沪科版九年级数学上册专题训练 解直角三角形的应用基本

第3页解直角三角形的应用根本图形归类►根本图形一“独立〞型1．如图6－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上此渔船，那么救援船航行的速度为()A．10eq\r(3)海里/时B．30海里/时C．20eq\r(3)海里/时D．30eq\r(3)海里/时图6－ZT－12．［2023·成都］在学习完“利用三角函数测高〞这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．如图6－ZT－2，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)图6－ZT－2►根本图形二“并列〞型3．如图6－ZT－3，小强从自己家的阳台A处，看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离AD为42m，求该栋楼的高度．图6－ZT－34．［2023·包河区二模］如图6－ZT－4，货轮在海上以30海里/时的速度匀速航行，为了确定船位，当货轮在B点时，观察灯塔A在其南偏东60°方向上，货轮沿南偏东30°方向航行半小时到达C点，观察灯塔A在其北偏东75°方向上，求此时货轮距离灯塔A多少海里(即AC的长)．(结果保存一位小数．参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图6－ZT－4►根本图形三“母抱子〞型5．如图6－ZT－5，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)图6－ZT－56．［2023·眉山］如图6－ZT－6，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD测得树顶A的仰角为45°，再向树的方向前进10m到达FG处，测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB.图6－ZT－6►根本图形四“拥抱〞型7．［2023·潍坊］如图6－ZT－7，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14m．求这栋居民楼的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：eq\r(3)≈1.73)图6－ZT－7根本图形五“斜截〞型8．某块绿地的形状如图6－ZT－8，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．求AD，BC的长．(结果精确到1m，eq\r(3)≈1.732)图6－ZT－8

教师详解详析1．D[解析]由“B在海岛A南偏东20°方向〞和“海岛C在海岛A南偏西10°方向〞得∠BAC＝30°，同理得∠ABC＝60°，所以∠ACB＝90°，所以BC＝10海里，AC＝10eq\r(3)海里，再由救援船由海岛A开往海岛C用时20分钟可得救援船航行的速度为30eq\r(3)海里/时，应选D.2．解：由题意，得BE＝AC＝20m，AB＝1.5m.∵∠DBE＝32°，∴DE＝BE·tan32°≈20×0.62＝12.4(m)，∴CD＝DE＋CE＝DE＋AB≈12.4＋1.5＝13.9(m)．答：旗杆CD的高度约为13.9m.3．解：∵在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝30°，AD＝42m，∴BD＝AD·tan30°＝42×eq\f(\r(3),3)＝14eq\r(3)(m)．∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴CD＝AD·tan60°＝42×eq\r(3)＝42eq\r(3)(m)，∴BC＝BD＋CD＝14eq\r(3)＋42eq\r(3)＝56eq\r(3)(m)．答：该栋楼的高度为56eq\r(3)m.4．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意，得∠ABE＝60°，∠EBC＝30°，∠BCF＝30°，∠ACF＝75°，∴∠ACB＝105°，∠ABC＝30°，∴∠BCD＝60°，∠ACD＝45°.在Rt△BCD中，BC＝30×0.5＝15(海里)，CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×15＝7.5(海里)．在Rt△ACD中，∵cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，∴AC＝eq\f(CD,cos45°)≈7.5×1.41≈10.6(海里)．答：货轮距离灯塔A约10.6海里．5．解：此车没有超速．理由：如图，过点C作CH⊥MN于点H.∵∠CBN＝60°，BC＝200米，∴CH＝BC·sin60°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3)(米)，BH＝BC·cos60°＝100(米)．∵在Rt△ACH中，∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100eq\r(3)米，∴AB＝100eq\r(3)－100≈73(米)．∵60千米/时＝eq\f(50,3)米/秒，eq\f(73,5)＝14.6(米/秒)＜eq\f(50,3)米/秒，∴此车没有超速．6．解：如图，设直线CF与AB交于点E，设AE＝xm．在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∠AEC＝90°，∴CE＝AE＝x.在Rt△AFE中，FE＝eq\f(AE,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)x.又因为CF＝CE－FE，CF＝DG＝10，所以x－eq\f(\r(3),3)x＝10，解得x＝15＋5eq\r(3).所以AB＝AE＋EB＝15＋5eq\r(3)＋1＝(16＋5eq\r(3))m.答：这棵树的高度AB为(16＋5eq\r(3))m.7．解：如图，设第一层楼上面的顶点为M，直线A′B′与CD交于点C′.设每层楼的高度为xm．由题意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，那么DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1.在Rt△DC′A′中，∵∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq\f(DC′,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(5x＋1)．在Rt△EC′B′中，∵∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq\f(EC′,tan30°)＝eq\r(3)(4x＋1)．∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴eq\r(3)(4x＋1)－eq\f(\r(3),3)(5x＋1)＝14.解得x≈3.17.∴这栋居民楼的高度为5×3.17＋2.5≈18.4(m)．8．解：如图，延长AD，BC交于点E.在Rt△ABE中，由AB＝200m，∠A＝60°，得BE＝AB·tanA＝200eq\r(3)m，AE＝eq\f(AB,cos60°)＝400m.在Rt△CDE中，∵CD＝100m，