRA的尺度函数。证明:

A)显然，在0点连续（由(3)式保证），且，所以满足定理5.3的条件(c)。

B)由(4)(5)式知，级数，所以不仅是的Riesz系，而且标准正交，因此满足定理5.3的条件(a)第十页，共二十三页，2022年，8月28日

(C)设以为周期，它在上的值由的值定义。即令：由于条件(3)(4)保证了：（尺度方程的频域形式）所以满足定理5.3的条件(b)。综上所证，构成了一个多分辨率分析，且以为正交尺度函数。第十一页，共二十三页，2022年，8月28日

Meyer小波的尺度函数和小波函数第十二页，共二十三页，2022年，8月28日Meyer小波的性质：(1)，（即无穷阶光滑）(2)导数有界(3)导数是多项式衰减的（说明什么问题？（频域衰减快））（4）对称、正交性（伸缩、平移）第十三页，共二十三页，2022年，8月28日第十四页，共二十三页，2022年，8月28日Meyer给出的例子：

其中，是一个光滑函数，满足：和第十五页，共二十三页，2022年，8月28日的取法多种多样，例如可取其图形如下：第十六页，共二十三页，2022年，8月28日三、例子3－正交样条小波(B-L)若把尺度取成对应于整数节点的B-样条，则得到Battle-Lemarie小波，简称B-L小波。(1)n=0,是分段样条函数是中的规范正交序列（注意不是完全……)由知满足两尺度方程满足定理5.3（c)(c)在0点连续，且；所以可由得到MRA第十七页，共二十三页，2022年，8月28日(2)n=1，分段线性样条函数满足定理5.3条件(c)满足两尺度方程(c)在0点连续，且；定理5.3条件第十八页，共二十三页，2022年，8月28日

由得(注意n阶B样条的情况）：因此是中的Riesz基(有定理证明）注：n＝1时不是标准正交的，故需正交化，令注意：不是紧支撑的，正交化过程破坏了紧支性第十九页，共二十三页，2022年，8月28日满足两尺度关系注意：书上80页有错注意：此式（书上５.25式）的由来－－Riesz基的规范正交化第二十页，共二十三页，2022年，8月28日此时的样条、尺度和小波函数：若令则有（等式右边是周期函数，可展开为傅立叶级数）二尺度方程形式第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日B-L小波的性质……具有指数衰减性注意对比Mayer小波的三个性质（无穷阶光滑、导数有界、导数按多项式衰减）第二十二页，共二十三页，2022年，8月28日注意：假定是标准正交的。若是指数衰减，同时又是无穷光滑（无穷可微）、导数有