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3.4弹性力学的平面问题

一般可以分为两类：一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。常见的平面应力问题有链传动中的链片（如图a）所示）、发动机中的连杆（如图b）所示）及内燃机的飞轮、轧机的机架等。平面应变问题水坝（如图c）所示）、受压管道（如图d）所示），以及滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊等。本章以此类问题为研究对象，进行有限元法分析。a）b）c）d）

弹性力学中的平面问题举例3.4.1平面应力问题是指所研究对象是等厚度薄板。它在z方向上的尺寸很小，外载荷方向沿板面方向，且沿z为均匀分布，因此可以认为板面上应力分量等于零，这种问题称为平面应力问题。1.平面应力问题的特点应力特征：由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：则，弹性力学的6个应力分量，只剩：进一步，由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有故得名平面应力问题2、平面应力问题物理方程物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：

用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵[D]则简化为：

只有三个应变分量需要考虑，所以几何方程简化为：3、平面应力问题几何方程4、平面应力问题平衡方程3.4.2平面应变问题几何特征：无限长等截面柱形体外力特征：面力和体力均平行于横截面且不沿长度变化的应变特征：应变仅是x，y的函数；由于对称性，w＝0

当物体在z轴方向的尺寸很长，只作用有平行于横截面且不沿长度方向变化的载荷，可认为，沿z轴方向的位移分量等于零，这种问题称为平面应变问题。2、平面应变问题物理方程将式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵[D]则为：

3、工程中的平面应变问题

工程中如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的。 3.4.3平面应力和平面应变问题比较基本变量平衡方程边界条件几何方程物理方程呢？对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用，而对于平面应变则采用，还可注意，在平面应力弹性矩阵中，若将E改换为，将改换为，就得出平面应变弹性矩阵。习题和思考题3.1弹性力学的基本假设是什么？3.2弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有何不同？3.3写出弹性力学中平面问题的几何方程、物理

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