江西省宜春市桥东中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

江西省宜春市桥东中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．2.平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+，=﹣3，D是BC的中点，那么||=（）A． B．2 C．3 D．6参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知，将所求用向量与表示，利用已知转化为求模以及数量积解答．【解答】解：由已知，=+，=﹣3，D是BC的中点，那么=（）=（2）=；又平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，所以（）2==1+4﹣2×1×2×cos=3，所以||=；故选：A．【点评】本题考查了向量的加减运算和数量积的运算；属于基础题．3.等差数列的第四项等于（

）A．3

B．4

C.

D．参考答案：A4.若复数为纯虚数,其中则的值为A.1

B.

C.

D.2参考答案：A设其中则解得所以

5.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5

B．0.6 C．0.7 D．0.8参考答案：C

6.在中，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C7.已知复数，则的共轭复数是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由已知，则的共轭复数是，选．8.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是参考答案：【知识点】几何概型.K3【答案解析】C

解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，

由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，

它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x-y|≤2，

由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，

由图可知所求的概率为：,故选C【思路点拨】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x-y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．9.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．5参考答案：C略10.执行如图的程序，如果输出的x=256,那么可以在判断框内填入A．i≥4？

B．i≥3？

C．i≤3？

D．i≤4？

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有人．参考答案：9【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据频率之和为1，求出a的值，再根据分层抽样求出完成作业的时间小于2.5个小时的人数．【解答】解：由于（a+0.4+0.1）×1=1，解得a=0.5，完成作业的时间小于2.5个小时的有（0.4+0.5）×10=9人，故答案为：9．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题12.已知，则的最小值是

.参考答案：4由，得，即，所以，由，当且仅当，即，取等号，所以最小值为4.13.已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn，则an=

．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≥2）可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an即an+1=4an（n≥2），从而可得数列{an}为从第二项开始的等比数列，可求通项公式【解答】解：由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≤2）两式相减可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an∴an+1=4an（n≥2）∵a1=1，a2=3S1=3≠4a1数列{an}为从第二项开始的等比数列∴an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2），a1=1故答案为：【点评】本题主要考查了由等比数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意检验n=1时是否适合通项公式，以确定是写成一个通项还是分段的形式．14.（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为

．参考答案：5【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；二项式定理．【分析】展开（1﹣x）（1+x）6=（1﹣x）（++…），即可得出．【解答】解：（1﹣x）（1+x）6=（1﹣x）（++…），∴展开式中x3系数为=﹣=20﹣15=5．故答案为：5．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设,用表示不超过的最大整数，称函数为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题：①高斯函数为定义域为的奇函数；②是的必要不充分条件；③设，则函数的值域为；④方程的解集是.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2

【答案解析】②③④

解析：对于①，f（﹣1.1）=[﹣1.1]=﹣2，f（1.1）=[1.1]=1，显然f（﹣1.1）≠﹣f（1.1），故定义域为R的高斯函数不是奇函数，①错误；对于②，“[x]”≥“[y]”不能?“x≥y”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；反之，“x≥y”?“[x]”≥“[y]”，即必要性成立，所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件，故②正确；对于③，设g（x）=（）|x|，作出其图象如下：由图可知，函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}，故③正确；对于④，[]=[]=[]=[]﹣1，即[]+1=[]，显然，＞，即x＞﹣1；（1）当0≤＜1，即﹣1≤x＜3时，[]=0，[]+1=1；要使[]+1=[]，必须1≤＜2，即1≤x＜3，与﹣1≤x＜3联立得：1≤x＜3；（2）当1≤＜2，即3≤x＜7时，[]=1，[]+1=2；要使[]+1=[]，必须2≤＜3，即3≤x＜5，与3≤x＜7联立得：3≤x＜5；（3）当2≤＜3，即7≤x＜11时，[]=2，[]+1=3；要使[]+1=[]，必须3≤＜4，即5≤x＜7，与7≤x＜11联立得：x∈?；综上所述，方程[]=[]的解集是{x|1≤x＜5}，故④正确．故答案为：②③④．【思路点拨】①，举例说明，高斯函数f（x）=[x]中，f（﹣1.1）≠﹣f（1.1），可判断①错误；②，利用充分必要条件的概念，举例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，说明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件；③，作出g（x）=（）|x|的图象，利用高斯函数f（x）=[x]可判断函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}；④，方程[]=[]?[]+1=[]，通过对0≤＜1，1≤＜2，2≤＜3三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x＜5}，从而可判断④正确．16.如图，球面上有A，B，C三点，∠ABC=90°，BA=BC=2，球心O到平面ABC的距离为，则球的体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知球心到平面ABC的距离为，正好是球心到AC的中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意，∠ABC=90°，BA=BC=2，AC=2，球心到平面ABC的距离为，正好是球心到AC的中点的距离，所以球的半径是：2，球的体积是：=π，故答案为：π．【点评】本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题．确定三角形ABC的形状以及利用球半径与球心O到平面ABC的距离的关系，是解好本题的前提．17.已知函数

，，给出下列结论：①函数的值域为；②函数在[0，1]上是增函数；③对任意，方程在[0，1]内恒有解；④若存在，使得成立，则实数a的取值范围是.其中所有正确结论的番号是__________.参考答案：①②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，动点运动时，与成反比，动点P的轨迹经过点（2,0）（I）求动点的轨迹其极坐标方程.（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线.参考答案：解：（I）设则

（II）

∴

P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线略19.设向量，其中，且函数.（1）求的最小正周期；（2）设函数，求在上的零点.参考答案：（1），∴函数的最小正周期为.（2）由题意知，由得，，当时，，∴或，即或.∴函数在上的零点是和.20.在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求an与bn；（2）若对于?n∈N*，不等式+++…+＜t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d，联立b2+S2=12及q=，计算即得公差和公比，进而可得结论；（2）通过（1）裂项可知=（﹣），进而利用并项相消法计算、放缩即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵b2+S2=12，q=，∴q+6+d=12、q=，解得：q=3或q=﹣4（舍），d=3，∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1；（2）由（1）可知==（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∵n≥1，∴（1﹣）＜，∴t≥．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m的范围即可．【解答】解：（1）由已知得mx+1＞0，f′（x）=，①若m＞0时，由mx+1＞0，得：x＞﹣，恒有f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣，+∞）递增；②若m＜0，由mx+1＞0，得：x＜﹣，恒有f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递减；综上，m＞0时，f（x）在（﹣，+∞）递增，m＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣）递减；（2）g（x）=ln（mx+1）+﹣2，（m＞0），∴g′（x）=，令h（x）=mx2+4m﹣4，m≥1时，h（x）≥0，g′（x）≥0，g（x）无极值点，0＜m＜1时，令h（x）=0，得：x1=﹣2或x2=2，由g（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣2＞﹣且﹣2≠﹣2，解得：m≠，∴x1，x2为g（x）的两个极值点，即x1=﹣2，x2=2，且x1+x2=0，x1?x2=，得：g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+﹣2+ln（mx2+1）+﹣2=ln（2m﹣1）2+﹣2，令t=2m﹣1，F（t）=lnt2+﹣2，①0＜m＜时，﹣1＜t＜0，∴F（t）=2ln（﹣t）+﹣2，∴F′（t）=＜0，∴F（t）在（﹣1，0）递减，F（t）＜F（﹣1）＜0，即0＜m＜时，g（x1）+g（x2）＜0成立，符合题意；②＜m＜1时，0＜t＜1，∴F（t）=2lnt+﹣2，F′（t）=＜0，∴F（t）在（0，1）递减，F（t）＞F（1）=0，∴＜m＜1时，g（x1）+g（x2）＞0，不合题意，综上