湘教版八年级数学下册13直角三角形全等的判定教案

第1章直角三角形

1.3直角三角形全等的判定

■素材一新课导入设计

口情景导入0置疑导入口归纳导入0复习导入口类比导入

□悬念激趣

小置疑导入这一章我们主要学习直角三角形，那么结合所学三角形全等的知识，我们

针对两个直角三角形，能否对其全等进行探究学习呢？

问题1：判定两个直角三角形全等已经有哪些方法？(学生自己总结回答)

问题2：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？你能想办法解决这个问

题吗？

［说明与建议］说明：本导入先复习旧知识，再从现在的直角三角形的学习中结合全等知

识提出疑问，通过实践操作去发现证明直角三角形全等的方法.在教学中应用了动手与动脑

相结合的方法.建议：教学时，可先用试验，利用叠合方法去探索说明两个直角三角形全等，

再从逻辑上进行证明.

0复习导入1.判定两个三角形全等的方法有：SAS.ASA,AAS.SSS.

2.如图1一3—1，已知ABJ_BE于点B，DE_LBE于点E.

图1一3一1

(1)若NA=ND，AB=DE，则AABC与Z\DEF.全等.，根据是ASA:

(2)若/A=/D，BC=EF，则aABC与ADEF-金篷一，根据是A4S:

(3)若AB=DE，BC=EF，则4ABC与△DEF^，根据是SAS:

(4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则4ABC与Z\DEF一全等.，根据是SSS.

3•我们知道：满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个

直角三角形(即当这个相等的角是直角时)是否全等呢？如上图，已知ABJ_BE于点B，DEJ.

BE于点E.若AB=DE-AC=DF，则/?/AABC与/?zADEF是否全等呢？现在我们就来研究

这个问题.(引入新课)

［说明与建议］说明：在复习巩固原有知识的基础上，进一步探究直角三角形全等的判定

方法，以培养学生分析问题、解决问题的能力.建议：先以提问的形式让学生总结前面学过

的判定三角形全等的方法，随后引入直角三角形全等的判定.

■素材二教材母题挖掘

O教材母题——教材第21页习题1.3A组第2题

如图1―3—2，D为BC的中点，DE_LAB于点E，DF±AC于点F＞且DE=DF.试问：

AB与AC有什么关系？

图1一3一2

【模型建立】

几何证明中遇到复杂问题常采用“倒推法”，即从要求证的结论出发，寻找结论成立的

条件一，当条件一不具备时，再去寻找使条件一成立的条件二，以此类推，直到要寻找的条

件变为已知条件，问题即可解决.注意解答过程的顺序与思路分析的顺序相反.

【变式变形】

1•如图1-3—3，已知AB=AC，口为BC上一点，DE_LAB于点E，DF_LAC于点F，

且DE=DF.求证：D是BC的中点.

图1一3一3

证明：连接AD.VDE=DF，AD=AD，，心△ADEWRf/XADF.NEAD=NFAD.又

;AB=AC，,D是BC的中点.

2•(寻找一个等量关系后再利用““力”证明)如图1-3-4，AB=AD，ZABC=ZADC

=90°，EF过点C，BE1EF于点E，DF±EF于点F，BE=DF.求证：??rABCE^/?fADCF.

图1—3—4图1—3一5

证明：连接BD.：AB=AD，,NABD=NADB.：NABC=NADC，

AZCBD=ZCDB，；.BC=DC.VBE1EF，DF1EF，二NE=/F=90°.

在/?rABCE和/?rADCF中，BC=DC，BE=DF，二四ZXBCE丝R/Z\DCF(HL).

3.(递进为两次全等三角形的运用)如图1—3—6，在4ABC中，AD平分NBAC，DE

1AB，DF1AC'垂足分别为E，F，且BD=CD.求证：BE=CF.

图1—3一6

证明：VAD平分NBAC，DE±AB，DF±AC，，/EAD=/FAD，NAED=/AFD=

90°.：AD=AD'.•.△AED^AAFD'.\AE=AF，DE=DF.：BD=CD，，用△BEDgRf

△CFD(WL)>.•.BE=CF.

材三考情考向分析

［命题角度1］寻找证明全等所需的条件

在三角形全等的证明中一般需要三组对应相等的条件，而在一对直角三角形中，只需两

个边相等的等量条件，不需要角相等，值得注意的是，在边相等中一对必定是斜边相等，而

另一对直角边相等则可以自由选择.

例［株洲中考］如图1—3—7，已知AC±BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使

△ABPg^CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是答案不唯一，如PB=PD或AB=DC

或NA=/C等.

图1一3一7

［命题角度2］直接利用证明三角形全等，进而证明角或边相等

在利用“HL”证明三角形全等的过程中，我们要注意，前提一定要在两个直角三角形中，

还要注意是两对等量关系，即一对是直角边相等，另一对是斜边相等，这是必须的.一般情

况下，证明直角三角形全等的目的在于证明三角形的对应边或对应角相等.

例2［雁塔区校级模拟］已知：如图1-3-8-ZA=ZD=90°，AC=BD.求证：OB=

oc.

图1-3-8

证明：在/?fAABC和/?rADCB中，AC=BD，BC=CB，

ABC丝阳△DCB(4L)，

；.ZOCB=ZOBC，/.OB=OC.

■素材四教材习题答案

P20练习

1•下面说法是否正确？为什么？

(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(2)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

解：(1)不正确.理由：因为两个三角形的大小可能不相等.

(2)正确.理由：根据“SAS”可判定两个三角形全等.

2•如图，/D4B和/BCD都是直角，AO=8C.判断△48。和△COB是否全等，并说明

理由.

解：△ABQ和△CQB全等.理由如下：

,?ZDAB和NBGD都是直角，

，/XABD和△COB都是直角三角形.

又・；AD=BC，BD=DB，

，RtAABD^RtACDB(HL).

P21习题1.3A组

I•如图，AB=AD，CBLAB于点B，CDJ_A。于点D求证：Z1=Z2.

证明：'：CBLAB，CDLAD，

：.ZB=ZD=90°.

AC=AC，

{AB=AD，

，Rt/\ABC^Rt/\ADC，,N1=Z2.

2.如图，。为8c的中点，DE±AB于点E，_LAC于点F-且OE=Z)F.试问：AB与

AC有什么关系？

解：AB=4C.理由如下：

VDE±AB，DFA.AC，

；.NBED=NCFD=90。.

(BD=CD，

在RlABED和RtACFD中，＜

[DE=DF，

.".RtABED^RtACfD，

：.ZB=ZC.：.AB=AC.

3•如图，点C为AO的中点，过点C的线段BE_LA£＞，且AB=QE.

求证：AB//ED.

证明：'：BE±AD'

，ZACB=ZDCE=90°.

...△ACB和△OCE都是直角三角形.

.•.点C为AD的中点，

：.AC^CD.

在RtAACB和RtADCf中，

"：AC=CD，AB=DE，

ARtAACB^RtADC£(HL)，

：.AB//DE.

4•如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边为a，斜边为2a

作法：⑴作ZMCN=90。；(2)在CN上截取CB，使CB=a；(3)以点B为圆心，以2a为

半径画弧，交CM于点A，连接AB.

则如图的△ABC为所求作的直角三角形.

P21B组

5•求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形.

证明：如图，BQ，CE分别是AABC的边AC'AB上的高，且BD=CE.

在RtZ^BOC和Rt△CEB中，

*：BD=CE，BC=CB，

RtABDC^RtAC£B(HL).

：.ZBCD=ZCBE，

：.AB=AC＞即△ABC是等腰三角形.

6.如图，BDLAD于点D'AC1BC于点C，且AC=BD求证：AD=BC.

证明：连接AB.

\'BD±AD于点DAC±BC于点C，

和△BC4都是直角三角形.

在RtABCA和RtAADB中，

：.AC=-BD，AB=BA，

，RtABCARtA/lDB(HL).

：.AD=BC.

■素材五图书增值练习

专题一直角三角形全等的判定

1.如图，已知AB=AC,ADLBC于点D,AD=AE,AB平分NDAE交DE于点F.则图中的全等三

角形有()

A.3对B.4对C.5对D.6对

2.下列命题正确的个数是()

(1)两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)两边和其中一边的对角对应相等

的两个三角形一定不全等；(3)斜边和斜边上的中线对应相等的两直角三角形全等(4)

两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等；(5)两直角边对应相等的两个直角三角形

全等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，四边形ABCD是正方形，CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等于.

4.如图，在房间内，有一梯子MC斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，

此时梯子的倾斜角/ACM是75。，如果梯子底端C不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶

端距地面的距离NB为b米，梯子的倾斜角NBCN为45°,这间房子的宽AB是.

5.已知：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,分别以AB、AC为边在AABC的外侧作

等边aABE和等边4ACD,DE与AB交于F,

求证：EF=FD.

状元笔记

【知识要点】

直角三角形全等的判定：直角三角形中，有一斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等.

【温馨提示】

1.直角三角形全等的判定方法一共有(1)SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS；(5)HL.

2.直角三角形全等的前提条件是必须是直角三角形.

【方法技巧】

1.要善于找出直角三角形的全等的二个条件；

2.有直角三角形时，证明边或角相等要考虑能否运用HL定理进行证明.

3.证明三角形全等缺少条件时，要考虑是否可以运用HL定理进行证明.

参考答案：

1.C解析：Z\ABD丝ZSACD,AABD^AACD,AABE^AABD,AAEF^AADF,AEBF^ADBF,

共5对.

2.B解析：(4)、(5)正确，故选B.

3.55。解析：作NFLBC于F.则在直角△BEC和直角△FMN中，ZB=ZNFM=90°,

在Rt^BEC和RtZsFMN中，\，.•.△BEC^AFMNAZMNF=ZMCE=35°

BC=FN

AZANM=90°-ZMNF=55°

4.a解析：过N点作MA垂线，垂足点D,连接NM.由题意得AB=ND,ACNM为等边三角形

(180-45-75=60°,梯子长度相同)，可得MN=MC,则可证AMND与aCMA,可证ND=MA,故AB=MA=a.

5.证明：过E作EG_LAB于G,如图，

VAABE为等边三角形，

.,.BG=1AB,=60°，AE=AB,

2

；RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,

.•.BC=1AB,

2

；.AG=BC,

在RtAEAG和RtAABC中

[AE=AB,

lAG=BC，

ARtAEAG^RtAABC(HL),

.,.EG=AC,

VADAC为等边三角形，

；.AC=AD,ZDAC=60°,

.•.EG=AD,ZDAF=300+60°=90°,

在RtAEFG和RtADFA中

'EG=DA

<NEFG=/DFA，

ZEGF=ZDAF

.,.△EFG^ADFA,

/.EF=FD.

■素材六数学素养提升

“HL”判定及应用

判定两个直角三角形全等，除一般三角形全等的判定方法之外，还有自己特殊的方法一

-“HL”，即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.下面通过例题谈谈“1IL”

在证明两个直角三角形全等中的应用.

一、用于证明角相等

例1如图1,己知AD是BE垂直平分线，且AB=DE,求证：ZB=ZE.

分析：要证明NB=NE,只要证明它们所在的两个RtaABC和Rt^DEC全等即可，而AB=DE,

BC=EC恰好符合“HL”的条件.

证明：因为AD是BE垂直平分线，所以BC=EC,ZACB=ZDCE=90°,所以和ADEC都是

直角三角形，又AB=DE,所以RtaABC丝Rt^DEC(HL),所以NB=/E.

点评：此题通过利用“HL”证明两直角三角形全等，得到两角相等，虽然证明两直角三角形

全等的方法很多，但一般首选“HL”.

二、用于证明线段相等

例2如图2,已知B、F、C、E在同一条直线上，AB±BC,DEJ_EF,且AC=DF,BF=EC,求证：

AB=DE.

分析：要证明AB=DE,只要证明它们所在的两个Rt^ABC和

□△DEF全等，题中已有斜边相等，只需再推出一直角边相等即可，

而BF=EC,易得BC=EF.

证明：由BF=EC,得BF+FC=EC+FC,即BC=EF.因为AB_L

BC,DE1EF,所以AABC和aDEF都是直角三角形，又AC=DF,所以RtZSABC丝RtADEF(HL),

所以AB=DE.

点评：在两个直角三角形中，若已知斜边相等，往往考虑用“HL”判定它们全等.

三、用于证明线段垂直

例3如图3,AC1BD,AC=DC,BC=EC,求证：DE±AB.

分析：要证明DELAB,只要证NB+ND=90°,由已知得/A+

ZB=90°,只要证ND=NA,因此只要证明RtZsABC和Rt^DCE,

而已知AC=DC,BC=EC,恰好符合“HL”的条件.

证明：因为ACXBD,所以/ACB=ZDCE=90°,所以/A+NB=90