江西省宜春市潭埠中学2022年高三数学理模拟试题含解析

江西省宜春市潭埠中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（）A．y=2 B．y=4﹣ C．y=log3（x+1） D．y=（x≥0）参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由图象过定点可排除C、D，由y＜4可排除A，可得答案．【解答】解：由于过（1，2）点，可排除C、D；由图象与直线y=4无限接近，但到达不了，即y＜4，而y=2，可无限大，知排除A，故选B．【点评】本题考查函数的解析式，逐个验证，排除法是解决问题的关键，属基础题．2.计算得

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.设函数，且其图像关于直线对称，则（

）A．的最小正周期为，且在上为增函数B．的最小正周期为，且在上为增函数C．的最小正周期为，且在上为减函数D．的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：C略4.的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在方向上的投影为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.将一张边长为6cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是

参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2：∵图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x，

又正四棱锥的正视图是正三角形，∴正四棱锥的斜高也为x，

由图1得x+=3，解得x=2，即正四棱锥的底面边长为2，

∴四棱锥的高为，∴四棱锥的体积V=×8×=。【思路点拨】设正四棱锥的底面边长为x，根据正四棱锥的正视图是正三角形，可得正四棱锥的斜高也为x，利用图1求得x，再求得四棱锥的高．代入棱锥的体积公式计算．6.已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（

）A.

-12

B.

-6

C.

6

D.

12参考答案：D因为，即，所以，即，选D.7.已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值(

)

A.2

B.3

C.

D.

参考答案：A9.已知函数，则直线的斜率为（

）A．1

B．

C．

D．﹣1参考答案：A略10.在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=（）A．96 B．64 C．72 D．48参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a2，a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根，且a2＜a8，由此求得a2=3，a8=24，进而得到q2=2，由此能求出a12．【解答】解：在公比大于1的等比数列{an}中，∵a3a7=72=，a2+a8=27，∴a2，a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根，且a2＜a8，解得a2=3，a8=24，∴，解得q2=2，∴=3×25=96．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=，其中，则的取值范围是___________.

参考答案：12.下列说法：①命题“”的否定是“”；②函数是幂函数，且在上为增函数，则；

③命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题；④函数在区间上单调递增；⑤“”是“”成立的充要条件。其中说法正确的序号是

。参考答案：①②④略13.若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．参考答案：8【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．14.函数的定义域为____。参考答案：略15.(必修4P21例题4改编)已知cos且－π＜α＜－，则cos＝________．参考答案：16.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________.

参考答案：17.已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1．记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.参考答案：（Ⅰ）设点，依题意得，即，化简整理得.

故点M的轨迹C的方程为

（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.依题意，可设直线的方程为由方程组

可得

①（1）当时，此时把代入轨迹C的方程，得.故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.（2）当时，方程①的判别式为.

②设直线与轴的交点为，则由，令，得.

③（ⅰ）若由②③解得，或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.（ⅱ）若或由②③解得，或.即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个公共点，与没有公共点.故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点.

（ⅲ）若由②③解得，或.即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.

综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点.19.

已知函数f(x)＝|x-a|，不等式f(x)≤3的解集为[-6，0]．

（1）求实数a的值；（2）若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，又f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．解得：a=-3；（5分）（2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，∴2m≤5．m≤

（10分）20.已知A、B、C是抛物线y2=2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC．（Ⅰ）若A（1，2），B（4，﹣4），求点C的坐标；（Ⅱ）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；K7：抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）由A（1，2）在抛物线上，求出p=2，设C（，t），则由kABkAC=﹣1，解得t=6，由此能求出C点坐标．（Ⅱ）设A（x0，y0），B（），C（），则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），从而直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），直线AE的方程为y=﹣（x﹣x0）+y0，代入抛物线方程，得D（，﹣），利用线段AD总被直线BC平分，能求出点A的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴p=2，设C（，t），则由AB⊥AC，得kABkAC=﹣1，∵A（1，2），B（4，﹣4），kABkAC=﹣1，∴kABkAC=×=﹣1，解得t=6，即C（9，6）．（Ⅱ）设A（x0，y0），B（），C（），则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），故直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），∴直线AE的方程为y=﹣（x﹣x0）+y0，代入抛物线方程y2=2px（p＞0），得点D的坐标为（，﹣），∵线段AD总被直线BC平分，∴，解得，∴点A的坐标A（）．21.（本小题满分12分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B。（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围。参考答案：22.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，A(2a，0)，B(a，0)，a为非零常数，动点P满足PA＝PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点Q(x1，y1)，R(x2，y2)满足＝λ，点S为R关于x轴的对称点．①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围；②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．参考答案：解（1）设点P坐标为(x，y)．由PA＝PB，得＝，平方整理，得x2＋y2＝2a2．所以曲线C的方程为x2＋y2＝2a2．（2）①＝(x1－2a，y1)，＝(x2－2a，y2)，因为＝λ，且，即因为Q，R在曲线C上，所以消去y1，y2，得x2＋λx1＝a(1＋λ)，…⑤由①，⑤得x1＝a，x2＝a．因为－a≤x1，x2≤a，所以－a≤a≤a，－a≤a≤a，且λ＞0解得3－2≤λ≤3＋2．又Q，R不重合，所以λ≠1．故λ的取值范围为[3－2，1）∪（1，3＋2]．②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：＝(x2－a，－y2)，＝(x1－a，y1)，要证明S，T，Q三点共线，只要证明∥，即(x2－a)y1－(x1－a)(－y2)＝0因为y2＝λy1．又只要(x2－a)y1＋λ(x1－a)y1＝0，若y1＝0，则y2＝0，成立，若y1≠0，只要x2＋λx1－a(1＋λ