应用多元统计分析 付德印课件01. 绪论

1应用多元统计分析

2第一章绪论

本章主要讨论:●多元统计分析概述●多元统计分析的应用●线性代数基础

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第一节多元统计分析概述

本节基本内容:

一、多元统计分析的涵义二、多元统计研究的内容和方法

4一、多元统计分析的涵义多元统计分析（简称多元分析），是运用数理统计的方法来研究多变量问题的理论和方法，它是一元统计学的推广。在现实生活中，很多随机现象涉及到的变量不止一个，而经常是多个变量，这些变量之间往往存在一定的联系。按照一元统计方法分析多变量问题，往往不容易取得好的研究结论。这就需要同时对多个随机变量进行分析研究。

5从应用上讲，多元统计分析实际上是以个变量的次观测数据形成矩阵为依据，根据实际问题的需要所给出种种分析方法。一、多元统计分析的涵义6多元统计研究的内容和方法概括为(Kendall)：理论基础随机向量、矩阵抽样分布理论，统计推断理论等。降维问题主成分分析，因子分析，对应分析等。归类问题聚类分析，判别分析等。相依问题典型相关分析、回归分析等。二、多元统计研究的内容和方法7

第二节多元统计分析的应用多元统计分析方法是解决实际问题有效的数据处理分析方法，随着电子计算机使用的日益普遍，多元统计分析方法广泛应用于地质科学、气象科学、医疗卫生、体育、语言学、考古学、教育学、心理学以及经济学、管理学等自然学科、社会科学领域。其中，仅就在经济管理中的应用，主要可集中在如下的场合：8对多变量进行降维处理，选择数目较少的变量子集合。对研究对象需要进行分类研究、分类处理、构造分类模式。建立经济模型和利用模型进行外推。研究经济现象之间相互关系。

第二节多元统计分析的应用9

第三节线性代数基础

本节基本内容:对《应用多元统计》课程学习过程中所须具备的线性代数知识作简单的回顾和介绍。包括：

向量、矩阵及基本运算，行列式，逆矩阵和矩阵的秩，特征根、特征向量，矩阵的迹，正定矩阵和非负定矩阵，投影矩阵，矩阵微商。10约定：向量用小写粗体字母(如

，

等)表示，矩阵用大写粗体字母(如

，

等)表示，标量用斜体字母(如

，

等)表示。

第三节线性代数基础11向量：由

个实数组成的一个数组称为

维向量，记为，或

注意，我们提到的向量均指列向量；

行向量用列向量的转置表示，如。

一、向量12维向量在几何上表示一个有方向的线段。向量可以进行数量乘法和加法运算。令为任意常数，和，则向量的数量乘法和加法可分别定义为：一、向量13矩阵：将个数排成一个形如行列的长方形表：称为矩阵，常记为，其中为第行，第列的元素。本书中假定均为实数。二、矩阵及基本运算14矩阵的运算矩阵加法。若与为矩阵，则与的和为矩阵对应元素的和：数量乘积。若为一常数，它与的积定义为该常数与矩阵元素的乘积：二、矩阵及基本运算15矩阵乘法。若，，则与的积定义为：在一般情况下，。从上述矩阵运算定义中可以得到如下运算规律：二、矩阵及基本运算16若为方阵，满足，则称为正交矩阵。二、矩阵及基本运算17矩阵分块矩阵的分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法。有时，我们把一个高阶矩阵看成是由一些低阶矩阵组成的，就像矩阵由数值组成一样。设为矩阵，将剖分称四块，表示成其中，表示矩阵，表示矩阵，表示矩阵，为矩阵。分块矩阵也满足一般矩阵的乘法和加法等运算规律。二、矩阵及基本运算18若矩阵与有相同的分块，则若为矩阵，剖分成其中，为矩阵，为矩阵，为矩阵，为矩阵。则有二、矩阵及基本运算19二、矩阵及基本运算20（一）行列式一个阶方阵对应一个数，记为称为的行列式。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩21直接由行列式的定义计算行列式是很麻烦的，通常利用行列式的一些性质，可以简化计算：(1)若矩阵的某行(或列)为零，则行列式。(2)。(3)将矩阵某行(或列)乘以数所得矩阵的行列式为。(4)若矩阵的两行(或两列)相同，则行列式。(5)若将矩阵两行(或两列)互换所得矩阵的行列式为。(6)若将矩阵的某一行(或列)乘上一个常数加到另一行相应的元素上，所得矩阵的行列式不变，仍为。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩22（二）逆矩阵设一个阶方阵，若，则称为非奇异矩阵，若，则称为奇异矩阵。若为阶非奇异矩阵，则存在唯一的矩阵使得，称为的逆矩阵，记为，可以证明其中，为的代数余子式。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩23逆矩阵具有如下性质：

(1)。(2)。(3)若和均为阶非退化矩阵，则。(4)。(5)若是正交矩阵，则有。(6)若非退化，即（），则。(7)若和为非退化方阵，则。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩24（三）逆矩阵的秩设为阶矩阵。若存在的一个阶子方阵的行列式不为零，而的一切阶子方阵的行列式均为零，则称的秩为，记为。矩阵的秩具有下列基本性质：(1)，当且仅当。(2)若为阶矩阵，且，则。(3)。(4)若为矩阵和为矩阵，则。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩25(5)若和为矩阵，则

(6)若和为非退化矩阵，则

(7)阶方阵是非退化的，当且仅当，此时称为满秩矩阵。三、行列式、逆矩阵和矩阵的秩26设为阶方阵，则方程的左边为次多项式，由多项式的理论知道，该方程有个根(可能有重根)，记为，并称为矩阵的特征根或特征值。若是方程的一个根，则为奇异矩阵，故存在一个维非零向量使得四、特征根、特征向量27即是矩阵的特征根，而称为特征根对应的特征向量。今后一般取为单位向量，即满足。特征根和特征向量具有以下性质：(1)矩阵和有相同的特征根。(2)若为矩阵，为矩阵，则和有相同的特征根。(3)若为实对称矩阵，则的特征根全为实数，个特征根按大小依次表示为。四、特征根、特征向量28若，则相应的特征向量和必正交，即

(4)若是矩阵的特征根，可逆，则的特征根为。(5)，即矩阵行列式等于其特征根的乘积。四、特征根、特征向量29若是阶方阵，其对角线元素之和称为矩阵的迹，记为

方阵的迹具有如下性质：(1)若为阶方阵的特征根，则

(2)五、矩阵的迹30(3)。(4)。(5)。(6)。五、矩阵的迹31设为阶对称矩阵，是一个维列向量，则称为的二次型。若对于一切，有，则称为正定矩阵，记为；若对于一切，有，则称为非负定矩阵，记为。六、正定矩阵和非负定矩阵32正定矩阵和非负定矩阵具有如下性质：(1)一个对称阵是正(非负)定矩阵，当且仅当它的特征根为正(非负)。(2)若，则。(3)设，则当且仅当。(4)，对于一切矩阵成立。六、正定矩阵和非负定矩阵33

(5)若(或），则必存在一个正交矩阵，使得其中，为矩阵的特征根，的列向量为相应的特征向量，于是有。(6)由性质(1)，均非负，即，记特别地，令，有，称为的平方根矩阵。六、正定矩阵和非负定矩阵34

(7)若(或)，则存在(或)，使得。六、正定矩阵和非负定矩阵35若阶方阵满足