浅谈幂指函数类未定式极限的计算

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本文给出了三个计算幂指函数类未定式极限的主要结论，它们在理论和应用两方面都有确定的意义

幂指函数；极限；计算

1.引言

全国硕士研究生入学考试的数学试题中常展现幂指函数类未定式极限的计算问题，这对众多考生而言，是一个难点，这也是微积分教学中的一个重点和难点，为了解决这一问题，本文给出了三个计算幂指函数类未定式极限的主要结论，并举例加以说明.

2.主要结果

文献［1］给出了计算1∞型极限的两种方法，在此根基上，我们有如下结论：

定理1若limf(x)=0,limg(x)=∞且limg(x)［±f(x)］=a，那么lim［1±f(x)］g(x)=ea.

定理2若limf(x)=1，limg(x)=∞且limg(x)lnf(x)=a，那么limf(x)g(x)=ea.

对00型与∞0型极限有如下结论：

定理3若limf(x)=0(或∞),limg(x)=0且limg(x)lnf(x)=a，那么limf(x)g(x)=ea.

3.应用举例

下面举例说明上述三个定理的应用：

例1求极限limx→0(x+ex)1x.

解鲜明这是1∞型极限.

方法1由于极限limx→01x(x+ex-1)=limx→01+ex-1x=2，

故原式=limx→0［1+(x+ex-1)］1x=e2.

方法2由于极限

limx→01xln(x+ex)=limx→0ln［1+(x+ex-1)］x

=limx→0x+ex-1x=2，

故原式=e2.

方法3由于极限limx→01xxex=1，

故原式=limx→0e1+xex1x=ee1=e2.

例2求以下极限：

(1)limx→∞sin1x+cos1xx.

(2)limx→0ex+e2x+…+enxn1x，n∈N.

(3)limx→∞lnn-2na+1n(1-2a)n，其中，a为常数且a≠12.

解鲜明，这三个考题均属于1∞型极限.

(1)方法1∵极限limx→∞xsin1x+cos1x-1=limx→∞sin1x+cos1x-11x=limx→∞sin1x1x+limx→∞-12x21x=1，

∴原式=limx→∞1+sin1x+cos1x-1x=e1=e.

方法2令t=1x，那么

原式=limt→0(sint+cost)1t=limt→0［1+(sint+cost-1)］1t.

又limt→01t(sint+cost-1)=1，

故原极限=e1=e.

(2)由于limx→0(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)nx

=1nlimx→0ex-1x+limx→0e2x-1x+…+limx→0enx-1x

=1n(1+2+…+n)=12(n+1)，

故原式=limx→01+(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)n1x=e12(n+1).

(3)由于limn→∞nn(1-2a)=11-2a,

故原式=limn→∞ln1+1n(1-2a)n=lne11-2a=11-2a.

例3求以下极限：

(1)limx→0+(arctanx)1+x-1-xx.

(2)limx→0+(cotx)1lnx.

解(1)由于limx→0+1+x-1-xxxln(arctanx)

=limx→0+2xx(1+x+1-x)lnx

=limx→0+lnx=-∞，

故原式=0.

(2)由于limx→0+1lnxlncotx=limx→0+1cotx(-csc2x)1x=-limx→0+xtanxsin2x=-limx→0+x2x2=-1，故原式=e-1.

［1］陈文灯，黄先开.数学题型集粹与练习题集（2022版）［M］.北京：世界图书出版公司，2022.

［2］武忠祥，吴云江，魏战线.历届数学考研试题研