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文档简介

调和方程

建立方程、定解条件格林公式及其应用格林函数强极值原理、第二边值问题解的唯一性§1.1方程的导出§1建立方程、定解条件§1.2定解条件和定解问题§1.3变分原理物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。调和方程举例：静电场电势u

确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程

泊松方程§1-1方程的导出

下面我们回忆物理学中导出调和方程和泊松方程的实例。历史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为M的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力,其大小等于M/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为F(x,y,z)称为引力场函数。显然引力场函数是位势函数φ(x,y,z)=M/r的梯度：F=gradφ。除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。

对于以密度ρ(x,y,z)分布在区域Ω上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为

通过直接计算可以验证，φ(x,y,z)在Ω外满足调和方程Δφ＝0，还可以进一步验证，若ρ(x,y,z)满足Holder条件，则φ(x,y,z)在Ω内满足泊松方程Δφ＝－4πρ。另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面Σ包围的区域G

，由静电学知，通过Σ向外的电通量等于G中总电量的4π倍，即成立其中,E为电场强度矢量，而n为Σ上的单位外法线向量。利用格林公式并注意到G的任意性，可得divE=4πρ。又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势u=u(x,y,z)

，使E=-gradu。于是得到静电位势u满足以下的泊松方程Δu＝－4πρ。特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。

与复变函数中一样，我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。三维Laplace方程:§1.2拉普拉

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