高考数学总复习第八章平面解析几何教案

第八章平面解析几何

览全局・网络构建I观网络一览无余

平面解析几何

直线与方程圆与方程------------------圆锥曲线与方程

,

一

一

宜

直

圆

圆

两

曲

直

的

线

线

宜

与

线

线

方

的

方

线

与

与

程

圆

方

倾

程

的

圆

一

程

斜

的

位

的

的

一

角

五

置

位

位

与

种

关^定义、标准方程及几何性质

置II

系

斜

形

率

式

关

系I直线与圆锥曲线的位置关系I

II

备高考・策略指导I明方向有的放矢

6重点关注合导学心语

解析几何在高考中占有举足轻重的地位，从近几年课标区各省市1.抓主线，构建知识体系，对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、

港来看，与本章相关题的分值约22分，占总分值的14%〜15%.和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法

方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题想应灵活掌握.

014•四川14,2014•陕西12,2014•天津5）,重在考查学生的2.依托基础知识，强化思想方法训练，直线、圆及圆锥曲线是娄

双基掌握情况.的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，球

与圆锥曲线的位置关系的考查，常以压轴题的形式出现，其命题的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用.

5向量结合，重在考查圆锥曲线的几何性质（2014•课标全国卷3.加强纵横联系，强化综合应用意识，在知识的交汇处命题，L

14•福建19,2014•山东10）,另外定值问题、最值问题及探索的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不甯

长是考查的热点问题（如2014•北京19,2014•福建9,2014-ill在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题

东21等）.化解题过程的目的.

容集中体现了两大数学思想：函数与方程及数形结合的思想，且4.突出重点，热点考查内容的复习，如轨迹问题，对称问题，

三角函数、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新.问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合改

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程

［考纲传真］

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确

定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式

与一次函数的关系.

固基础-自主落实I理教材双基自测

1.直线的倾斜角

(1)定义

［一个基准H取烟作为基准)

(直线,与轴相交

X轴正方向

两X

种两个方向直线/向上方同

故

况

一直线，与“轴平行或(———(--------------］

重合——T规定H倾斜角为。J

(2)范围［0,").

2.直线的斜率

⑴定义：若直线的倾斜角a不是90°,则其斜率k=@g；

(2)斜率公式：若由A3,yj,B(x”yj确定的直线不垂直x轴，则k=T<

X2-X1

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y()=k(x-xo)不含直线X=Xo

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—yix—Xi

两点式不含直线x=xi(xi=X2)和直线y=yi(yi=y2)

y2—yi-X2-xi

截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线

a-b---

一般式Ax+By+C=O,A'+B*平面内所有直线都适用

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()

(3)过定点Po(xo,yo)的直线都可用方程y—yo=k(x-xo)表示.()

(4)经过任意两个不同的点P,(X1.yi),B(X2,yj的直线都可以用方程(y—%)(X2—X。

=(x-Xi)(y2—yi)表示.()

［解析］显然(1)正确，(2)错误.

(3)中，若斜率不存在，直线方程为x=x。；若斜率存在，直线方程才可设为y-y0=k(x

—xo),(3)不正确.

(4)利用两点式方程，可知(4)正确.

［答案］⑴V(2)X(3)X(4)V

2.(教材改编)直线xs"a—y+l=0的倾斜角的取值范围是()

［解析］由xsf"a—y+l=0,得丫=*5/〃a+1,

二直线的斜率k=s。ae［-l,I］.

设直线的倾斜角为0,则一0<1.

所以0W0W］或耳W。〈兀

［答案］D

3.（2015•济南质检）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x—4y=0的圆心，则a的值为

A.-1B.1C.3D,—3

［解析］圆的方程（x+lT+e—2）2=5,

圆心为（一1,2）.

•.•直线过圆心，.•.3X（—l）+2+a=0,

［答案］B

4.（2014•福建高考）已知直线1过圆x2+（y-3）2=4的圆心，且与直线x+y+l=0

垂直，则直线1的方程是（）

A.x+y—2=0B.x—y+2=0

C.x+y—3=0D.x—y+3=0

［解析］圆x2+（y-3）2=4的圆心为点（0,3）,又因为直线1与直线x+y+l=0垂直,

所以直线1的斜率k=l.由点斜式得直线1：y—3=x—0,化简得x—y+3=0.

［答案］D

5.直线1：ax+y—2—a=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a=_

［解析］令x=0,则1在y轴上的截距为2+a；令y=0,得直线1在x轴上的截距为

1+-.

a

2

依题意2+a=l+-,

a

解得a=l或a=-2.

［答案］1或一2

提知能・典例探究I析典例探求规律■

考向1直线的倾斜角和斜率

【典例1］（1）若直线1与直线y=l,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标

为（1,-1）,则直线1的斜率为（）

A.-B.--C.~~D.-

o0乙J

(2)直线x+(a2+l)y+l=0(aeR)的倾斜角的取值范围是()

A

C

3n

.丁，

［解析］(1)设/(x,D,。(7,y),

：.x=-5,y=-3,即尸(一5,1),0(7,-3),

故直线1的斜率"=号廿=一0

/十33

(2)由直线*+(才+1)了+1=0,

得直线的斜率4=一母仁［-1，0)，

设直线的倾斜角为，，则一l<tan0<0.

,3n

因此一j_WJt.

［答案］(DB(2)B

【规律方法】

1.求解本例(2)时，易错求tan，=反1,导致错选C.

2.直线倾斜角的范围是［0,"),而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率

求倾斜角的范围时，要分o,高与仔，两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当

0,高时，斜率衣G［0,+8)；当•时，斜率不存在；当仔，时，斜率

ke(—8,o).

【变式训练1】(1)(2015•德州质检)直线/经过点力(1,2),在x轴上的截距的取值

范围是(一3,3),则其斜率4的取值范围是()

A.-1<A<-B.k>1ngA<-

52

C.或AVID.或4V—1

(2)直线/经过/(2,1),6(1,一源(RCR)两点，则直线/的倾斜角。的取值范围是

［解析］(1)设直线的斜率为h则直线方程为y—2=A(x—l),直线在x轴上的截距为

2

令一3V1—］V3,解不等式得AV—1或A〉)

KL>

(2)直线/的斜率左=/=1+君，1,

乙一1

k—tan。N1,

(JTJI

又产=1211。在(o,5J上是增函数，因此彳Wa〈万.

［答案］(DD(2)J,.

考向2求直线的方程(高频考点)

命题视角求直线的方程是命题的热点，常以客观题的形式呈现.主要命题的角度：(1)

根据条件求直线方程；(2)求方程中相关参数的取值或范围；(3)借助直线与直线、直线与圆

的位置关系考查直线方程的求法.

【典例2］(1)(2012•湖北高考)过点P(l,1)的直线，将圆形区域｛(x,yHd+yW

4｝分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()

A.x+y—2=0B.y—1=0

C.x—y=0D.x+3y—4=0

(2)经过点A(3,4),且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.

［思路点拨］(1)由题意知，要使两部分的面积之差最大,只需所求直线与直线0P垂直,

利用这一条件求出斜率，进而求得直线的方程.

(2)分截距是否为0两种情形求解.

［解析］(1)设过P点的直线为1,当OP_L1时，过P点的弦最短，所对的劣弧最短，

此时，得到的两部分的面积之差最大.

由点P(l,1)知kw=l,.,.所求直线的斜率k=-l.

所求直线方程为yT=—(x—1),即x+y—2=0.

(2)设直线在x,y轴上的截距均为a.

①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4),

4

二直线的方程为y=^x,即4x—3y=0.

②若aWO,则设所求直线的方程为乙+*=1,

aa

又点(3,4)在直线上,

.,•直线的方程为x+y-7=0.

［答案］⑴/⑵4x-3y=0或x+y—7=0

【通关锦囊】

1.(1)第(1)小题求解的关键是通过图形(略)直观发现当面积之差最大时，所求直线与

直线0P垂直.(2)截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截

距为0”的情况，以防漏解.

2.求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法.运用待定系数法要先设出直

线方程，再根据条件求出待定系数.利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直

线方程的形式至关重要.

【变式训练2］(1)求过点A(l,3),斜率是直线y=-4x的斜率的;的直线方程.

(2)求经过点A(—5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

［解］(1)设所求直线的斜率为k,依题意

14

k=­4X-=--

oo

又直线经过点A(l,3),

4

因此所求直线方程为y—3=--(x-1),

O

B|J4x+3y-13=0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为文+』=1,

zaa

将(-5,2)代入所设方程，解得a=《，

此时，直线方程为x+2y+l=0.

2

当直线过原点时，斜率k=一口

5

2

直线方程为y=一即2x+5y=0.

故所求直线方程为x+2y+l=0或2x+5y=0.

考向3直线方程的应用

【典例3］已知直线1过点M(l,1),且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A,B两点,

0为坐标原点.求:

⑴当|OA|+|OB取得最小值时，直线1的方程;

(2)当|卜乩|2+1但「取得最小值时，直线1的方程.

［解］⑴设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).

XVi

设直线1的方程为则/

所以|0A|+|0B|=a+b=(a+b)［:+(

=2+9彩2+2,

a,r4

当且仅当a=b=2时取等号，此时直线1的方程为x+y—2=0.

(2)设直线1的斜率为k,贝iJkCO,直线1的方程为y—l=k(x—1),

则Oj,B(0,1-k),

所以|MA|2+|MB|2=(l-l+m2+12+i2+(i-i+k)2=2+k"+'22+2"\yi7^=4,

当且仅当k2=",即k=—1时，上式等号成立.

.•.当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线1的方程为x+y—2=0.

【规律方法】

1.求解本题的关键是找出|0A|+|0B|与|MA『+1MBl2取得最小值的求法,两小题中恰

当设出方程的形式，利用基本不等式求解，但一定要注意等号成立的条件.

2.利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般地，已知一

点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式.

【变式训练3】

已知直线1过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图8-1-1

所示，求aABO的面积的最小值及此时直线I的方程.

图8TT

［解］法一：设直线1的方程为之*=l(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),AABO

ab

的面积S=1ab,

3?

・・,直线1过点P(3,2),.'.-+-=1^2A,即ab224.

ab\lab

32

当且仅当一=(即a=6,b=4时取等号.

ab

/.S=1ab^l2,当且仅当a=6,b=4时有最小值12.

此时直线1的方程为即2x+3y—12=0.

法二：设直线1的方程为y-2=k(x-3)(kVO).

2

令x=0,得y=2—3k；令y=0,得x=3—j

K

.•.A(3-£,0),B(0,2-3k).

1,2、1「4

.•・SAABO=5(2—3k)(3-12+(—9k)+(_口

］「/41

12+2A/(-9k)--——=-X(12+12)=12.

2|_\j(—k)J2

49

当且仅当-9k=/即1<=一6时，S&BO的最小值为12.

一K3

故所求直线的方程为2x+3y—12=0.

I名师微博I

掌握1条规律斜率k是一个实数，当倾斜角a#90°时，k=tana.直线都有倾斜

角，但并不是每条直线都存在斜率.由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜

率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.

熟记2种方法求直线方程的方法

1.直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直

接求出直线方程.2.待定系数法：先根据一知条件设出直线方程，再根据已知条件构

造关于待定系数的方程（组）.求出待定系数，从而求出直线方程.

勿忘3点注意1.应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.2.

应用微距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.3.由一般式Ax+By+C=O

确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B=0时，k不存在；当BWO时，k=一［

D

启智慧・高考研析I探规律专项培优■

思想方法之13巧用直线斜率的意义解题

!―1力足(2013•安徽高考)函数y=f(x)的图象如图8-1-2所示，在区间［a,b］上

,,,人T-E/AW(Xl)f(X2)f(Xn)

可'找到n(n>2)个不同的数Xi,X2,…，xn,使得------=-------=3=-------,则n的

Xix2x„

取值范围是()

A.{3,B.{2,3,4}

C.{3,4,5}D.{2,3}

图8-1-2

［解析］设曲线y=f(x)上任意一点的坐标为(x,f(x)).

f(X)

则丁表示曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率.

f（Xl）f（X2）

则曲线y=f(x)上存在n个点与原点连线的斜率相等.

二过原点的直线与曲线y=f(x)有n个交点.

如图所示，山图形直观，直线与曲线可以有2个交点，3个交点，或4个交点.

［答案］B

【智慧心语】

易错提示：(1)本题出错主要原因是不能将问题转化为图象上的点与原点连线的斜率同

题.

(2)题意不清，抽象思维能力差，难以将问题进•步转化为判定过原点的直线与曲线y

=f(x)有n个交点.

防范措施：(1)正确理解和掌握斜率公式的结构特征，并灵活应用.

(2)提高分析问题、解决问题的能力，注意文字、图形、符号间的相互转化.

【类题通关】已知直线1过坐标原点，若直线1与线段2x+y=8(2WxW3)有公共点,

则直线1的斜率的取值范围是.

［解析］设直线1与线段2x+y=8(2WxW3)的公共点为P(x,y).

则点P(x,y)在线段AB上移动，且A(2,4),B(3,2),

A

4

3

2

1

234%

V

.,・直线1的斜率k=kop=；.

2

又k()A=2,koB=^.

O

9

如图所示，可知鼻WkW2.

，直线1的斜率的取值范围是［(，2.

O

［答案］2

课后限时自测

［A级基础达标练］

一、选择题

JIJT

1.直线xsf+ycos万=0的倾斜角a是()

［解析］tana=-------—tan—=tan7五,

cos—

Vae［0,外,

6

.・.a=1■乃.

［答案］〃

2.(2015・济南质检)过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x—1的倾斜角小品的直线方

程是()

A.x=2B.y=lC.x=lD.y=2

3

［解析］:直线y=-x—l的斜率为一1,则倾斜角为彳兀

依题意，所求直线的倾斜角为W一子=子，斜率不存在，

•••过点(2,1)的所求直线方程为x=2.

［答案］A

3.直线mx—y+2m+l=0经过一定点，则该定点的坐标是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2)

［解析］mx—y+2m+l=0,即m(x+2)—y+l=0.

YQ~~nY~~o

二:得一।故定点坐标为(-2,1).

{—y+l=0,|_y=l,

［答案］A

4.在等腰三角形AOB中，AO=AB,点0(0,0),A(l,3),点B在x轴的正半轴上，则

直线AB的方程为()

A.y—l=3(x—3)B.y—1=-3(x

-3)

C.y-3=3(x-l)D.y-3=-3(x

—1)

［解析］设点B的坐标为(a,0)(a>0),由OA=AB,

得一+32=(1-a)?+(3—ON,则a=2.

...点B(2,0),易得*=-3.

由两点式，得AB的方程为y—3=—3(x—1).

［答案］D

5.(2015•淄博联考)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线1过点P(l,1)且与线

段MN相交，则直线1的斜率k的取值范围是()

33

A.或k〈一4B.-

4

33

C."WkW4D.--^k^4

44

［解析］如图所示,

，要使直线1与线段MN相交，当1的倾斜角小于90。时，k2km当1的倾斜角大于

90°时，kWh.

3

山已知得1<2彳或kW—4.

［答案］A

二、填空题

6.直线1与两直线y=Lx—y—7=0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1,-1),

则1的斜率是.

［解析］设P(m,1),则Q(2—m,-3),

(2—m)+3—7=0,

...m=-2,/.P(—2,1),

..1+12

2

［答案］—鼻

O

7.(2015•济南调研)过点A(2,3),且将圆x2+y2—2x-4y+l=0平分的直线方程为

［解析］圆x?+y2—2x—4y+l=0的圆心C(l,2),

依题意知，点A(2,3),C(l,2)在所求直线上，

由两点v式2得x$1即x—y+l=O.

3-Z2—1

［答案］x-y+l=O

8.若直线1：y=kx-，5与直线2x+3y—6=0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角

的取值范围是.

［解析］•••直线1恒过定点(0,一乖).

作出两直线的图象，如图所示，

从图中看出，直线1的倾斜角的取值范围应为停，y).

9.(2015•日照一中月考)设直线1的方程为(a+l)x+y+2-a=0(aGR).

⑴若/在两坐标轴上截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数a的取值范围.

［解］(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零.

Aa=2,方程即为3x+y=0.

当直线不过原点时，山截距存在且均不为0,

a—2

/.7-r=Q—2,即a+l=l,

a十1

/.a=0,方程即为x+y+2=0.

因此直线1的方程为3叶尸0或x+y+2=0.

(2)将1的方程化为.r=—(a+l)x+a—2,

-(叶1)>0,-(3+1)=0,

或

方一2W0a—2W0.

；・aW—1.

综上可知a的取值范围是aW—1.

10.过点A(l,4)引一条直线1,它与x轴，y轴的正半轴交点分别为(a,0)和(0,b),

当a+b最小时，求直线1的方程.

［解］法一由题意，设直线1：y-4=k(x-l),k<0,

则a=l—b=4—k..・.a+b=5+(—/―k)25+4=9.当且仅当k=—2时，取“=".

故得1的方程为y=-2x+6.

法二设1：：+、=l(a>0,b>0),

山于1经过点A(l,4),

1.4

ab

.•・a+b=(a+b)•(，+3=5+粤+，29,

bjba

当且仅当自2时，即b=2a时，取“=”即a=3,b=6.

ba

xv

...所求直线1的方程为W+!=l,即y=-2x+6.

6b

［B级能力提升练］

1.设A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且!PA=|PB|,若直线PA的方程为x

—y+l=0,则直线PB的方程为()

A.2x+y-7=0B.x+y-5=0

C.2y—x—4=0D.2x—y—1=0

［解析］由条件得点A的坐标为(-1,0),点P的坐标为(2,3),因为|PA|=|PB|,根

据对称性可知，点B的坐标为(5,0),从而直线PB的方程为*=口，整理得x+y-5

=0.

［答案］B

2.如图8-1-3所示，点A、B在函数y=ta〃(?x—三)的图象上，则直线AB的方程为

图8-1-3

［解析］由图象知A(2,0),B(3,1),

v~~1Y-3

由两点式得直线的方程为L=E，整理得x—y—2=0.

［答案］x-y-2=0

3.(2015•青岛调研)设直线1的方程为(a+l)x+y-2—a=0(alR).

(1)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程；

(2)若卧一1,直线，与x、y轴分别交于必/V.两点，0为坐标原点，求面积取最

小值忖，直线/的方程.

［解］(1)①当直线,经过坐标原点时，该直线在坐标轴上的截距均为0,此时。+2=0,

因此直线，的方程为x-7=0.

②当直线/不经过坐标原点，则aW—2且aW—1.

w+2

依题意，［=a+2,解得a=0.

a十1

此时直线/的方程为x+y—2=0.

综上，直线/的方程为x一尸0或x+y—2=0.

a+2

⑵易求J0,Mo,2+力，

a+T

次＞一1,

<a+2[(a+1)+1了

所以殳〃仙=5(2+a)•

a+1a+1

J.(a+1)+++22

2

当且仅当a+l=*，即a=。时,等号成立.

故所求直线1的方程为x+y-2=0.

第二节两条直线的位置关系

［考纲传真］

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两

条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直

线间的距离.

固基础・自主落实I理教材双基自测

1.两条直线平行与垂直

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线L、12,若其斜率分别为kl,kz,则有于〃:120k尸k"

②当直线L、12不重合且斜率都不存在时，

(2)两条直线垂直：

①如果两条直线L、k的斜率存在，设为k>k2,则有1」120Kl•k2=—1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时.，1,1b.

2.两条直线的交点

直线L：Aix+Biy+Ci=O,L：Aax+Bay+Cj=O,贝ijL与k的交点坐标就是方程组

Aix+Biy+C=O,

的解.

AM+BW+a=o

3.距离

Pi(xi,yi),P2(x2,我)两点之间的距离P1P21（X2~~xi）*+（y2~~yi）'

lAx（）+Byo+C|

点Po(x,yo)到直线1：Ax+By+C=O的距离

o、居+B?

4ICi-C|

平行线Ax+By+Ci=O与Ax+By+C2=0间的距离d=r—;-=2r

A/A2+B-

L(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)当直线L和L斜率都存在时，一定有ki=k2=L〃L()

(2)如果两条直线L与12垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

|kxo+b

⑷点P(xo,yo)到直线y=kx+b的距离为)

［解析］(1)中，L〃b,或L与k重合，不正确.(2)中，可能•条直线的斜率不存在,

|kxo—yo+b|

另一直线的斜率为0,故错误.显然(3)正确.(4)中的距离为不正确.

y/l+k'

［答案］⑴x⑵X⑶V(4)X

2.(教材改编)过点(1,0)且与直线x—2y—2=0平行的直线方程是()

A.X—2y—1=0B.x-2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x+2y-l=0

［解析］设所求直线为x—2y+c=0(cW—2),

由点(1,0)在直线上，则c=—1,

•••所求直线的方程为x-2y-l=0.

［答案］A

3.若直线x—2y+5=0与直线2x+my—6=0互相垂直，则实数m=

［解析］•••直线x—2y+5=0与2x+my-6=0互相垂直,

••1.

［答案］1

4.(2015•聊城质检)过点A(l,2)且与原点距离最大的直线方程是一

［解析］由题意，所求直线与0A垂直，