几何与代数课程知识点汇总

E-E-第第PAGE9NUMPAGES9线性代数课程知识点汇总1、行列式nn2n项代数式的性质Aij和aij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素对应的代数式的和为③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素对应的代数式的和为A式和代数式的关系：M(1)ij A(1)ij nDDD1D1

2DD按顺时针或逆时针旋转90D

2D D以主对角线翻转后（转置），D3D3DDD4D4D行列式的重要②、副对角行列式：副对角线上元素的乘积

③、上、下三角行列式（

◣）：◤◢：副对角线上元素的乘积

n( ⑤、 斯展开式：AOACAB、 A A(1)mnA B B⑦、特征值（见下面nnAEAn(1)kSnkSknA0

kAAAx0rAn02、矩阵AnA0（是非奇异矩阵rA)n（是满秩矩阵A的行（列）Ax0bRnAxbAEAAATAA的行（列）RnARnnAAA*A*A

AE无条件恒

(A1)*(A*

(A1)T(AT

(A*)T(AT(AB)TBT

(AB)*B*

(AB)1B1AB①、若A

AAsAA1A2As1 1A AA1

A1 sAO O②、 B B1；（主对角分块 A

B1③、BO

O；（副对角分块 AC

A1CB1④、 B

；（ 斯 AO

O⑤、 B

B1；（ 斯 3、矩阵的初等变换与线性方程组一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为唯一确定的标准形：F O AABrA)r(B)行最简形矩阵（最简行阶梯矩阵0

AB0初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换r若AE)(E,XAXA1①、对矩阵ABAEBA1BAB)c(EA1BrnnAxb，若Ab)(ExAxA1b②、

AAA nE(i,j)E(i,j)1E(i,j

E(i(k))E(i(k))1

1E(i(k

1

(k

E(ij(k)),E(ij(k))1E(ij(k)) k

k(k0) 1 1 ①、0rAmn)min(mn)rAT)rAABrA)r(BP、QrA)r(PA)rAQ)r(PAQ；（乘以可逆矩阵不影响矩阵的秩max(rAr(B))rAB)rAr(BrAB)rAr(B)rAB)min(rAr(BAmnBnsAB0，则B的列AX0的解向量（转置运算后的结论）；rA)r(B)n；ABnrAB)rAr(Bn①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律1ac②、型如01b 001 nn(ab)nC0anC1an1b1CmanmbmCn1a1bn1CnbnCmambnm 注：Ⅰ、(ab)nn1Ⅱ、Cmn(n1)(nm1)

C0Cnn m!(n nCm

CmCm

Cr

rCrnCr1

r0 r(A)rA*00

r(A)n1r(A)nAA

(AXX,A*

AA1A*XAA

X)A*

AA1

A关于A矩阵的秩的描述rA)nAn0n1rAnAnrAnAnAxbAmnmAxbmnAxbnAxb①、对增广矩阵B进行初等行变换（且只使用初等行变换nmna11x1a12x2a1nxnaxaxax①、21 22 2n am1x1am2x2anmxn

a1nx1b1②、

a

b

（Amnmn个未知数 2n

2

2Ax a

b m

mnx1

mm

b1x b③、

a

2（

2

x bn n④、a1x1a2x2anxn（线性表出rA)rAn（n为未知数的个数或维数4、向量组的线性相关性mnA1,2,,mnmA(1,2,,m)1T1TmnBTT,TmnB2

T m①、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组

Axb是否有解

AXB是否有解 AmnBlnAx0Bx0r(ATA)r(A)n①、线性相 0②、,线性相 ,坐标成比例或共线（平行③、,线性相关,共面若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关（向量的个数加加减减，二者为对偶rAnr个分量（坐标），nBABA也线性相关；（向量组的维数加加减减）A（r）B（s）Ars；ABrA)r(B)；BAAXBr(A)r(A,AB等价rA)r(B)rArA~BPA

（P可逆Ax0Bx0cA~BAQ

（Q可逆③、矩阵等价：A~BPAQ （P、Q可逆AmnBlnABABABAx0Bx0AB的任何对应的列向量组均具有相同的线性AAmsBsnCmn①、CAB②、CBA为系数矩阵（转置Bx0ABx0的解，可以直接作为定理使用，而无需证明ABx0只有零解Bx0Bx

有非零解

ABx0Bnrb1b2,brAnsa1a2,as(b1b2,bra1a2,as)K（BAK）KsrAB组线性无关r(K)r；（BK必要性：rr(B)rAKr(Kr(K)r,r(K)r；充分性：反证法）rsK为方阵，方法亦然；Amn，存在QnmAQ

rA)m、Q

AmnPnmPA1,2,,s

rA)nP0k1k2,ksk11k22kss0成立（定义x1x x(,,,)2

Ax01

xsr(1,2,,s)smnArnAx0Sr(S)nr若*为Axb的一个解，, 为Ax0的一个基础解系，则*,, 线性无关1 1 5、相似矩阵和二次型正交矩阵ATAEA1AT（定义），i①、正交阵A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTi

i(i,j1,2,n)iAA1ATA1ABAB注：求解正交阵时，千万记正交化和单位化(a1a2arb1a1b

[b1,a2]b 1 1b

[b1,ar]b[b2,ar

[br1,ar] [b,b]1[b,b]

[b,

]r1 2

r1rAB等价ABPAQBP、