【浙教版】九年级数学上册第一章二次函数专题复习三(含答案)

专题三二次函数与一元二次方程（不等式）的

关系M教材P30作业题第2题）用两种不同的方法求方程x2-2x-5=0的解（精确到0.1）.解：解法一：作出函数y=x2,y=2x+5的图象（图略），观察图象交点的横坐标可得方程的解为xi=—1.4,X2=3.4.解法二：作出函数y=x2—2x—5的图象（图略），观察图象与x轴交点的横坐标可得方程的解为 xi=—1.4,x2=3.4.解法三：用公式法解方程x2—2x—5=0得方程的解为xi=—1.4,x2=3.4.【思想方法】（1）令二次函数y=ax2+bx+c中的y=0；则原式变为一元二次方程ax2+bx+c=0,令一元二次不等式ax2+bx+c>0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax2+bx+c=0.（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标x1，x2（xyx2）即为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根（抛物线与x轴有一个交点，即方程有两个相同的根；抛物线与x轴没有交点，即方程无实数根）.一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集是x<x1或x>x2；一元二次不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集是x1<x<x2.（3）判别：b2—4ac>0?抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0?抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac<0?抛物线与x轴没有交点.，二次函数y=kx2—6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（D）A.k<3B.k<3且A.k<3B.k<3且k^OC.k<3D.k<3C.k<3D.k<3且k^On函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，那么关于x的方程ax2+bx+c—3=0的根的情况是(C)图1图1A.有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根C.有两个相等的实数根 D. 无实数根厘3设二次函数y=x2+bx+c,当x<1时，总有yA0,当1<x<3时，总有y<0,那么c的取值范围是(B)A.c=3 B.03C.1<c<3 D.c<3变形,若关于x变形,若关于x的一元二次方程(x—2)(x—3)=m有实数根X1*2,— - …人… … 1 …，一一且xi?x2,有下列结论：①xi=2,x2=3；②m>—4；③二次函数y=(x-xi)(x—x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中，正确结论的个数是(C)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】一元二次方程(x—2)(x—3)=m化为一般形式得x2-5x+6-m=0..••方程有两个不相等的实数根xi,x2,「.b2—4ac=(—5)2一1一，一心一，、—4(6—n)=4m+1>0,解得m>—4,故选项②正确；:一兀二次方程的实数根分别为x1，x2,「.x1+x2=5,x%=6—簿而选项①中x1=2,x2=3只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=(x—x[)(x—x2)+m=x2一(x1+x2)x+x[x2+m=x2—5x+(6—m+m=

2x—5x+6=(x—2)(x—3),令y=0,可得(x—2)(x—3)=0,解得x=2或3,••・抛物线与x轴的交点为(2,0)和(3,0),故选项③正确.综上所述，正确的结论有2个.A(mis若抛物线y=x2+bx+c与A(min),B(mVr6,n),则n=9.【解析】:抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,「•当*=—b时，y=0.且b2—4c=0,即b2=4c.又丁点A(m(n),B(mVr6,n),. .b.. b b「•点A,B关于直线x=—2对称A(—2—3，n)，及—2+3，n),b2b将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=(—2—3)+b(-2-3)+b2c=—7+c+94,2 , 1_.b=4c,..n=—4X4C+c+9=9.•二次函数y=ax2•二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图2所示，若|ax2+bx+c|=k(k？0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k>3图2k>3A.k<—3B.k>—3C. k<3D.【解析】先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k(k?0)有两个不相等的实数根时k的取值范围.根据题意得y=|ax2+bx+c|的图象如答图所示，所以若|ax2+bx+c|=k(k?0)有两个不相等的实数根,贝Uk>3.7如图7如图3,抛物线y=-2x2+g2x+2与x轴交于AB两点，与y轴交于C点.(1)求A,B,C三点的坐标；(2)证明：△ABC^直角三角形；(3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使AABPM直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明.. 12 2 .一、 一解：（1）抛物线y=—]x+S~x+2与x轴交于A,B两点,・••—2x2+（x+2=0,即x2—缶―4=0.解之得Xl=—^/2,X2=2^/2.・•点A,B的坐标为A（—，2,0）,B（2a/2,0）.

将*=0代入y=—2x2+*x+2,得C点的坐标为(。，2).(2)证明.力仁乖,BG=2镉，AB=3V2,•.AB=AC+BC则AACB=90,・.△AB0直角三角形;(3)当PC//x轴，即P点与C点是抛物线的对称点时/\ABPM直角三角形，:C点坐标为(0,2),设y=2,把y=2代入y=—gx2+*x+2得：-2x2+中x+2=2,・xi=0,x2=^J2.•.P点坐标为(啦，2).■若xi,X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两个根，则方程的两个根xi,x2和系数a,b,c有如下关系：xi+x2b c一b,X,-x2=J把它们称为一兀二次万程根与系数的关系定理b24c

—如果设二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象与x轴的两个交点为A>i,0),B(x2,0).b24c

—AB=|xi—x2| =弋(x[+x2)2—4x1x2=b2—4acJb2—4aca2 = |a|

参考以上定理和结论，解答下列问题：如图4,设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A(xi,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.(1)当△ABC^等腰直角三角形时，求b2—4ac的值;(2)当△ABC^等边三角形时，求b2—4ac的值.,过点C,过点C作CDLAB于点D,则AB=2CD;抛物线与x轴有两个不同的交点,「•b2—4ac>0,•.AB=[b•.AB=[b2—4ac址2—4ac「八4ac—b2b2—4ac又口FT=FT，Jb2—4acb2—4ac=2a ，・2 24ac="一：ac)

4:b2—4ac>0,