用特征方程求数列的通项

.z.-一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的.n1n+1n n1n+1n下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设a+t=c(a+t),则a=ca+(c-1)t，令(c-1)t=d，即t=d，当n+1nn+1nc-1ad=(a+d)cn-1将a=b代入并整理，得a=bcn+(d-b)cn-1-d故数列a=ca+d对应的特征方1nc-1.n+1n (二)、二阶线性递推数列a=pa+qa,n+1nn-1n+1nn+1nnn-1n+1nn-1n+1nnn-1n+1nn-1(s-t=plst=q (1)若方程组(※)有两组不同的实数解(s,t),(s,t),1122n+11n1n1n-1n+12n2n2n-1n+11nn+11n1n1n-1n+12n2n2n-1n+11nn2n12n+12n2212n+12n22121(a+ta)a+ta∵t1丰t2,由上两式①+②消去an+1可得()().s2n.112212(s=s (2)若方程组(※)有两组相等的解〈lt11=t22，易证此时t1=-s1，则n+11n1n1n-11n-11n-2(a)1211aaa-aaa-san1211这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比(差)数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组(※)消去t即得s2-ps-q=0，显然s、s就是方程12n+1nn-1n+1nn-1nnn-1nnn-112n112212n12112 n将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t，则 (1)若t士t，将t,t分别代入①式可得212记②的两根为t,t，2na+ta+cta+t(a+t)2n2122 (2)若t=t，将t=tn点，两边取倒数得-1c11(1)cn1111n分式线性递推数列a=的特征方程为x=ax+bnc.a+dcx+dn(1)c值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比(等差)数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，、例题12n+1nn一1n-aa3(a)a13aa3(a)a13n1n+12a+7n.n1n+12a+7n.nnn两式相除n+1nn1．可用特征方程解决递推数列的三类模型1n+1n⑵．齐次二阶线性递推关系：已知a=a,a=b,且a=pa+qa,12n+1nn一1nnn+1n+1n121212.z..z.-n121212nn+13n1nn12n+2n+1nn2.已知数列{a}满足a=3,n12n+2n+1nnn12n+2n+1nn3.已知数列{a}满足a=3,n12n+2n+1nn4.各项均为正数的数列{a}a=a,a=b，且对任意的m+n=p+q的正整数m，n，p，q，n12a+aa+a14都有=当a=2,b=5时，求通项an5:已知数列{a}满足a=2,a=2一1,n=N*,求通项a.n1nann12n+2n+1nnnn12n+2n+1nnnan12n+2n+1nnnn312323n223n312323n2232、解：作特征方程*2=4*-4由特征根方程得a=b=2故设a=(c+cn)2n一1,其中n1