14数学全国教师13(理)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十三)第十三单元立体几何初步(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案:A2.如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为A.3∶2B.3∶1C.2∶1D.2∶1解析:设球的半径为r,则S圆柱∶S球=(2πr2+(2r)·2πr)∶4πr2=3∶2.答案:A3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥β B.a⊂α,a⊥βC.a⊂α,b⊂β,a⊥b D.a⊂α,b⊥α,b∥β解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.答案:B4.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内运动时,那么所有的动点CA.不共面B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A、B如何移动都共面解析:根据平行平面的性质,不论A、B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.答案:D5.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是解析:依次还原几何体,可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥,摆放的位置不同而已,而D和它们表示的不是同一个三棱锥.答案:D6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为A.12 BC.2 D.4解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=12×1×2×答案:B7.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F是AB的三等分点,G、H是CD的三等分点,M、N分别是BC、EH的中点,则四棱锥A1—FMGN的侧视图为解析:侧视图即为光线自物体的左侧向右侧投影所得的投影图,点A1、F、M、N的投影分别为点D1、G、C、H,故该物体的侧视图为选项C所示.答案:C8.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则A.a不和b垂直,但可能a∥b B.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥b D.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D9.设有一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.4+π2 B.4+C.4+5π2 D解析:该三视图的实物图有三部分组成,上半部分为底面半径为1高为2的圆柱,下半部分由底面半径为1高为1的圆柱的一半及边长为2、2、1的长方体组合而成,故其体积为4+5π答案:C10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.πa2 B.73πa2 C.113πa2 D.5π解析:由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示.在Rt△AO1O中,AO1=23×3a2=3a3OA2=R2=(3a3)2+(a2)2S球=4πR2=4π×7a212答案:B11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是A.(1,+∞) B.[1,2) C.(2,+∞) D.[2,4]解析:如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以a2>1,即a>2.答案:C12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四点不可能共面C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.一个棱台被平行于底面的平面所截,若上底底面面积、截面面积与下底底面面积之比为4∶9∶16,则此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为.

解析:根据还台于锥的办法可得,此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为1∶1.答案:1∶114.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有(填序号).

解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.答案:③15.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论:①PR与BQ是异面直线;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为2的等边三角形.以上结论中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

解析:据图可知③④正确.答案:③④16.如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB且AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,则四棱锥D—ABCE的外接球的体积为.

解析:因为平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形,所以四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D—ABCE的外接球的球心,在△ABC中,AB=7,BC=32,AC=5,∠ABC=π4,由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径为ACsin∠ABC=5sin∠ABC=52答案:1252三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,AB=2,点D1、D分别是棱B1C1、BC的中点.(1)求证:A1D1⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面CA1D1.解析:(1)由已知得AA1⊥平面A1B1C1,∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1,又A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,∴A1D1⊥平面BB1C1C,5分(2)∵D1、D分别是棱B1C1、BC的中点,∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面AB1D.又ADD1A1为矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面AB1D.∵AD∩DB1=D,∴平面CA1D1∥平面ADB1.又AB1⊂平面AB1D,∴AB1∥平面CA1D1.10分18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P—EFG的体积.解析:(1)∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵ABCD为正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=12PD=1,EF=12CD=1,∴S△PEF=12EF×PF=∵GC=12∴VP—EFG=VG—PEF=13S△PEF·GC=13×12×1=119.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解析:(1)∵多面体ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B⊂平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.以下证明之:易知EF∥C1D,且EF=12C1D,设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=12C1所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE,OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小题满分12分)一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在边AD上是否存在一点P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接DB.可知B,N,D共线,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)当FG=GD时,在边AD上存在一点P,使得GP∥平面FMC,此时A,P重合.证明如下:取DC中点S,连接AS,GS,GA.因为G是DF的中点,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小题满分12分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A'—BCDE.(1)在棱A'B上找一点F,使EF∥平面A'CD;(2)求四棱锥A'—BCDE体积的最大值.解析:(1)F为棱A'B的中点.证明如下:取A'C的中点G,连结DG,EF,GF,则由中位线定理得DE∥BC,DE=12BC,且GF∥BC,GF=1所以DE∥GF,DE=GF,从而四边形DEFG是平行四边形,EF∥DG.又EF⊄平面A'CD,DG⊂平面A'CD,故F为棱A'B的中点时,EF∥平面A'CD.6分(2)在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H,DE⊥A'D,DE⊥又DE∩CD=D,∴A'H⊥底面BCDE,即A'H就是四棱锥A'—BCDE的高.由A'H≤AD知,点H和D重合时,四棱锥A'—BCDE的体积取最大值.此时V四棱锥A'—BCDE=13S梯形BCDE·AD=13×12(a+2a)a·a=1故四棱锥A'—BCDE体积的最大值为12a3.1222.(本小题满分12分)一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.(1)求证:GH∥平面ACF;(2)当平面ACE⊥平面ACF时,求DE的长.解析:(1)如图,连结AC.在△ACE中,∵G,H分别为AE,CE中点,∴GH∥A