概率论与数理统计-第四版-第四章

第四章随机变量的数字特征1．（１）在下列句子中随机地取一个单词，X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布律并求E（X）．“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”．（２）在上述句子的３０个字母中随机地取一个字母，Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E（Y）．（３）一人掷骰子，如得６点则掷第２次，此时得分为６＋第二次得到的点数；否则得分为，且不能再掷，求得分X的分布律及E（X）．．所解８个单词，其中含２个字母，含（１）随机试验４个字母，含９个字母的各有一个单词，另有５个单词含３个字母，所X的分布律为X２３４９１８５８１８１８pk数学期望１８５８１１１５４E（X）＝２×＋３×＋４×＋９×．＝８８（２）随机试验字母组成，共有３０个，Y的可能值也是２，３，４，９．，其中Y＝２的有２个，S由各个Y＝３的有１５个，Y＝４的有４个，Y＝９的有９个，所Y的分布律为Y２３４９２３０１５３０４３０９３０pk２３０＋３×１５＋４×３０４３０９３０７３１５数学期望E（Y）＝２×（３）分布律为＋９×．＝X１２３４５７８９１０１１１２１６１６１６１６１６１３６１３６１３６１３６１３６１３６pk88概率论与数理E（X）＝１×６１＋２×１＋３×１＋４×１＋５×６１＋７×１＋８×１＋９×１３６６６６３６３６１＋１０×３６１３６１＋１２×＋１１×３６４９１２＝．2．某产品的次品率为０畅１，，如发现其中的次品数多于１，的次数，试求E（X）．（设诸产品是否为次品是相互独立的．），决定需要调整设备的概率．设抽Y～b（１０，０畅１）．记需调整设备一次的概率为p，则p＝P｛Y＞１｝＝１－P｛Y＝０｝－P｛Y＝１｝４次．每次随机地取１０行．X表示一天中调整设备解先求Y，则１０１１０９·０畅９·０畅１＝０畅２６３９．＝１－０畅９－又因各次，故X～b（４，０畅２６３９）．X的分布律为X０（１－p）１２３４pk４４p（１－p）３６p２（１－p）２４p３（１－p）p４于是E（X）＝１×４p（１－p）＋２×６p（１－p）＋３×４p（１－p）＋４×p３２２３４＝４p＝４×０畅２６３９＝１畅０５５６．X～b（n，p），则E（X）＝np．3．有３只球，４个盒子，盒子的１，２，３，４．入４个盒子中去．X表示其中至示第１号，第２号盒子是空的，第３个盒子至解法（i）由于每只球都有４种放法，由乘法原理共有４３只球都放在４号盒中的放１种，从而，随机地放X＝３表（），试求E（X）．＝６４种放法．其中３P｛X＝１．４｝＝６４又｛X＝３｝表示事“１，２号盒子都是空的，而３号盒子不空”．因１，２号盒子都空，球只能放３，４号两个盒子中，共有２３只３种放，球都放在４号盒子中，即３号盒子是空的，这不符合X＝３的要求需除去，故有３３｝＝２－１６４７．P｛X＝＝６４第四章随机变量的数字特征89３３２｝＝３－２６４１９６４同理可得因此P｛X＝P｛X＝，．＝＝３３１｝＝４－３６４３７６４４E（X）＝kP｛X＝k｝＝２５．钞１６k＝１注：P｛X＝１｝也可由１－（P｛X＝４｝＋P｛X＝３｝＋P｛X＝２｝）求得．解法（ii）Ai（i＝１，２，３，４）记事“第i个盒子是空盒”．｛X＝１｝表示事—“第一个盒子中至”，因此｛X＝１｝＝A１，故３—P｛X＝１｝＝P（A３４３７６４＝．１）＝１－P（A１）＝１－（因第一个盒子为空盒，３只球的每一只都只有３个盒子可，故P（A１）＝３（３／４）．）｛X＝２｝表示事“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至”，因—此｛X＝２｝＝A１A２．故—A—）＝P（AP｛X＝２｝＝P（A１２２A）P（A）１１＝（１－P（A２A１））P（A）１３３２＝１－３３１９＝．４６４（因在第一个盒子是空盒的条，第二个盒子也是空盒，则３只球都只有２个３２３盒子可类，故P（A２A１）＝．），—AP｛X＝３｝＝P（A１A２３）—＝P（A３A１A２）P（A２A１）P（A１）３３１２２３３３４７，６４＝１－＝P｛X＝４｝＝１－３７１９６４７－１，６４－＝６４６４４因此，E（X）＝钞kP｛