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江西省宜春市桥东中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=()A.﹣2 B.1 C.0 D.2参考答案:D【考点】抽象函数及其应用.【分析】求得函数的周期为1,再利用当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),得到f(1)=﹣f(﹣1),当x<0时,f(x)=x3﹣1,得到f(﹣1)=﹣2,即可得出结论.【解答】解:∵当x>时,f(x+)=f(x﹣),∴当x>时,f(x+1)=f(x),即周期为1.∴f(6)=f(1),∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),∴f(1)=﹣f(﹣1),∵当x<0时,f(x)=x3﹣1,∴f(﹣1)=﹣2,∴f(1)=﹣f(﹣1)=2,∴f(6)=2.故选:D.2.平面向量与的夹角是,且||=1,||=2,如果=+,=﹣3,D是BC的中点,那么||=()A. B.2 C.3 D.6参考答案:A【考点】数量积表示两个向量的夹角.【专题】平面向量及应用.【分析】由已知,将所求用向量与表示,利用已知转化为求模以及数量积解答.【解答】解:由已知,=+,=﹣3,D是BC的中点,那么=()=(2)=;又平面向量与的夹角是,且||=1,||=2,所以()2==1+4﹣2×1×2×cos=3,所以||=;故选:A.【点评】本题考查了向量的加减运算和数量积的运算;属于基础题.3.等差数列的第四项等于(

)A.3

B.4

C.

D.参考答案:A4.若复数为纯虚数,其中则的值为A.1

B.

C.

D.2参考答案:A设其中则解得所以

5.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5

B.0.6 C.0.7 D.0.8参考答案:C

6.在中,“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:C7.已知复数,则的共轭复数是(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:B由已知,则的共轭复数是,选.8.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是参考答案:【知识点】几何概型.K3【答案解析】C

解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,

由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,

它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒,则|x-y|≤2,

由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,

由图可知所求的概率为:,故选C【思路点拨】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件须|x-y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案.9.执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输入的P值为()A.2B.3C.4D.5参考答案:C略10.执行如图的程序,如果输出的x=256,那么可以在判断框内填入A.i≥4?

B.i≥3?

C.i≤3?

D.i≤4?

参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校某年级有100名学生,已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内(单位:小时),现将这100人完成家庭作业的时间分为3组:[0.5,1.5),[1.5,2.5),[2.5,3.5)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中,采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性,则在抽取样本中,完成作业的时间小于2.5个小时的有人.参考答案:9【考点】频率分布直方图.【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.【分析】根据频率之和为1,求出a的值,再根据分层抽样求出完成作业的时间小于2.5个小时的人数.【解答】解:由于(a+0.4+0.1)×1=1,解得a=0.5,完成作业的时间小于2.5个小时的有(0.4+0.5)×10=9人,故答案为:9.【点评】本题考查了频率分布直方图的应用,属于基础题12.已知,则的最小值是

.参考答案:4由,得,即,所以,由,当且仅当,即,取等号,所以最小值为4.13.已知数列{an}前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=

.参考答案:【考点】数列递推式.【专题】计算题.【分析】由题意可得,an+1=3Sn,an=3Sn﹣1(n≥2)可得,an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an即an+1=4an(n≥2),从而可得数列{an}为从第二项开始的等比数列,可求通项公式【解答】解:由题意可得,an+1=3Sn,an=3Sn﹣1(n≤2)两式相减可得,an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an∴an+1=4an(n≥2)∵a1=1,a2=3S1=3≠4a1数列{an}为从第二项开始的等比数列∴an=a2qn﹣2=3×4n﹣2(n≥2),a1=1故答案为:【点评】本题主要考查了由等比数列的递推公式求解数列的通项公式,解题中要注意检验n=1时是否适合通项公式,以确定是写成一个通项还是分段的形式.14.(1﹣x)(1+x)6的展开式中x3系数为

.参考答案:5【考点】二项式系数的性质.【专题】转化思想;二项式定理.【分析】展开(1﹣x)(1+x)6=(1﹣x)(++…),即可得出.【解答】解:(1﹣x)(1+x)6=(1﹣x)(++…),∴展开式中x3系数为=﹣=20﹣15=5.故答案为:5.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.设,用表示不超过的最大整数,称函数为高斯函数,也叫取整函数.现有下列四个命题:①高斯函数为定义域为的奇函数;②是的必要不充分条件;③设,则函数的值域为;④方程的解集是.其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)参考答案:【知识点】命题的真假判断与应用.A2

【答案解析】②③④

解析:对于①,f(﹣1.1)=[﹣1.1]=﹣2,f(1.1)=[1.1]=1,显然f(﹣1.1)≠﹣f(1.1),故定义域为R的高斯函数不是奇函数,①错误;对于②,“[x]”≥“[y]”不能?“x≥y”,如[4.1]≥[4.5],但4.1<4.5,即充分性不成立;反之,“x≥y”?“[x]”≥“[y]”,即必要性成立,所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件,故②正确;对于③,设g(x)=()|x|,作出其图象如下:由图可知,函数f(x)=[g(x)]的值域为{0,1},故③正确;对于④,[]=[]=[]=[]﹣1,即[]+1=[],显然,>,即x>﹣1;(1)当0≤<1,即﹣1≤x<3时,[]=0,[]+1=1;要使[]+1=[],必须1≤<2,即1≤x<3,与﹣1≤x<3联立得:1≤x<3;(2)当1≤<2,即3≤x<7时,[]=1,[]+1=2;要使[]+1=[],必须2≤<3,即3≤x<5,与3≤x<7联立得:3≤x<5;(3)当2≤<3,即7≤x<11时,[]=2,[]+1=3;要使[]+1=[],必须3≤<4,即5≤x<7,与7≤x<11联立得:x∈?;综上所述,方程[]=[]的解集是{x|1≤x<5},故④正确.故答案为:②③④.【思路点拨】①,举例说明,高斯函数f(x)=[x]中,f(﹣1.1)≠﹣f(1.1),可判断①错误;②,利用充分必要条件的概念,举例如[4.1]≥[4.5],但4.1<4.5,说明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件;③,作出g(x)=()|x|的图象,利用高斯函数f(x)=[x]可判断函数f(x)=[g(x)]的值域为{0,1};④,方程[]=[]?[]+1=[],通过对0≤<1,1≤<2,2≤<3三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x<5},从而可判断④正确.16.如图,球面上有A,B,C三点,∠ABC=90°,BA=BC=2,球心O到平面ABC的距离为,则球的体积为.参考答案:π【考点】球的体积和表面积.【分析】由题意可知球心到平面ABC的距离为,正好是球心到AC的中点的距离,可求出球的半径,然后求球的表面积.【解答】解:由题意,∠ABC=90°,BA=BC=2,AC=2,球心到平面ABC的距离为,正好是球心到AC的中点的距离,所以球的半径是:2,球的体积是:=π,故答案为:π.【点评】本题考查球的内接体问题,考查学生空间想象能力,是中档题.确定三角形ABC的形状以及利用球半径与球心O到平面ABC的距离的关系,是解好本题的前提.17.已知函数

,,给出下列结论:①函数的值域为;②函数在[0,1]上是增函数;③对任意,方程在[0,1]内恒有解;④若存在,使得成立,则实数a的取值范围是.其中所有正确结论的番号是__________.参考答案:①②④三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在极坐标系中,动点运动时,与成反比,动点P的轨迹经过点(2,0)(I)求动点的轨迹其极坐标方程.(II)以极点为直角坐标系原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,将(I)中极坐标方程化为直角坐标方程,并说明所得点P轨迹是何种曲线.参考答案:解:(I)设则

(II)

P点轨迹是开口向下,顶点为(0,1)的抛物线略19.设向量,其中,且函数.(1)求的最小正周期;(2)设函数,求在上的零点.参考答案:(1),∴函数的最小正周期为.(2)由题意知,由得,,当时,,∴或,即或.∴函数在上的零点是和.20.在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求an与bn;(2)若对于?n∈N*,不等式+++…+<t恒成立,求实数t的取值范围.参考答案:【考点】数列的求和;数列递推式.【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.【分析】(1)通过设等差数列{an}的公差为d,联立b2+S2=12及q=,计算即得公差和公比,进而可得结论;(2)通过(1)裂项可知=(﹣),进而利用并项相消法计算、放缩即得结论.【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵b2+S2=12,q=,∴q+6+d=12、q=,解得:q=3或q=﹣4(舍),d=3,∴an=3+3(n﹣1)=3n,bn=3n﹣1;(2)由(1)可知==(﹣),∴+++…+=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣),∵n≥1,∴(1﹣)<,∴t≥.【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,利用裂项相消法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.21.已知f(x)=ln(mx+1)﹣2(m≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若m>0,g(x)=f(x)+存在两个极值点x1,x2,且g(x1)+g(x2)<0,求m的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围,确定函数的单调性;(2)求出g(x)的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值,判断是否符合题意,从而判断出m的范围即可.【解答】解:(1)由已知得mx+1>0,f′(x)=,①若m>0时,由mx+1>0,得:x>﹣,恒有f′(x)>0,∴f(x)在(﹣,+∞)递增;②若m<0,由mx+1>0,得:x<﹣,恒有f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,﹣)递减;综上,m>0时,f(x)在(﹣,+∞)递增,m<0时,f(x)在(﹣∞,﹣)递减;(2)g(x)=ln(mx+1)+﹣2,(m>0),∴g′(x)=,令h(x)=mx2+4m﹣4,m≥1时,h(x)≥0,g′(x)≥0,g(x)无极值点,0<m<1时,令h(x)=0,得:x1=﹣2或x2=2,由g(x)的定义域可知x>﹣且x≠﹣2,∴﹣2>﹣且﹣2≠﹣2,解得:m≠,∴x1,x2为g(x)的两个极值点,即x1=﹣2,x2=2,且x1+x2=0,x1?x2=,得:g(x1)+g(x2)=ln(mx1+1)+﹣2+ln(mx2+1)+﹣2=ln(2m﹣1)2+﹣2,令t=2m﹣1,F(t)=lnt2+﹣2,①0<m<时,﹣1<t<0,∴F(t)=2ln(﹣t)+﹣2,∴F′(t)=<0,∴F(t)在(﹣1,0)递减,F(t)<F(﹣1)<0,即0<m<时,g(x1)+g(x2)<0成立,符合题意;②<m<1时,0<t<1,∴F(t)=2lnt+﹣2,F′(t)=<0,∴F(t)在(0,1)递减,F(t)>F(1)=0,∴<m<1时,g(x1)+g(x2)>0,不合题意,综上

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