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文档简介
江西省宜春市潭埠中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为()A.y=2 B.y=4﹣ C.y=log3(x+1) D.y=(x≥0)参考答案:B【考点】函数解析式的求解及常用方法.【专题】数形结合;函数的性质及应用.【分析】由图象过定点可排除C、D,由y<4可排除A,可得答案.【解答】解:由于过(1,2)点,可排除C、D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y<4,而y=2,可无限大,知排除A,故选B.【点评】本题考查函数的解析式,逐个验证,排除法是解决问题的关键,属基础题.2.计算得
(
)
A.
B.
C.
D.
参考答案:D3.设函数,且其图像关于直线对称,则(
)A.的最小正周期为,且在上为增函数B.的最小正周期为,且在上为增函数C.的最小正周期为,且在上为减函数D.的最小正周期为,且在上为减函数参考答案:C略4.的外接圆的圆心为O,半径为1,,且,则向量在方向上的投影为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C略5.将一张边长为6cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)模型,如图2放置.若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3),则正四棱锥的体积是
参考答案:A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2:∵图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长,设为x,
又正四棱锥的正视图是正三角形,∴正四棱锥的斜高也为x,
由图1得x+=3,解得x=2,即正四棱锥的底面边长为2,
∴四棱锥的高为,∴四棱锥的体积V=×8×=。【思路点拨】设正四棱锥的底面边长为x,根据正四棱锥的正视图是正三角形,可得正四棱锥的斜高也为x,利用图1求得x,再求得四棱锥的高.代入棱锥的体积公式计算.6.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=(
)A.
-12
B.
-6
C.
6
D.
12参考答案:D因为,即,所以,即,选D.7.已知直线与曲线在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D略8.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值(
)
A.2
B.3
C.
D.
参考答案:A9.已知函数,则直线的斜率为(
)A.1
B.
C.
D.﹣1参考答案:A略10.在公比大于1的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,则a12=()A.96 B.64 C.72 D.48参考答案:A【考点】等比数列的性质.【分析】由已知条件推导出a2,a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根,且a2<a8,由此求得a2=3,a8=24,进而得到q2=2,由此能求出a12.【解答】解:在公比大于1的等比数列{an}中,∵a3a7=72=,a2+a8=27,∴a2,a8是方程x2﹣27x+72=0的两个根,且a2<a8,解得a2=3,a8=24,∴,解得q2=2,∴=3×25=96.故选:A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点在以为圆心的劣弧上运动,若=,其中,则的取值范围是___________.
参考答案:12.下列说法:①命题“”的否定是“”;②函数是幂函数,且在上为增函数,则;
③命题“函数在处有极值,则”的否命题是真命题;④函数在区间上单调递增;⑤“”是“”成立的充要条件。其中说法正确的序号是
。参考答案:①②④略13.若双曲线的离心率为3,其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切,则m=.参考答案:8【考点】双曲线的简单性质.【分析】由于双曲线的离心率为3,得到双曲线的渐近线y=2x,渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切,可得圆心到渐近线的距离d=r,利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解:∵双曲线的离心率为3,∴c=3a,∴b=2a,取双曲线的渐近线y=2x.∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切,∴圆心(0,3)到渐近线的距离d=r,∴,∴m=8,故答案为:8.14.函数的定义域为____。参考答案:略15.(必修4P21例题4改编)已知cos且-π<α<-,则cos=________.参考答案:16.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的表面积为________________.
参考答案:17.已知函数,若函数h(x)=f(x)﹣mx﹣2有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是
.参考答案:(﹣∞,﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52:函数零点的判定定理.【分析】画出图象f(x)=转化为函数f(x)与y=mx﹣2有且仅有一个公共点,分类讨论,①当m=0时,y=2与f(x)有一个交点;②当y=mx+2与y=相切,结合导数求解即可,求解相切问题;③y=mx+2过(1,2﹣e)(0,2),动态变化得出此时的m的范围.【解答】解:∵f(x)=∴f(x)=∵函数h(x)=f(x)﹣mx﹣2有且仅有一个零点,∴f(x)与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过(0,2)点①当m=0时,y=2与f(x)有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点(x0,),m=﹣=﹣+2,x0>1x0=(舍去),x0=3∴m==③y=mx+2过(1,2﹣e),(0,2)m=﹣e当m≤﹣e时,f(x)与y=mx+2有一个公共点故答案为:(﹣∞,﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,点到点的距离比它到轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.参考答案:(Ⅰ)设点,依题意得,即,化简整理得.
故点M的轨迹C的方程为
(Ⅱ)在点M的轨迹C中,记,.依题意,可设直线的方程为由方程组
可得
①(1)当时,此时把代入轨迹C的方程,得.故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.(2)当时,方程①的判别式为.
②设直线与轴的交点为,则由,令,得.
③(ⅰ)若由②③解得,或.即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.(ⅱ)若或由②③解得,或.即当时,直线与只有一个公共点,与有一个公共点.当时,直线与有两个公共点,与没有公共点.故当时,直线与轨迹恰好有两个公共点.
(ⅲ)若由②③解得,或.即当时,直线与有两个公共点,与有一个公共点,故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.
综合(1)(2)可知,当时,直线与轨迹恰好有一个公共点;当时,直线与轨迹恰好有两个公共点;当时,直线与轨迹恰好有三个公共点.19.
已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-6,0].
(1)求实数a的值;(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:(1)由f(x)≤3,得|x﹣a|≤3,∴a﹣3≤x≤a+3,又f(x)≤3的解集为[﹣6,0].解得:a=-3;(5分)(2)∵f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥5.又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,∴2m≤5.m≤
(10分)20.已知A、B、C是抛物线y2=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.(Ⅰ)若A(1,2),B(4,﹣4),求点C的坐标;(Ⅱ)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.参考答案:【考点】KN:直线与抛物线的位置关系;K7:抛物线的标准方程.【分析】(Ⅰ)由A(1,2)在抛物线上,求出p=2,设C(,t),则由kABkAC=﹣1,解得t=6,由此能求出C点坐标.(Ⅱ)设A(x0,y0),B(),C(),则直线BC的方程为(y1+y2)(y+y0)=2p(x﹣2p﹣x0),从而直线BC恒过点E(x0+2p,﹣y0),直线AE的方程为y=﹣(x﹣x0)+y0,代入抛物线方程,得D(,﹣),利用线段AD总被直线BC平分,能求出点A的坐标.【解答】解:(Ⅰ)∵A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,∴p=2,设C(,t),则由AB⊥AC,得kABkAC=﹣1,∵A(1,2),B(4,﹣4),kABkAC=﹣1,∴kABkAC=×=﹣1,解得t=6,即C(9,6).(Ⅱ)设A(x0,y0),B(),C(),则直线BC的方程为(y1+y2)(y+y0)=2p(x﹣2p﹣x0),故直线BC恒过点E(x0+2p,﹣y0),∴直线AE的方程为y=﹣(x﹣x0)+y0,代入抛物线方程y2=2px(p>0),得点D的坐标为(,﹣),∵线段AD总被直线BC平分,∴,解得,∴点A的坐标A().21.(本小题满分12分)设不等式的解集为集合A,关于x的不等式的解集为集合B。(1)若,求实数a的取值范围;(2)若,求实数a的取值范围。参考答案:22.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,A(2a,0),B(a,0),a为非零常数,动点P满足PA=PB,记点P的轨迹曲线为C.(1)求曲线C的方程;(2)曲线C上不同两点Q(x1,y1),R(x2,y2)满足=λ,点S为R关于x轴的对称点.①试用λ表示x1,x2,并求λ的取值范围;②当λ变化时,x轴上是否存在定点T,使S,T,Q三点共线,证明你的结论.参考答案:解(1)设点P坐标为(x,y).由PA=PB,得=,平方整理,得x2+y2=2a2.所以曲线C的方程为x2+y2=2a2.(2)①=(x1-2a,y1),=(x2-2a,y2),因为=λ,且,即因为Q,R在曲线C上,所以消去y1,y2,得x2+λx1=a(1+λ),…⑤由①,⑤得x1=a,x2=a.因为-a≤x1,x2≤a,所以-a≤a≤a,-a≤a≤a,且λ>0解得3-2≤λ≤3+2.又Q,R不重合,所以λ≠1.故λ的取值范围为[3-2,1)∪(1,3+2].②存在符合题意的点T(a,0),证明如下:=(x2-a,-y2),=(x1-a,y1),要证明S,T,Q三点共线,只要证明∥,即(x2-a)y1-(x1-a)(-y2)=0因为y2=λy1.又只要(x2-a)y1+λ(x1-a)y1=0,若y1=0,则y2=0,成立,若y1≠0,只要x2+λx1-a(1+λ
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