概率论与随机过程1作业及答案

1 09_vector_marginal©电子工程i个射手每pi（0<pi<1i=01X1X2由题意可得，随量X1与X2相互独立，且X1+1与X2+1均服从几何分布， p(X=x)=(1−p)x1p,x=0,1, p(X=x)=(1−p)x2p,x=0,1, X1X2 1 p(X=xX=x)=p(X=x)p(X=x)=pp(1−p)x1(1−p) 1 X1X2 F(x1x2)

∑p(X1=nX2=m)

p(X1=

p(X2=n=0 [=1−(1−p1)x1

]

,x,1x2=0,1,2··56点之间在某处集合，他们的到达时间服从均匀分布。甲乙两人都的概率。（5x5y分到达）随量X与Y服从均匀分布，{1,0<x<pX(x) 0{1,0<y<pY(y) 0 f(x,y)=pX(x)pY(y)

1 0<x<60,0<y<∫F(x,y)

∫f(x,y)dxdy

xy 0<x,y<x 0<x<60,y⩾y 0<y<60,x⩾−∞

x,y⩾02{|XY|15|0XY< P成功碰头P{|XY|15|0XY< ∫60∫ ∫60∫ =1 (x,y)dydx f(x,y)dxdy=1 量(x,y)的概率密度为f(x,

{ Asin(x+y),0<x<π,0<y< 量X,Y的分布函数；（2）X和Y的边缘分布密2A2x0或者y0时，f(xy0F(xy0xπ，0yπ时 du du F(x,y)

∫ ∫xsin(u+ ∫ycosv−cos(x+v) siny+sinx−sin(x+ 0⩽xπ，y⩾π 2∫ ∫xsin(u+ 1+sinx−2F(x,y)

du2 2

dv x⩾π，0⩽y<π 2∫ ∫xsin(u+ ∫πcosu−cos(y+ 1+siny−2F(x,y)

du2 2

du x⩾π，y⩾πF(xy) fX(x)

f(x,∞ ∞∈ ∞当x∈(0,)时f(x) f(x,

πsin(x+y)dy=22fX(x

2sinx+2cosx,x∈(π2

fY(y)

siny+cosy,y∈(0,π 设二维随量(X,Y)在区域D{(x,y)||x|+|y|⩽1}上服从均匀分布，（1）求随量(X,Y)的联合概率密度函（2）XY是否相互独立？为什么？32(a)SD4∗1112得到（X,Y）2{fx,y)

1,|x|+|y|⩽20,2(a)XYfX(x)

∫1+x1dy=1+x,−1⩽x<−1−x−1+x1−x1dy=1−x,0−1−x−1+x0,和∫1+y1dx=1+y,−1⩽y<fY(y)

−1−y−1+y1−y1dx=1−y,0⩽y−1+y0,因为fxy̸fX(x)fY(y),所以XY不独立pX,Y(x,y)=h(x)g(y),−∞<x,y<并试将该性质推广到判断n元随量X1,···,Xn相互独立。pX,Y(x,y)=h(x)g(y),−∞<x,y<因为连续型随量X,Y相互独立，所pX,Y(x,y)=pX(x)pY其中，pX(x)pY(y)分别为随量X,Y的边缘概率密度函数。则令h(x)=pXg(ypY(y)pX,Y(x,yh(xg(y,−∞x,y充分性：若随量X,Y的联合密度函数可以写pX,Y(x,y)=h(x)g(y),−∞<x,y<则随量X,Y相互独立由于随量X,Y的联合密度函数pX,Y(x,y)=h(x)g(y)，则X,Y的边缘概率密度pX(x)

∫pX,Y(x,y)dy

∫h(x)g(y)dy=h

∫g4pY(y)

∫ ∫pX,Y(x,y)dx ∫

h(x)g(y)dy=g∫

∫hpX(x)pY(y)=h

g(y)dy·g

h∫ ∫

∫∞∫=h(x)g

g h(x)dx=h(x)g

h(x)g −∞pX,Y(xy)∫pX,Y(x,y)dxdy

∫∞∫

h(x)g(y)dxdy= −∞所以，pX(xpY(yh(xg(ypX,Y(x,即pX,Y(x,y)=pX(x)pY(y),−∞<x,y<∞,随量X,Y相互独立pX,Y(x,y)=h(x)g(y),−∞<x,y<将该性质推广到判断n元随量X1,···,Xn相互独立的情形，即n元随X1···XnpX1,···Xn(x1,···xn)=h1(x1)h2(x2)···hn(xn),−∞<x1,···xn<其中，hi(xi)为仅与随量xi有关的函数。本题随量独立性的概念，并给出了一个判断独立性的充分必要条件。解答过出现的主要问题有3点：其中一个方向；另外一个问题是，充分性和必要性所要证明的内容。如果我们要证ABBA；必要性需要证明：若A则B。∫FX,Y(x,y)

∫ ∫pX,Y(u,v)dvdu

∫ ∫h(u)g(v)dvdu

∫h

g(v)dv=FX(x)−∞

−∞

因此，随量X,Y相互独立5n元随量1···,Xn相互独立，当且仅当其联合密度函数可以写pX1,···Xn1···xn)=pX1(x1)pX2(x2)···pXn(xn),−∞<1···xn<X(xi)pX1(x1)pX2(x2)···pXn(xn),−∞<1···xn<121（2）若随量X1与X2独立，X2与X3独立，则X1与X3相互独立么？若是请证（1）(X1X2)X3证明：如果随量1X2,X3相互独立，则联合概率密度函pX1,X2,X3(x1,x2,x3)=pX1(x1)pX2(x2)pX3且pX1,X2(x1,x2)=pX1(x1)pX2pX1,X2,X3(x1x2x3pX1,X2(x1x2·pX3因此，(X1X2X3（2）X1X3独立性无法判断，可能独立，也可能不独立。22设随量1X2分别代表独立地抛掷甲乙2枚硬币的结果（正面或），X3=X1，即X3代表抛掷甲硬币结果X1的互补事件X1与X2独立，X2与X3独立，但X1与X3显然不独立。AB12A12151245B121点之间的均匀分布。且6AX、YA、B的到达时间（12点为起点{pX(x)

15⩽x⩽ {pY(y)

0⩽x⩽ 6（1）|XY|51/6P1162（1）XYP2=12随量X与Y的联合密度函数{

e−y)x>0,y>p(x,y)

)/2（21）p(x,yx0y0z0时，F(z0z0∫2z∫F(z)=P(X+Y⩽2z) {

−xy)dydx=1−e−2z−f(z

4ze−2z,