2023安徽版数学中考复习题-专题六　几何压轴题

2023安徽版数学中考

专题六几何压轴题

题型精练

题型一与全等三角形有关的探究

1.(2022安徽,22,12分)已知四边形ABCD中,BOCD,连接切过点。作施的垂线交于点£连接

DE.

⑴如图1,若〃国求证:四边形BCDE是菱形;

(2)如图2,连接":设应相交于点F.应垂直平分线段AC.

⑴求/侬的大小;

(ii)若力月四求证:好行:

解析⑴如图，设而与四交于点0.

,：BOCD,CEVBD,

：.DO=BO.

'：DE//BC,

.•.Z1=Z2,Z3=Z4,

:.△DOE^XBOC,

：.D^BC,

...四边形〃。灯是平行四边形.

'：DOCB,

四边形式方'是菱形.

DOBC.CELBD,

:.CE中分能即四垂直平分BD,：.DE=BE.

.\Z5=Z6.

•；龙垂直平分4c

：.AE=CE.

/.Z7=Z5,

•,.Z5=Z6=Z7,

VZ5+Z6+Z7=180°,

/.Z5=60。，即N6E^60°.

(ii)证明:•小绍N4QN5+N7=120°,

，Z8=Z/JC^30°.

6KL幽N6=60°Z9=30°,

...ZAFB=18O°-Z8-Z9=120°,

，ZAFB=ZAEC.

在△/m1和△加力中,

Z8=z8,

AE=AF,

.Z.AEC=Z.AFB,

△/比四△力咫

：.AOAB.'：AEFAF,

：.A&A^AB-AE,^CQBE.

2.（2021合肥一模,23）4"是△48C的中线，。是线段4"上一点（不与点A童合）.DE〃AB交力。于点

月函74W连接AE.

（1）如图1,当点〃与点."重合时,求证》庐能

⑵如图2,当点〃不与点"重合时,请判断四边形4?龙的形状,并说明理由；

⑶如图3,延长BD交立于点〃若BHLAC,^.B用AM.当FH=®DM=6时，求〃〃的长.

解析(1)证明:•.•〃£〃/£

AEDOAABM,

'：CE//AM,：.^ECD=AADB,

〈AM是4ABC的中线，且点D与点物重合,：.BD=DC,

△戌C(ASA),

J.AB=ED.

⑵四边形4皿均是平行四边形.

理由如下:如图，过点M作MG//应交位于点G

"WC

'：CE//AM,

二四边形〃仇法是平行四边形，

：.ED=GM,

由（1）知,4左偌

又‘：AB"DE,

，四边形/应/是平行四边形.

⑶如图，取线段CH的中点£连接MI.

E

上C

♦：BM=MC,

:.MI是ABHC的中位线,

•.•ML4。且BH=AM,

：.MI=~AM,MILAC,

.•.NO沪30°.

设法x,则/从遍％49=2%

，4沪6+2%

.•.除6+2x.

•.•四边形/成岳'是平行四边形，

C.DF//AB,

.HF_HD

•‘HAHB'

，鲁芝土,解得尸1+夕或广卜夕（舍去），

V3Xo+ZX

经检验，下1+近是原分式方程的解，

二娇［+V7

思路分析

⑴由平行线的性质可得4EDO/ABMZECD=/ADB,进而可证△48屋△初C即可得出结

论.（2）先判断出四边形"侬是平行四边形，借助⑴的过程即可得出结论.（3）取线段值的中点I,

连接"4先判断出〃砌心=:刚进而利用直角三角形的性质即可得出结论.设展％则

/斤百44仄2%推出AM.BH,由四边形/应应是平行四边形，推出DF〃AB,推出罂岑，列出方程并解方

HAHB

程即可.

3.（2021安徽四模,22）如图1,在正方形ABCD中，点£尸分别是边园丝上的点，且C芹BF,连接DE,

过点少作£C_L偌使E仁DE.连接FG.FC.

⑴请判断FG与四的数量关系和位置关系（不要求证明）；

⑵如图2,若点分别是CB.BA延长线上的点，其他条件不变，⑴中结论是否仍然成立?请给出判

断并予以证明；

⑶如图3,若点£尸分别是比;延长线上的点，其他条件不变,（1）中的结论是否仍然成立?请直接

写出你的判断.

c

图3

解析⑴吩"人G〃出

⑵结论仍然成立.

证明:如图，设施与CF交于点M

•.•四边形ABCD是正方形,

:.B廿CD/ABO/DCF9Q：

在△烟'和△〃心'中,

BF=CE,

yCBF=乙DCE,

.BC=CD,

：.l\CB2丛DCE.

：.ABC^£CDE,CF^DE.

'：N8CRN加庐90°,

...NCDE+/DCM=9Q°,

.•.NGQ=90°,

:.CF1DE.

,：GELDE,

J.EG//CF.

,：EODE,CF=DE,

：.EOCF,

，四边形灰FC是平行四边形.

,GI^EC,GF//EC.

⑶结论仍然成立.

4.（2021北京,27,7分）如图，在△/比'中储比区/胡小a,M为比的中点，点。在比上，以点A为中

心，将线段/。顺时针旋转a得到线段力£连接防瓦：

⑴比较/为6与的大小，用等式表示线段8尊嬲,物之间的数量关系，并证明；

⑵过点〃作*8的垂线，交以于点人用等式表示线段NE与AD的数量关系，并证明.

解析⑴①•；/加氏/。庐明

/DAE-/BAD=/CAB-/BAD,

:./BA芹/CAD.

②B拱盼BM.

证明：VAB=AC,ZBAB-ZCAD.A^AD,

:.B芹CD.•:M为6。的中点，

:.B拒C后CaMD-BE+MD.

即BE^MD=BM.

⑵密WZ

证法一:如图，过点。作48的垂线交比'于点H,

A

HHMI)C

,

：AB=ACI

：.Z(=ZABC,

■：△ABE^XAC"

:./AB芹/Q

:./AB芹/ABC,

:.BE=BH.

■:B5DC,

沪隔

:.BM~BFCM~CD?FH拒DM.

•:EHIAB商线MNLAB,

.ND_MD_.

"NEMH'

：.NE=ND.

证法二:如图，连接4%AY

庐〃;〃为a'的中点，

，AML园易得/C=/AD琮/ABM=/AMN.

,：NAD良NAMN,且/ADE而NAMN均为线段4V所对的角,

：.A.MM、〃四点共圆.

,：AMVBC,

...线段/〃是此圆的直径，

,N4W=90°.

义•：AD=AE,

:.N芹ND.

疑难突破

⑵通过观察可以猜想止.MZ如果点N看作是等腰△力切底边的中点，易联想到等腰三角形

“三线合一”的性质，从而连接4y证明乙处次90°,通过辅助圆即可证明.

5.（2020重庆A卷,26,8分）如图1,在。中,/胡俏90°,A5=〃；点〃是8c边上一动点，连接

必把助绕点A逆时针旋转901得到四连接CEQE.点、/是应的中点，连接CF.

⑴求证:诋当仞

⑵如图2所示，在点〃运动的过程中，当盼2切时，分别延长仍囹相交于点G猜想“与a'存

在的数量关系，并证明你猜想的结论；

⑶在点〃运动的过程中,在线段力。上存在一点。使处+%+%的值最小，当为+9。。的值取得

最小值时,力尸的长为加，请直接用含加的式子表示"的长.

解析⑴证明:胡信/加后90°胡加/小£

在△/故和△/CF中,

AB=AC,

Z-BAD=乙CAE,

,AD=AE,

，△四屋△力绍

:./ABA/ACE.

,：AB=AC,ZBAO90°,

：.ZABD=ZACB=45°,

：.ZECD=ZACB+ZAC^O°.

•.•尸是应的中点，

1

，CF^-DE.

2

•:AD=AE,/DA斤90°,

：.附②仞

CJ^=—AD.

2

⑵祟3叵理由如下:

如图所示，连接AF.DG.DG交4「于点、Q.

由（1）知,/月诋

，/FAO/FCA.

,：ZBAC=90°,

AZ6^4090°,

:.乙FAG-/FGA.

：.AF^GF.

,G广D户CF.

/.AFGD^AFDG.AFDOAFCD.

：./FDG'/FDOg。°.

，N川090°.

•.,/比45°,ZACD=45°,

：.BD=GD,CD=QDIZA^5°.

'：ZCAG=90°,

：.QG=42AG.

'：BD=2CD,

:.BAD心2CF2QG,

，BO3QG=3^2AG,即些=3a.

AG

⑶当/〃，a'时，在/〃上存在点夕满足条件.此时，喈的长为二果?.

详解:如图，将△加。绕点6顺时针旋转60°得到△巡连接PN,

根据旋转知BkBN,P俏NM/PBN=3b°,

...△药W是等边三角形,

J.PA+PB^POAP^PN^MN,

，当点犷共线时得+侬%的值最小，如图，连接M&

A

•.•将△如。绕点8顺时针旋转60。得到△曲附

Z60°=ACBM,

...△MV是等边三角形，△绥〃是等边三角形，

二/BP^/BNP^O:B拒CM.

义•：AB=AC,

...4"垂直平分线段交

•:ADLBC/BPD=8Q°,

：.BD=y[3PDt

'：AB=AC,ZBA^0°,

：.AD=BD,：-^PD=PIAAP,

・nn-^+1

■明

由⑴可知C片BD,

•3+V3

..-----m.

2

题型二与相似三角形有关的探究

1.（2021蚌埠二模,23）如图,在等腰RtZUBC中,N/%=90°，/信式;切，48于点D点E为切延长

线上一点，连接B£AE,在a'上取一点£使E2AE,EF交相于点〃过歹点作FGLEF交切于点G.

⑴求证:江L妈

⑵连接与当上6F时，

①求证:加〃②求”的值.

解析3证明:•：AC-BCCD工AB,：.B—E/CB方/CAE,

■:A后EF,：.E用BE,

：.4EBX/EFB,,：N用阶/砒M80°,

：.ZCAE^-ZEF(=l80o,：.N4班90°,

:.AELEF.

⑵①证明:由⑴得N/g/M曰/瓦公/小片90。，

，AAEG^AEGF,

，：D2FG,

:ZFGg/GDF,

又乙仞＞/幽

"GDa/BED,

：.DF//BE.

②；/DERNEGMO°/FD卅/GDEQ:

:./DE百4HDF,

‘：/DF住/EFD,：ZFHSXEFD,

:.DP=FH、EF,

义,：AELEF£DLAB,

/.4FE介/AED=90:/EA小4AED=90°,

:./FEA/EAD,

又•.•/夕生//阱90°,

:.AAEHs4EFG,

.EHAE.

"FGEF'

：.EH=FG,

:.EH=FkEF,点、〃是跖的黄金分割点,

'：DF//BE,

.DHFHy/5-l

"'BHHE2

2.（2020四川成都,27,10分）在矩形/腼的切边上取一点£将△aF沿缈翻折，使点。恰好落

在49边上点尸处.

⑴如图1,若除2劭，求NC%的度数；

⑵如图2,当用=5,且AF-FD=10时，求a1的长;

⑶如图3,延长班与N4防的平分线交于点跖砌交4〃于点“当怩腑•功时，求翌的值.

4N/\FD

8四二-----七

图3

解析⑴由翻折可知特加;/乃自/及

—BA,

...小2M又"90°,

，N4FB=3。°,

'：AD//BC,

：./FB年4AF於30°,

.•.N烟'N砸M5

2

(2)由翻折可知除的NH涉N小90°,

易知△/班6△加受

.AFAB

'"DEDF'

：.AF-Dl^AB-DE.

■:AF・g[0,4户5,

:.际2,

:.F芹CF3,

：.D^32-22=V5,.,.仍2强.

:.BOAD=AF+Dk3区

⑶过点N作NG工跖于点6；

"：BN斗分/ABF.NA工BA,

.•.mAG

ZAC7^ZJ=90。，乙AF方乙GFN,

:.XNFGSRBFA,

'：NRAN^FD,

111

：.N^-AD=-BC^BF

222f

.NG_FG_NF_1

*'ABFABF2'

：.NG=A^AB,

在RtAABF中,AE+A户=8户,

.,"4+（*8+刖°2=6伪化简得5面+2/6・心3%=0,解得崇|（言=-1舍去）

3.（2020湖北武汉,23,10分）问题背景如图⑴，已知发求证:△力协

尝试应用如图⑵，在△/8C和△力庞中,N的右N物后90°,ZAB（=ZAD^30°,47与龙相交于

点F.点。在3C边上，黑=8,求笠的值.

BDCF

拓展创新如图⑶，〃是△力6。内一点，/刈9=N6B少30°，/品＞90°,4生4,4028,直接写出AD

的长.

图⑵

解析问题背景

：二4/BAO/DAE,

ADAE1'

：.—=—,ZBAD=ZCAE.

ACAE

[△ABMMACE.

尝试应用连接C£设BD=乙则/氏百应

'：IXACEsXABD,

：./AC我NABC30°

BDAB3

CE=—BD=—t,：.—=3.

33CE

:ZAD^ZACJ^30°rZAFD=ZEFC,

:.XADFSMECF,

.DFADn

・・一二一=3.

CFCE

拓展创新V5.

详解：如图，在/〃的右侧作ZDA^ABAC.AE交班的延长线于点£连接

CE；：/AD4/BA//AB。/AB(^/AB//CBD/BAF/CBF3Q°,

二/AD片/ABC,

又〈/DAEF/BAQ

二△为8△加£

.ABACBC

**ADAEDE1

火•：4DA方4BAC,

・•・/胡氏/。£

・•・△物吐△小£

・BD_AB_AD_4_2V3

**CEACAE2733'

设◎为在Rt△腼中，

N6S户30°,

/.BD^y/SXfBC^2x,/.CE=^x.

/.DE=J(|%)一/考x.

..AB_BC

*ADDE1

.42X4

*'AD叵VS1

2

：.AD=y[5.

疑难突破

作辅助线构造△为Cs△加夕和△员眇得到华嘴以及被与龙的关系是解答本题的

突破口.

题型三与全等三角形和相似三角形都有关的探究

1.(2021毫州二模,23)如图,在等边三角形/比'中,8大"连接四座交于点F.

⑴求/"F的度数；

⑵求证：/C・D六BD・BP,

⑶连接力当行工4〃时，求证:劭?C

解析⑴是等边三角形,二/庐4年/N/吐N6层60°,

义•：BFCE,

:.△ABMABC那阴,

：.ABAD^ACBE.

：.NADO/CBE+/BFA/BA饼/AB&

:./BFD=/ABC,

，/AFLBFD=/ABO60°.

(2)证明:由(1)知/物//侬：

义•：/AD斤/BDF,

:.丛ABD^ABFD,

...竺幽y^'：AB=AC,

BFFD

AC*D户BD，BF.

BFFD

⑶证明:如图，过点。作3垂直绣的延长线于点6则/。诲90°.

A

bDc

,：CFLAD,

J//陷90°,

由(1)知/"M)。，

.•.Z6F^30°,

，N凡后60°,CG=-CF.

12

又・・・/4吠60°,

J4FCG—4FCa4DCE—4FCE,

：.ZECG=ZDCF,

:•△CEGsXCDF,

.CECG1

・.CDCF2

;盼也

・BD_1

**CO2Z

:.BgBC.

3

2.（2021滁州一模,23）⑴如图1,在正方形/四中，点£0分别在边BQAB匕DQ上AE于点、。点G.F

分别在边CDAB上,GF1AE.

①求证:优匕4£

鬻的值为；

⑵如图2,在矩形48⑦中,黑=同4为常数）.将矩形ABCD沿切折叠，使点A落在回边上的点E处,

得到四边形FEP&EP交切于点〃连接AE交6F于点0.试探究GF与月后之间的数量关系，并说明

理由；

⑶在⑵的条件下，连接〃当舄时,tan/CG写，加2"U,求”的长.

S:

HEL

图1图2

解析⑴①证明:•.•四边形4及力是正方形，

：.AB=AD,

,：AELDQ,ZADQ^ZOAD=ZBAE^ZOA/)=90°,

:./AD®/BAE,

在△的0和△/应'中，

Z.ADQ==乙BAE,

DA=AB,

,^DAQ==乙ABE,

:ZAgXABE、

二给您

②1.

详解:

：.DQ//GF,

•.•四边形ABCD是正方形,

J.AB//CD,

二四边形〃6尸。是平行四边形,

：.DQ=GF,

由①知DQ=AE,：.GI^AE,

A—=1.

AE

⑵6斤小£理由如下：

如图，过点尸作£1L切于点腐交四于点I,

易得四边形66妒为矩形，

:.F后BQFMLAB,

由折叠的性质可知出则为/用仆//炉90°,

J.ZIFO=AFAO,

即N例沪N54£

又,：/FM(A/AB芹°,

伤s△力微

.FGFM

''AEAB

GF=kAE.

⑶过点尸作月U6C交8。的延长线于点A；由(2)得竺=4,即空近望，故/田3JIU,

AEAE3

•：4EC仲°,

二AHEOAPGC,

'：/PEaNFE方90°/BFESFEaQ°,

：.AHEC=ABFE,

：.4BF&4CGP,

•.•tanN。源,

4

「・tanN皮沪当

4

设止3%贝1止4%

:・A六E后5x,

由4户:AE+BE,

<(3V10):=(9A)2+(3^)；

解得分1(负值舍去)，

.•.止3,止5/斤9,

•：-=-,：.3^6,：.上3,

AB3

■:/CE片/CGP,

...tanN3*

4

・PN3EN4

*EP5'EP5’

,?E六AD=6,，P建,E地,

：.Og小上生-3==

55’

在Rt/XPNC中,dCN?+PN2J©J+谓J=胡

3.(2021淮南二模,23)如图1,菱形/腼中,N/=606分别为/〃劭边上的点，且小";CF交BD

于点G,AD=2.

⑴求证:语M

(2)如图2,当E点和G点重合时，求〃的长;

⑶如图3,延长CE交跖于点〃连接〃G当尸为/〃的中点时，求证:掰1战

图1图2

图3

解析⑴证明:•.•四边形眼力为菱形,/4=60°,

：.AB=B(=CD=BD.

•：DE=AF/EDO/A=6Q°,

△〃因SAS),

:.旧BF.

西武DE：DF〃BQ

・DFDE口门％2-X

一一二一，即一二——

BCBE2XJ

解得A=V5-1或产-有T(舍去)，二止“T.

(3)证明:•.•尸为49的中点,

:./DB产3Q°,：./FBO900,

.・DG_DF即丝」

・DBDF+BC^23'

：.DG^；：DE二AF、

:.E为故的中点,

.・“1号抻".

易知△侬S△阳些=些=今

BECE3

•.•仍防2,.•.除L

•up-^•GE孑百

•*i

3HEXl3

3

即tan/傲呼，N诙3。。,

义•：4HC斤30°,：-GH//BC,

:./FB"FHG^Q°,

J.GHLBF.

4.（2020辽宁营口,25,14分）在矩形ABCD中,AD=kA风k>0）点«是线段/延长线上的一个动点，连

接河过点A作4dzs交射线DC于点、F.

⑴如图1,若F1,则AF与力夕之间的数量关系是.

⑵如图2,若AW1,试判断力厂与4F之间的数量关系，写出结论并证明;（用含A的式子表示）

⑶若4分2火比4,连接B