2021年丰台高三二模数学试题

心有多大，舞台就有多大年数

学

2021.04本试卷满分共150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前考生务必先将答题卡的学校级级姓名考证号用黑色字迹签字笔填写清，并认真核对条形码上的准考证号姓名，在题卡的“条形码粘贴区”贴好形码。2.本次考试所有答题均在答题上完成。选择题必须使用2铅笔以正确填涂方式将各题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔写，要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相答题区内作答出答题区域书写的答案无效在试卷草稿上答题无效。4.请保持答题卡卡面清洁，不要订、不要折叠、不要破损。分（

共分）一、单项选择:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。10小题，每小题4分，共40分.（1在复平面内，复数

i

对应的点位于（）第一象限（）第三象限

（）第二象限（）第四象限（2下列函数中，在区间

(

上单调递增的是（）)

（）y

（）

（）

（）知向量ab)，若a

b

，则（）

（）

12（）

12

（）4（）在平面直角坐标系

xOy

中，角

以Ox

为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为2P,y)，30（A（）

23

（B（）

23

心有多大，舞台就有多大（）知

是三个不同的平面，b

是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）若

,

，则

（）若

a

，则‖b（）若

a

b

，则‖b

（）若

a

a

，则

（）“是直线x与线相互垂直”的（）充分而不必要条件（）充分必要条件

（）必要而不充分条件（）既不充分也不必要条件（）知双曲线

22

2的渐近线与圆x

相切，则（）

（）（）

33

（）

13（）函数log(22)的象向下平移单位长度，再向右平移个位长度得到函数(x)的图象，则(（）log(2x（）log

（）x（）logx（）中学举行“十八而志,青万岁”成人礼，现在需要从个言类节目和6个唱类节目中各选个节目进行展演，则语言类节目A和唱类节目至有一个被选中的不同选法种数是（）（）60（）如，半椭

（）45（）22x2x与半椭圆0)组成的曲线称为“果圆”，其中2b22,b

．AA1

和B,B1

分别是“果圆”与x轴

y

轴的交点．给出下列三个结论：①

c2b

；②若|AAB2

，则:b:；③若“果圆”右侧部分上存在点

P

，使得PA12

，则

152a2

.其中，所有正确结论的序号是（）①②（）②③

（）①③（）①②③

第二部分

心有多大，舞台就有多大）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（）函数

fx)

的值域为．（）够说明“若

,,

均为正数，则

bbaa

”是假命题的一组整数,的依为_____（）知点

P(x,y)0

为抛物线:x

上的点，且点

到抛物线C焦点的距离为，则

||0

_____．（）赵爽是我国古代数家，大约在公元222年他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．类比“赵弦图”，可构造如图2所的图形它是由3全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△中，若2

，则AB_____图1

图2（）函数()是义域为R的奇数，满足f())2

，且当[0,时f()

sinx

，给出下列四个结论：①

f(；②是函数()的期；③函数f()在间(上单调递增；④函数g(x)f(x)x所有零点之和为其中，正确结论的序号是____

心有多大，舞台就有多大三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（小13分）已知数列

{}n

中，a

，且满足.（Ⅰ）数列

{}n

的通项公式；（Ⅱ）数列{}n

的前项

.从①a

a(N

)②

nN

)

2(N

)这个条件中选择一个充在上面的问题中并作.

心有多大，舞台就有多大（小14分）某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名将所得的满意度的分数分成7组：，[40,50)，，理得到如下频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数满意度的等级

[30,60)不满意

满意（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人估计其满意度的等级为“满意”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人以表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求的布列和数学期望

心有多大，舞台就有多大（小14分）如图多面体ABCDEF中形和都直角梯形ABCDABEFDEADCEDC

2

M

为棱

上一点

与棱

交于点

．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求证：

；（Ⅲ）若平面与面所成锐二面的余弦值为，求3FC

的值．（小15分）已知函数()2ax)lnx

12

ax(a．（Ⅰ）若a

，求f的小值；（Ⅱ）求函数f

的单调区间．

心有多大，舞台就有多大（小15分）已知椭圆C:y，点(1,0)的线l交圆C于点A,．（Ⅰ）当直线lx轴直时，求|

；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，为值？若存在，求点P的标及的；若不存在，说明理由．

（小14分）设数集S满任x,有

≥

心有多大，舞台就有多大②任意,有或x称数集具性质.（Ⅰ）断数集是具有性质P，说明理由；（Ⅱ）若数集B{,,}

且a(i,nii

具有性质.(当2021时，求证：a,1

,n

是等差数列；(当,1

,n

不是等差数列时，写出n的大值.（结论不需要证明（考生务必将答案答答题卡上，在试卷上作答无效）丰区

年三级二期合习二数学

答案2021.04一选题共10题每题4，40分题号

123456

7

8

9

10答案

BDAA

A

C

D

C

D二填题共5小题每题5，25分[2]14．13

121,2案不唯一）15①③④

13

n*n*n*n心有多大n*n*n*n三解题共6小题共85分）16.本小题13解：选①（Ⅰ）因为(n)n所以数{}以1首项2公比的等比数.所以.n所以数{}通项公式为an

n

(n).（Ⅱ）a

,所以数{}2项2比的等比数.n所以n

n

)

nn

………………13选②（Ⅰ）因为),nn所以数{}以1首项2公差的等差数.所以ann所以数{}通项公式为anN)n（Ⅱ）n

n

n

,所以S(1)

(1(11

n

)

2

…13选③（Ⅰ）因为2(n),n所以anN.nn两式相减得aNn

)

,即(nn).n又因为所以数{}常数.所以数{}通项公式为n

)

.（Ⅱ）an

n

,所以n

n

)

n

………………13分17.本小题14分）解据频率分布直方图可知，样本[60,100]的率为：(0.0300.0100.005)0.6所以从使用该软件的用户中随机取1其满意度的等级为“意”概率约.6.（Ⅱ）用频率估计概率，“”的概率为，“满”概率为X可能取值为P(X0)0()()2；5

.

心有多大，舞台就有多大3PX()()5

；39P(X2)(()05所以X的分布列为

12P

数学期望

412X252525

………14分（1814（Ⅰ）证明：因为

ADEEDC

2

，所以ADED因为ADDCDC平面所以EDABCD………………4（Ⅱ）证明：因为CDCDEF所以EF.因为AB，所以四边形是平行四边.所以AEBF.因为BCF，BCF所以AE平面因为AE面AEM平面AEM平面BCF，所以MN

．………………8（Ⅲ）解：EDADEDADDC所以图建立空间直角坐标系由ABDC可知DA(2,0,0)，(2,1,0)(0,2,0)(0,0,2)F(0,1,2)AE2,0,2)FC,FM设1)FC

zEFM则EMEF(0,1设m(,,z)是面向量，0,则即(10,

A

DNB

所以

因为n(1,0,0)平

的法向量，

心有多大，舞台就有多大所以

,

mmn(1+

2

2

2

.1.因为，得3所以平面

所成锐二面角的余弦值为时，3

FM．FC………………14（1915解数f()的义域若a

，则

f(x)2ln

12

，f')lnx令f'(，得，随的变化，f'()f(x况如下表所示xf'(f(

(0,1)-单调递减

1极小值f

(1,+单调递增所以f()小值为f(1)（Ⅱ）因为f')x)ln(，

12

．………6当a

时，

，令f'(，lnx以，f(x间递增，令f'(，得lnx以0x

，f(区上单调递减．当0

时，令f'(x)，得，随的变化，f'()

，f()变化情况如下表所示(0,)a(a,1)

1

(1,f'(x)

+

-

+f(

单调递增f()

单调递减f递增所以f(x)在)递增，在区(a,1)上调递减，在区间递增．当

时，因为f'(x)2(，当且仅当x，f'(所以f(x)在间递增．当a

时，令f'(x)0得或随x的变化，f'()f(x化情况如下表所示

(0,1)

1

aa(,f'(x)

+

0

-

0

+f(

单调递增f

单调递减f()

单调递增所以f(x)在上单调递增，在区(1,a)上调递减，在区间(递增．综上所述，当

时，f(x)单调增区间递减区间当0

时，f(x)单调增区间(0,a，递减区间(a,1)当

时，f(x)的调递增区间无单调递减区间；当

时，f(x)单调增区间，(a,递减区间(1,．

x112心有多大，舞台就有多大x112…………1520.本小题15分）解直线l斜不存在时，其方程为xxy由633

.所|AB

23

（Ⅱ）假设存在Pm,0)

，使PA为定.①当直线l设直线l

斜率存在时，的方程为：y(x

，AyB(y由(

得)xk2k则xx22

所以PAy))12x)y121(x)121

2

2

(1)(x1(x)121

2

2

12

2

()1

2k2)2112

(k2)(2)(k1)(3k22k2)k2k21

(3

2

2

2

若为常数，只需

3m252解得，此时3

5所以存在点(使3

2为定值9②当直线l与

轴垂直时，6不妨设((355646当点(,0)),)3952综上，存在点(,0)使PA值………15分3921.本小题14分）解为4所以数集有性质P……

心有多大，舞台就有多大（Ⅱ

a

a

，所以a

.所以，a.因为a(i,2020)ii所以.所以(i.i所以aB(i2,3,.i因为0a，所以a(i2,3,.i所以.因为，所以a(i.i所以a(i.i因为0a，所以.否则a(