上册第一章ch1-610习题课

二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节极限存在准则及两个重要极限

第一章一、极限存在准则1.夹逼准则证上两式同时成立,注意:准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则。上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹逼定理得例2.2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:证(舍去)例3二、两个重要极限(1)例4解解：(2)定理类似地,例4解例5解例6三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.一、填空题:练习题二、求下列各极限:练习题答案

第一章第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换一、无穷小的比较

由上表可见：当x→0时，x，2x，x2

均为无穷小，但是它们趋于零的速度却有所不同。x0.10.010.001……→02x0.20.020.002……→0x20.010.00010.000001……→0极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同。引例：当x→0时，定义:例如，例1解证必要性充分性意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用的等价无穷小：例2解二、等价无穷小代换定理2(等价无穷小代换定理)证例3解

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.

切记：只可对函数的积或商中的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小一般不能代换！注意：例4解例5解解错三、小结1、无穷小的比较

反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.

高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.思考题任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时练习题练习题答案二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点

第一章一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;3.单侧连续定理例1解右连续但不左连续,左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:注：4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,所以P(x)在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数所以R(x)在其定义域内连续.只要都有例1证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.注意：不能认为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点.仅在x=0处连续，其余各点处处间断.在定义域R内每一点处都间断，但其绝对值处处连续.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式其它思考题例1解答：且但反之不成立.例但2、讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.3、设时提示:为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,4、

确定函数间断点的类型。解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章定理2.

连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:

设函数于是故复合函数又如,

且即例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而计算连续函数极限：例2.

求解:原式例3.

求解:

令则原式说明:

当时,有例4.

求解:原式说明:

若则有例5.

设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1

不连续,

内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.练习题练习题答案第十节闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值定理二、介值定理三、小结一、有界性与最大值最小值定理定义：例如,定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。注意：1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。证二、介值定理定义：几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论2在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,例2证由零点定理,上连续,且恒为正,例3.

设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:例4

证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.

例5

若在上连续，则在上必有，使*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理.上一致连续.(证明略)三、小结四个定理有界性定理；最值定理；介值定理；根的存在性定理。注意：1．闭区间；2．连续函数。这两点不满足上述定理不一定成立。解题思路1.直接法：先利用最值定理，再利用介值定理;2.辅助函数法：先作辅助函数F(x)，再利用零点定理。1.

任给一张面积为A

的纸片(如图),证明必可将它练习题一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:证明至少存在使提示:

令则易证2.设一点（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容第一章函数与极限习题课函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点

无穷间断点

跳跃间断点

可去间断点第一类

第二类其它二、典型例题例1解例2解将分子、分母同乘以因子(1－x)，则证:例3.

证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.例4证明由