高等代数第二章 多项式教案

第二章多项式教学目的要求一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配多项式的定义和运算（2学时）；多项式的整除性（4学时）；最大公因式（4学时）；因式分解定理（4学时）；重因式（4学时）；多项式函数及多项式的根（4学时）；复数域和实数域上的多项式（4学时）；有理数域上的多项式（4学时）多元多项式；对称多项式（2学时）；习题课（2学时）．重点、难点理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代数基本定理，C、R、Q上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表示对称多项式．教学手段传统教学和多媒体教学相结合．2．1一元多项式的定义和运算教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.重点、难点一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律．教学过程讲授练习．１.多项式的定义令R是一个数环,并且R含有数1,因而R含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复先讨论R上一元多项式定义1数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式，（１）这里n是非负整数而都是R中的数.在多项式(1)中,叫做零次项或常数项,叫做一次项,一般,叫做i次项,叫做i次项的系数.一元多项式常用符号f(x),g(x),来表示.2.相等多项式:定义2若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)说是相等;f(x)=g(x)非负整数n叫做多项式,()的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为0.以后谈到多项式f(x)的次数时,总假定f(x)0.多项式的次数有时就简单地记作.3.多项式的运算:是数环R上两个多项式，并且设mn，多项式f(x)与g(x)的和f(x)+g(x)指的是多项式这里当m<n时,取多项式f(x)与g(x)的积f(x)g(x)指的是多项式这里我们定义f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))多项式加法和乘法的运算规则①加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x)；②加法结合律:(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x));③乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x);④乘法结合律:(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成⑵当时，叫做多项式⑵的首项5.多项式的运算性质定理2.1.1设f(x)和g(x)是数环R上两个多项式,并且f(x)0,g(x)0.那么a)当f(x)+g(x)0时,b)证：设，，并且.那么，⑶，⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过n，另一方面，由an0，bm0得anbm0．所以由(5)得f(x)g(x)的次数是n+m.推论2.1.2f(x)g(x)=0必要且只要f(x)证若是f(x)和g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)0且g(x)0，那么由上面定理的证明得f(x)g(x)．推论2.1.3若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)0，那么h(x)=g(x)证由f(x)g(x)=f(x)h(x)得f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)0，所以由推论2.1.2必有g(x)-h(x)=0,即g(x)=h(x).由于推论2.1.3成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。我们用R[X]来表示数环R上一个文字x的多项式的全体，并且把在R中如上定义了加法和乘法运算的R[X]叫做数环R上的一元多项式环．作业P31:1,3.2.2多项式的整除性教学目的掌握一元多项式整除的概念及其性质,熟练运用带余除法求以g(x)(g(x)0)除f(x)所得的商式和余式.重点、难点带余除法定理的证明.教学过程讲授练习.1.多项式整除的概念设F是一个数域.F[x]是F上一元多项式环.定义令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两个多项式.如果存在F[x]的多项式h(x),使g(x)=f(x)h(x),我们就说,f(x)整除(能除尽)g(x),用符号f(x)g(x)表示，f(x)不能整除g(x)，f(x)g(x)时,f(x)说是g(x)的一个因式.2.多项式整除性的一些基本性质1)如果f(x)g(x),g(x)h(x),那么f(x)h(x).2)如果h(x)f(x),h(x)g(x),那么h(x)(f(x)g(x)).3)如果h(x)f(x),那么对于F[x]中任意多项式g(x)来说,h(x)f(x)g(x).4)如果,i=1,2,,t,那么对F[x]中任意gi(x),i=1,2,,t,5)零多项式，也就是F中不等于零的数，整除任一多项式.6)每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，这里c是F中任一不等于零的数.事实上,f(x)=1/c(cf(x)).7)如果,那么f(x)=cg(x),这里c是F中任一不等于零的数.定理2.2.1设f(x)和g(x)是F[x]的任意两个多项式,并且g(x)0.那么在F[x]中可以找到多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)q(x)+r(x),（3）这里或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数.满足以上条件的多项式q(x)和r(x)只有一对.证先证定理的前一部分.若是f(x)=0,或f(x)的次数不小于g(x)的次数.那么可以取q(x)=0,r(x)=f(x).现在假定f(x)的次数不小于g(x)的次数,我们把f(x)和g(x)按降幂写:这里,并且nm.用中学代数中多项式除多项式的方法，自f(x)减去g(x)与的积，那么f(x)的首项被消去，而我们得到F[x]的一个多项式:有以下性质：或者=0,或者的次数小f(x)的次数n.若是0，并且的次数仍不小于g(x)的次数m,那么用同样的步骤我们可以得到F[x]的一个多项式:这里是的首项系数.有以下性质：或者=0，或者的次数小于的次数.这样作下去，由于多项式,，的次数是递降的，最后一定达到这样的一个多项式:而＝0或的次数小于m.总起来，我们得到等式：………….把这些等式加起来，得这样，Ｆ［x］的多项式满足等式（３），并且或者r(x)=0，或者r(x)的次数小于g(x)的次数．现在证明定理的后一部分．假定还能找到Ｆ[x]的多项式q(x)和r(x)，使f(x)=g(x)q(x)+r(x),并且或者r(x)＝０，或者r(x)的次数小于g(x)的次数，那么由等式（３）减去等式（４），得g(x)[q(x)－q(x)]=r(x)－r(x)(4)若是那么q(x)－q(x)也不能等于零．这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左边的次数将小于g(x)的次数．这不可能．因此必然有因而这就是说，q(x)=q(x)，r(x)=r(x)．我们看到，在以上的证明中，对于已给多项式f(x)和g(x)来求出q(x)和r(x)方法正是中学代数中多项式除多项式的方法，这种方法叫作带余除法．多项式q(x)和r(x)分别叫作以g(x)除f(x)所得的商式和余式,若是g(x)=0，那根据整除的定义，g(x)只能整除零多项式0.若是g(x)‡0，那么由以上定理，当且仅当以g(x)除f(x)所得余式r(x)=0的时候，g(x)能整除f(x).3.系数所在范围对整除性的影响设Ｆ和F是两个数域，并且F含有Ｆ，那么多项式环F［x］含有多项式环Ｆ[x]．因此Ｆ上的一个多项式f(x)也是F上的一个多项式．设数域F含有数域Ｆ而f(x)和g(x)是Ｆ[x]的两个多项式．如果在F[x]里g(x)不能整除f(x)，那么在F［x］里g(x)也不能整除f(x)．事实上，若g(x)＝０，那么由于在Ｆ[x]里g(x)不能整除f(x)，f(x)不能等于0．因此在F［x］里g(x)显然仍不能整除f(x).假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：f(x)=g(x)q(x)+r(x)，并且．但是Ｆ[x]的多项式q(x)和r(x)都是F［x］的多项式，因而在F［x］里，这一等式仍然成立．于是由r(x)的唯一性得出，F［x］里g(x)仍然不能整除f(x).作业：P38：1，2，3，4，5，7.多项式的最大公因式教学目的要求掌握两个(n个)多项式的公因式,最大公因式互素的概念及性质;熟练地应用辗转相除法求出(f(x),g(x)),并会求u(x),v(x).使得:f(x)u(x)+g(x)v(x)=(f(x),g(x))，运用概念或充要条件判断问题.重点难点多项式最大公因式的存在唯一性定理.教学过程讲授、练习.1.f(x)与g(x)的最大公因式设F是一个数域,Fx是F上一元多项式环.定义一令f(x)和g(x)是Fx的两个多项式.若是Fx的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式.定义二设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式.若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除,那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式.定理2.3.1Fx的任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式.个零次因式外,f(x)与g(x)的最大公因式是唯一确定的,这就是说,若是d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因,那么数域F的任何一个不为零的数c与d(x)的乘积cd(x),而且只有这样的乘积是f(x)与g(x)的最大公因式.证我们可以完全类比着定理1.4.2的证明来证明这个定理.然而为了给出一种实际求最大公因式的方法,我们另外给出一个证明.先证明定理的前一部分.若是f(x)=g(x)=0,那么根据定义,f(x)与g(x)的最大公因式就是0.假定f(x)与g(x)不都等于零,比方说,g(x)0.应用带余除法,以g(x)除f(x),得商式q1(x)及余式r1(x).如果r1(x)0,那么再以r1(x)除g(x),得商式q2(x)及余式r2(x).如果r2(x)0,再以r2(x)除r1(x),如此继续下去,因为余式的次数每次降低,所以作了有限次这种除法后,必然得出这样一个余式rk(x),它整除前一个余式r(x).这样我们得到一串等式:……我们说,rk(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式.的最后一个等式说明整除.因此得,整除倒数第二个等式右端的两项,因而也就整除.同理,由倒数第三个等式看出也整除.如此逐步往上推，最后得出能整除g(x)与f(x).这就是说,rk(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.其次,假定h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式,那么由(1)的第一个等式,h(x)也一定能整除r1(x)同理,由第二个等式,h(x)也能整除.如此逐步往下推,最后得出h(x)能整除.这样,的确是f(x)与g(x)的一个最大公因式.定理的后一论断可由最大公因式的定义以及前一章的性质1),6)及7)直接推出.我们不但证明了任意两个多项式都有最大公因式,并且也获得了实际求出这样一个最大公因式的一种方法.这种方法叫做辗转相除法.我们也看到,两个零多项式的最大公因式就是0,它是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式,它们之间只有常数因子的差别.在这一情形我们约定,最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个.这样,在任何情形,两个多项式f(x)与g(x)的最大公因式就都唯一确定了.我们以后用符号(f(x),g(x))来表示这样确定的最大公因式.由于可以用辗转相除法求出两个多项式的最大公因式,我们还可以得出一个结果.我们知道,若是数域含有F,那么Fx的多项式f(x)与g(x)可以看作的多项式.我们有以下事实:令是含F的一个数域,d(x)是这两个多项式在Fx中最高项系数为1的最大公因式,而是这个多项式在中最高项系数为1的最大公因式.那么.这就是说,从数域F过渡到数域时,f(x)与g(x)的最大公因式没有改变.事实上,若f(x)=g(x)=0,那么.设f(x)与g(x)之中至少有一个不等于零.不论我们把f(x)与g(x)看成Fx 或的多项式,在我们对这两个多项式施行辗转相除法时,总得到同一的最后余式.因此这样得来的既是f(x)与g(x)在Fx里的也是它们在里的一个最大公因式.令的首项系数是c.那么由上面的约定例1令F是有理数域.求Fx的多项式，的最大公因式.把f(x)先乘以2,再用g(x)来除(乘以2)这样，得到第一余式把乘以3，再用去除：（乘以3）约去公因子56后，得出第二余式且整除∴例2．令F是有理域．求出Ｆ[x]的最大公因式的最大公因式d(x)以及满足等式（２）的多项式u(x)与v(x)．对f(x)与g(x)施行辗转相除法．但是现在不允许用一个零次多项式或除式．因为在求多项式u(x)与v(x)时，不仅要用到余式，同时也要用到商式．施行除法的结果，我们得到以下一串等式：由此得出，x-1是f(x)与g(x)的最大公因式，而u(x)=-1/3(x-1)，v(x)=1/3(2x-2x-3)．定义3如果Ｆ[x]的两个多项式除零次多项式外不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素．显然，若多项式f(x)与g(x)互素，那么，１是它们的最大公因式；反之，若１是f(x)与g(x)的最大公因式，那么这两个多项式互素．定理2.3.3F[x]的两个多项式f(x)与g(x)Ｆ[x]中可以求得多项式u(x)与v(x),使⑷事实上，若f(x)与g(x)互素，那么它们有最大公因式１，因而由定理2.3.2,可以找u(x)与v(x),使等式(4)成立。反之，由等式（4）可得，f(x)与g(x)的每一公因式都能整除1，因而都是零次多项式.3、互素的性质（甲）若多项式f(x)和g(x)都与多项式h(x)互素，那么乘积f(x)g(x)也与h(x)互素。（乙）若多项式h(x)整除多项式f(x)与g(x)的乘积，而h(x)与f(x)互素，那么h(x)一定整除g(x).（丙）若多项式g(x)与h(x)都整除多项式f(x)，而g(x)与h(x)互素，那么乘积g(x)h(x)也一定整除f(x).4、n(n>2)个多项式互素的情形若多项式h(x)整除多项，中的每一个，那么h(x)叫做这n个多项式的一个公因式。若是的公因式d(x)能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫做的一个最大公因式.容易推出：若是多项式若是的一个最大公因式，那么与多项式的最大公因式也是多项式若是的最大公因式.这样，由于两个多项式的最大公因式总是存在的，所以n个多项式的最大公因式也总是存在的，并且可以累次应用辗转相除法来求出.与两个多项式的情形一样，n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别。我们约定n个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是1的那一个。那n个多项式是最大公因式就是唯一确定的.我们用符号（）表示这样确定的最大公因式.最后，若是多项式除零次多项式外，没有其它公因式，就说这一组多项式互素。我们要注意，n(n>2)个多项互素时，它们并不一定两两互素。例如，多项式是互素的，但作业：P48：1，2，3，4，5，6，102.4多项式的分解教学目的掌握有可约的多项式的概念及性质；掌握唯一分解定理；会用两个多项式的典型分解式求出它们的最大公因式.重点、难点两条主要定理（唯一因式分解的定理）证明及应用；多项式的可约性与数域有关.教学过程讲授、练习.1.不可约多项式的概念及性质给定F[x]的任何一个多项式f(x),那么F的任何不为零的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的乘积cf(x)也总是f(x)的因式.我们把f(x)的这样的因式叫做它的平凡因式.任何一个零次多项式显然只有平凡因式.一个次数大于零的多顶式可能只有平凡因式，也可能还有其它的因式.定义令f(x)是F[x]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[x]中只有平凡因式，f(x)就说是在数域F上（或在F[x]中）不可约.若f(x)除平凡因式外，在F[x]中还有其它因式，f(x)就说是在F上（或在F[x]中）可约.如果F[x]的一个n(n>0)次多项式能够分解成F[x]中两个次数都小于n的多项式g(x)与h(x)的积:f(x)=g(x)h(x),（1）那么f(x)在F上可约.若是f(x)在F[x]中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么f(x)在F上不可约.根据以上定义，对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也不能说它们是不可约的.在任一多项式环F[x]中都存在不可约多项式，因为F[x]的任何一个一次多项式总是不可约的.注意，我们只能对于给定的数域来谈论多项式可约或不可约.因为一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.一般指的是在数域F上不可约的多项式。（a）如果多项式p(x)不可约，那么F中任一不为零的元素c与p(x)的乘积cp(x)也不可约.（b）设p(x)是一个不可约多项式而f(x)是一个任意多项式，那么或者p(x)与f(x)互至少，或者P(x)整除f(x).（c）如果多项式f(x)与g(x)的乘积能被不可约多项式p(x)整除，那么至少有一个因式被p(x)整除.(c')如果多项式的乘积能够被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除.2.唯一因式分解定理！定理2.4.1F[x]的每一个n(n>0)次多项式f(x)都可以分解成F[x]可约多项式的乘积.证若是多项式f(x理成立，这时可以认为f(x)是一个不可约因式的乘积：f(x)=f(x)若f(x)可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的多项式的乘积：若因式f1(x)与f2(x)中仍有可约的，那么又可以把出现的每一个可约因式分解成次数较低的多项式的乘积。如此继续下去。在这一分解过程中，因式的个数逐渐增多，而每一因式的次数都大于零。但f(x)最多能分解成n个次数大于零的多项式的乘积，所以管种分解过程作了有限次后必然终止。于是我们得到其中每一都是F[x]中的不可约多项式.定理2.4.2令f(x)是F[x]的一个次数大于零的多项式，并且此处与qj(x)(i=1,2,,r;j=1,2,，s)都是F[x]的不可约多项式。那么r=s，并且适当调后使,i=1,2,,r,此处是F的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f（x）分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的.证我们对因式的个数r用数学归纳法.对于不可约多项式，也就是对于r=1的情形来说，定理显然成立.假定对于能分解成r-1个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.我们证明互不相等，而其它每一因式都等于这t个因式中的一个，并且pi(x)(i=1,2,,t)对于能分解成r个不可约因式的乘积的多项式f(x)来说定理也成立.等式⑵表明，乘积可以被不可约多项式p1(x)整除.因此由性质(c')，至少某一qi(x)能被p1(x)整除。适当调换的次序，可以假定p1(x)整除q1(x)，即q1(x)=h(x)p1(x)。但q1(x)是不可约多项式，而p1(x)的次数不等于零，所以h(x)必须是一个零次多项式：q1(x)=c1p1(x).⑶把q1(x)的表示式代入等式（2）的右端，得从等式两端去不等于零的多项式p1(x)，得出等式令那么f1(x)是一个能分解成r-1个不可约多项式的乘积的多项式.于是由归纳假定得r-1=s-1，亦即r=s，并且可以假定⑷其中及(i=3,4,,r)都是零次多项式。令由（3）及（4）得这样定理完全得到证明.由定理一个多项式f(x)唯一分解成：，⑸其中是f(x)的系数，是不可约多项式.3．F[x]的次数大于零的典型分解式分解式（5）中不可约多项式，不一定都不相同。若是在分解式（5）中不可约因式p(x)出现k次并且只出现k次，那么p(x)叫做f(x)的一个k重因式。一重因式叫做单因式。重数大于1的因式叫做重因式。若不可约因式p(x)在f(x)的分解式（5）中不出现，我们就说p(x)是f(x)的一个零重因式.若是在多项式f(x)的分解（5）中有t个因式，例如互不相等，而其它每一因式都等于这t个因式中的一个，并且各是f(x)的ki重因式，那么(5)式可以写成以下形状:⑹等式（6）叫做多项式f(x)的典型分解式。每一个多项式的典型分解式都是唯一确定的.4.利用多项式的典型分解式求两个多项式的最大公因式如果已知两个多项式的典型分解式，那么我们很容易求出这两个多项式的最大公因式来.令f(x)与g(x)是F(x)中两个次数大于零的多项式.假定它们的典型分解式有r个共同的不可约因式：，其中每一不等于任何，，令是与两自然数中较小的一个(i=1,2,,r)，那么就是f(x)与g(x)的最大公因式.事实上，d(x)显然是f(x)与g(x)的一个公因式。若是与的任一次数大于零的公因式，那么由定理2.4.2，出现在d1(x)的典型分解式中的每一不可约因式只能是某一，并且这一不可约因式的重数不能超过，因此，其中,c是数域F的一个不为零的元素，从而d1(x)整除d(x).若是f(x)与g(x)的典型分解式没有共同的不可约因式，那么f(x)与g(x)的最大因式显然是零次多项式.例在有理数域上分解多项式f(x)=x+x-2x-2为不可约因式的乘积.容易看出⑺一次因式x+1自然在有理数域上不可约，我们证明，二次因式也在有理数域上不可约，不然的话，将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的乘积，因此将能写成⑻的形式，这里a和b是有理数，把等式（8）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得a+b=0，ab=2，由此将得到，着与a是有理数的假定矛盾，这样，（7）给出多项式f（x）的一个不可约因式分解.我们还可以如下证明在有理数域上不可约，如果（8）式成立，那么它也给出在实数域上的一个不可约因式分解，但在实数域上因此由一定分解定理就可得出a=±2的矛盾.作业：P56:1，4，6.2．5重因式教学目的掌握重因式的概念和性质,掌握判断多项式无重因式的方法.重点、难点多项式无重因式的充要条件，多项式的系数域的扩大对是不是有重因式没有影响.教学过程讲授、练习.1.多项式的导数及性质定义F[x]的多项式的导数或一阶导数指的是F[x]的多项式一阶导数的导数叫作f(x)的二阶导数,记作,f(x)的n阶导数记多项式的导数有下列性质：⑴⑵⑶2.多项式的重因式定理2.5.1设p(x)是f(x)多项式的一个k()重因式.那么p(x)是f(x)的导数的一个k-1重因式.特别，多项式f(x)的单因式不是f(x)的导数的因式.证因为p(x)是f(x)的k重因式，所以并且p(x)不能整除g(x).求f(x)的导数，得.p(x)不能整除括号里的第二项.事实上，的次数小于p(x)的次数,因而k的次数也小于p(x)的次数，所以p(x)不能整除k;又由已知条件，p(x)不能整除g(x).因此根据不可约多项式的性质©,p(x)不能整除乘积kg(x).但p(x)能整除括号里的第一项。因此p(x)不能整除括号里的和.这就是说p(x)是的一个k-1重因式.定理2.5.2多项式f(x)没有重因式的充要条件是f(x)与它的导数互素.证设f(x)是一个n(n>0)次多项式，而⑷是f(x)的典型分解式.那么由定理2.5.1此处g(x)不能被任何(i=1,2,,t)整除.于是由上一节末尾求最大公因式的方法，得f(x)与的最大公因式是因此，若是f(x)没有重因式，亦即那么d(x)=1，而f(x)与'互素.反之，若f(x)与互素.那么f(x)没有重因式.由定理2.5.2可得下面的结论：若多项式f(x)在中没有重因式，那么把f(x)看成含F的某一个数域G上的多项式时,f(x)也没有重因式.3多项式重因式的求法：'首先，用以上方法判断多项式f(x)是否有重因式，即求出（f(x),）=d(x)；其次，用d(x)除f(x)所得商式为，其中g(x)没有重因式，g(x)与f(x)含有完全相同的不可约因式；然后,求g(x)的不可约因式，这样不难求出其在f(x)中的重数.作业：P59:2，3，4.2.6多项式函数多项式的根教学目的掌握数环R上的多项式函数,多项式的根k重根的概念.熟练运用综合除法和余式定理判别f(x)是否有一次因式x-c,是否有根c,并求出f(x)的根c的重数.会运用拉格朗日插值公式求出f(x),并满足已给的条件:(I=1,2,¼,n+1).重点、难点余数定理、多项式的根的个数不超过次数定理的证明，综合除法及应用.教学过程讲授、练习.多项式函数:设是R一个数环，设给定的一个多项式和一个数cÎR.那么在德表示式里，把x用c来代替，就得到R得一个这个数叫做当x=c时的f(x)值，并且用f(x)来表示.这个映射是由多项式f(x)所确定的，叫做R上一个多项式函数.余式定理定理2.6.1设，用x-c除所得的余式等于当x=c时的值.证设f(x)，g(x)ÎR[x],那么对于任意cÎR，由f(x)=g(x)就有f(c)=g(c)，并且若是u(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x)那么u(c)=f(c)+g(c),v(c)=f(c)g(c)，因此，任意一个由加法和乘法得到的R[x]的一些多项式间的关系式在用R的数c代替x后仍然成立.现在设f(x)ÎR[x]而cÎR.由定理2.2.1后面的注意2，在R[x]里可以x-c用除f(x)，得到的商式核余式仍在R[x]内.因为x-c是一次多项式，所以余式或者是零，或者是一个零次多项式.因此存在q(x)ÎR[x],rÎR,使得f(x)=(x-c)q(x)+r在这个等式两边用c代替x，我们得到r=f(c)，于是就得到以下的所谓余式定理.3.综合除法并且设f(x)=(x-c)q(x)+r其中比较等式(1)中两端同次项的系数，我们得到。……由此得出……这样，欲求系数bk，只要把前一系数bk-1乘以c再加上对应系数ak，而余式r也可以按类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式和余式的系数：C…+……表中的加号通常略去不写.用x+3除f(x)=x+x+4x-9.作综合除法：-31014-9-39-3078-310-2669所以商式是g(x)=x-3x+10x-26，而余式r=f(-3)=69.4.多项式的根定义令f(x)是R[x]的一个多项式而c是R的一个数，若是当x=c是f(x)的值f(c)=0，那么c叫作f(x)在数环R中的一个根.定理2.6.2数c是多项式f(x)的根的充分且必要条件是f(x)能被x-c整除.定理2.6.3设f(x)是R[x]中的一个n³0次多项式.那么f(x)在R中最多有n个不同的根.证明如果f(x)是零次多项式，那么f(x)是R中一个不等于零的数，所以没有根.因此定理对于n=0成立，于是我们可以对n作数学归纳法来证明这一定理，设cÎR是f(x)另一个根，d¹c,那么0=f(c)=(d-c)g(d).因为d-c¹0,所以g(d)=0。因为g(x)的次数是n-1，由归纳法假说，g(x)在R内至多有n-1个不同的根。因此f(x)在R中至多有n个不同的根.定理2.6.4设f(x)与g(x)是R[x]的两个多项式，它们的次数都不大于n,若是以R中n-1个或更多的不同的数来代替x时，每次所得f(x)与g(x)的值都相等，那么f(x)=g(x).证令u(x)=f(x)-g(x).若f(x)¹g(x),换一名话说u(x)¹0,那么u(x)是一个次数不超过n的多项式，并且在R中有n+1个或更多的根。这与定理2.6.3矛盾.5.多项式相等与多项式函数相等定理2.6.5R[x]的两个多项式f(x)和g(x)相等，当且仅当它们所定谘的R上多项式函数相等.证设f(x)=g(x).那么它们有完全相同的项，因而对R的任何数c都有f(c)=g(c).这就是说，f(x)和g(x)所确定的函数相等.反过来设f(x)和g(x)氢确定的函数相等.令u(x)=f(x)-g(x).那么对R的任何数都有u(x)=f(x)-g(x)=0.这就是说，R中的每一个数都是多项式u(x)的根，但R有无穷多个数，因此u(x)有无穷多个根.根居定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.因此有u(x)=f(x)-g(x)=0,f(x)=g(x).6.拉格朗日插值公式：定理2.6.4告诉我们，给了一个数环R里n+1个互不相同的数以及任意n+1个数后，到多存在R[x]的一个次数不超过n的多项式f(x)，能使，i=1,2,3,¼n+1.如果R还是一个数域，那么这样一个多项式的确是存在的，因为容易看出，由以下公式给出的多项式f(x)就是具有上述性质：这个公式叫做拉格朗日（Lagrange）插值公式.例2.求次数小于3的多项式f(x)，使f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3.由拉格朗日插值公式得作业P65:1,2,3,4,5,6.复数和实域上多项式教学目的掌握代数基本定理、根与系数的关系.掌握实数域上多项式的分解.重点、难点代数基本定理的应用，复系数多项式的根与系数的关系，实系数多项式的因式分解定理.教学过程讲授、练习.1.代数基本定理定理2.7.1任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根.证略定理2.7.2任何n(n>0)次多项式在复数域中有n个根（重根按重数计算）.证设f(x)是一个n(n>0)次多项式，那么由定理2.7.1，它在复数域C中有一个根a1，因此在C[x]中f(x)=(x-a1)f1(x)，这里f1(x)是C上的一个n-1次多项式。若n-1>0,那么f1(x)在C中有一个根,因而在C[x]中这样继续下去，最后f(x)在C[x]中完全分解成n个一次因式的乘积，而f(x)在C中有n个根.复数域C上任一n(n>0)次多项式可以在C[x]里分解为一次因式的乘积。复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的。2.N次多项式的根与系数的关系：令是一个n(n>0)次多项式，那在复数域C中f(x)有n个根因而在C[x]中f(x)完全分解成一次因式的乘积：展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系：，…………，其中第k(k=1,2,¼，n)个等式的右端是一切可能的k个根的乘积之和，乘以若是多项式的首项系数,那么应用根与系数的关系时须先用除所有系数，这样作多项式的根并无改变。这时根与系数的关系取以下形式：…………利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式。例如，求有单根5与-2以及二重根本3的四次多项式。根据根与系数的关系，我们得到a1=-(5-2+3+3)=-9,a2=5(-2)+5·3++5·3+(-2)3+(-2)3+3·3=17,a3=-[5(-2)3+5(-2)3+5·3·3+(-2)3·3]=33,a4=5(-2)3·3=-90.因此所求多项是，或这里a¹0.3.系数多项式的一些性质定理2.7.3若是实系数多项式f(x)有一个非实的复数根a,那么a的共——轭数也是f(x)的根，并且a与a有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对.证令.由假设把等式两端都换成它们的共轭数，得根据共轭数的性质，并且注意到和0都是实数，我们有即也是f(x)的一个根。因此多项式f(x)能被多项式整除.由共轭复数的性质知道g(x)的系数都是实数.所以f(x)=g(x)h(x),此处h(x)也是一个实系数多项式.若是a是f(x)的重根，那么它一定是h(x)根，因而根据方才所证明的，——a也是h(x)的一个根。这样，a也是f(x)的重根。重复应用这个推理方法，容—易看出，a与a重数相同.由代数基本定理和定理2.7.3立即得到关于实数域上多项式的因式分解的以下定理.定理2.7.4实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式.定理2.7.5每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积.关于求多项式f(x)或方程f(x)=0的根的研究，集中在以下两个问题：1）根的近似求法；2）根号解问题.作业P71:1,2,3,5.有理数域上多项式教学目的理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别法来判断某些整系数多项式在有理数域不可约.掌握多项式有理根的求法并能熟练地求出有理系数多项式的有理根.重点、难点艾因斯坦判别法，有有里根的必要条件.教学过程讲授、练习.1.本原多项式定义若是一个整系数多项式f(x)系数互素，那么f(x)叫作一个本原多项式。关于本原多项式，有以下的引理2.8.1两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.证设给了两个本原多项式并且设如果f(x)g(x)不是本原多项式，那么一定存在一个素数p，它能整除所有系数由于f(x)和g(x)都是本原多项式，所以p不能整除f(x)的所有系数，也不能整除g(x)所有系数。令和各是f(x)和g(x)的第一个不能被p整除的系数。我们考察f(x)g(x)的系数.我们有这等式的左端被p整除。根据选择和的条件，所有系数以及都能被p整除，因而等式右端除这一项外，其它每一项也都能被p整除。因此乘积也必须被p整除。但p是一个素数，所以p必须整除或.这与假设矛盾.2.整系数多项式的分解定理2.8.2若是一个整系数n(n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。证设，这里g1(x)与都是有理数域上的次数小于n的多项式.令g1(x)的系数的公分母是b1.那么,这里h(x)是一个整系数多项式。又令h(x)的系数的最大公因数是.那么，这里是一个有理数而是一个本原多项式.同理，这里是一个有理数而是一个本原多项式.于是其中r与s是互素的整数，并且s>0。由于f(x)是一个整系数多项式所以多项式的每一系数与r的乘积都必须被s整除。但r与s互素，所以的每一个系数必须被s整除，这就是说，s是多项式的每系数的一个公因数。但是一个本原多项式，因此s=1,而和显然各与和有相同的次数，这样，f(x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。3.艾森斯坦因判断法及推广定理2.8.3设是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p,使（i）最高次项系数不能被p整除，（ii）其余各项的系数都能被p整除，（iii）常数项不能被p整除，那么多项式f(x)在有理数域上不可约。证若是多项式f(x)有理数域上可约，那由定理2.8.2,f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=g(x)h(x)这里并且k<n,l<n,k+l=n.由此得到因为被p整除，而p是一个素数，所以或被p整除。但不能被整除，所以与不能同时被p整除.不妨假定被p整除而不能被p整除。g(x)的系数不能全被p整除，否则f(x)=g(x)h(x)的系数将被p整除，这与假定矛盾.令g(x)中第一个不能被p整除的系数是。考察等式由于在这个等式中都被p整除，所以也必须被p整除.但p是一个素数，所以与中至少有一个被p整除，这是一个矛盾.我们知道，在复数域上只有一次的多项式是不可约的，而在实数域上只有一次和一部分二次的多项式是不可约的，然而应用艾森斯坦因判断法我们很容易证明以下事实：有理数域上任意次的不可约多项式都存在.艾森斯坦因判断法不是对于所有整每当多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p不总存在。若是对于某一多项式样f(x)找不到这样的素数p，那么f(x)可能在有理数域上可约也可能不可约.例如，对于多项式与来说，都找不到一个满足判断法的条件的素数p.但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一多项式不可约.有时对某一多项式f(x)来说，艾森斯大林坦因判断法不能直接应用，但是把ff(x)适当亦形后，就可以应用这个判断法。我们看一个例子，设p是一个素数，多项式叫做一个分圆多项式。我们证明，f(x)在Ｑ［x］中不可约。在这里不能直接应用艾森斯坦顺判断法。但是如果令x=y+1,那么由于我们得到令g(y)=f(y+1).于是g(y)的最高次项系数不能被p整除。其余的系数都是二项式系数，它们都能被p整除。事实上，当k<p时，.因为是一个整数，所以右端的分子能被k!整除。但k!与p互素，所以.因此是p的一个整数.但g(y)的常数项不能被p整除。这样，由艾森施坦因判断法，g(y)在有理数域上不可约。F(x)也在有理数域上不可约，因为如果存在,，使得那么，，这里，.4.求有理系数多项式的有理根问题定理2.8.4设是一个整系数多项式.若是有理数是的一个根，这里和是互素的整数，那么v整除f(x)的最高次项系数，而u整除f(x)的常数项，这里q(x)是一个有理系数多项式。我们有，这是vx-u是一个本原多项式，因为u和v互素。另一方面，q(x)可以写成这里是一个有理数而f(x)是一个本原多项式：这样，这里r和s是互素的整数并且s>0,而vx-u和都是本原多项式。由此，和定理2.8.2的证明一样，可以推得s=1,而，⑶这里是一个整系数多项式，令.那么由(3)得比较系数，得，这就是说n整除而整除另一方面，比较（2）和（3），得q(x)=nq1(x)，所以q(x)也是一个整系数多项式.给定了一个整系数多项式f(x)，设它的最高次项系数的因数是,它的常数项的因数是。那么根据定理2.8.4，欲求的有理根，我们只需对有限个有理数用综合除法来进行试验当有理数的个数很多的时候，对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.面的讨论使我们能够简化计算。首先，1与-1永远在有理数中出现，而计算f(1)与f(-1)并不困难，另一方面，若是有理数a(¹1)是f(x)的根，那由定理2.8.4,f(x)=(x-a)q(x),而q(x)也是一个整系数多项式。因此商，

都应该是整数。这样，我们只需对那些使商 都是整数的来进行试验。（我们可以假定f(1)与f(-1)都不等于零。否则可以用(x-1)或(x+1)除f(x)而考虑所得的商式。）例求多项式的有理根.这个多项式的最高次项系数3的因数是1,3,常数项-2的因数是1,2所以可能的有理根是1,，我们算出，f(1)=12,f(-1)=-8.所以1与-1都不是f(x)的根。另一方面，由于—8，—8，121+21+2/31+2/3都是整数，所以有理数-2,在试验之列。应用综合除法,,：-23515-2-62-623-13-10所以-2是f(x)的一个根。同时我们得到容易看出,-2不是的根，所以它不是f(x)重根。对g(x)应用综合除法：-1/33-13-1-12/33-23（2/3）至此已经看到，商式不是系数多项式，因此不必再除下去就知道，-1/3不是g(x)的根，所以它也不是f(x)的根。再作综合除法：1/33-13-11013030所以是g(x)的一个根，因而它也是f(x)的一个根，容易看出，不是f(x)的所以1/3是g(x)的一个根，因而它也是f(x)的一个根，容易看出，1/3不是f(x)的重根。这样，f(x)的有理根是-2和1/3作业P80:1,2,3,4.多元多项式教学目的正确理解和掌握多元多项式的概念、运算规则及性质教学重点掌握多元多项式的表示法（字典排序法），熟练掌握多元多项式的运算规则，熟练掌握多元多项式运算法则。教学难点多元多项式的乘法运算、乘积的首项、乘积的次数。教学过程设R是一个数环，1R，令是n个文字。1、单项式形式如：的表达式叫做R上的一个单式。其中是非负整数。单项式的记法：如果某一个k0，则x可以不写；如果a1，则可记为2、多项式的字典排序法、多项式的首项定理2.9.1数环R上两个n元多项式与的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。证设的首项为，的首项为则的首项为（证明的其它的项都小于该项）3、齐式设是一个n元多项式。如果各项都有同一次数k，那么就称它是一个次齐次多项式，简称k次齐式。任意一个n元多项式，总可以写成若干个齐式的和：这里，如果fi0,fi就是一个i次齐式。定理2.9.2数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式的次数的和.证设数环R上的两个多项式其中fi,gj或者等于零，或者分别是i，j次齐式（），且fs0,gt0。于是因为fsgt0且是st齐式，而其它所有的figj都是ij次齐式，因此4、多元多项式函数设是数环R上的n元多项式，对于，有唯一确定的，如果，那么数组叫做的一个零点。给定了R上一个n元多项式，我们可以定义一个函数（映射）；=+=则对于，都有=+=定理2.9.3设是数环R上一个n元多项式。如果对于任意，都有，那么。证对n作归纳法证明。当n＝1时就是定理2.6.3的直接推论。假设n＞1，并且对于R上的n－1个文字的多项式来说定理成立。当n时，设是R上一个n元多项式，将按xn的升幂形式，表达：其中是有关文字（n－1个文字）的多项式。对于，都是有关文字的一元多项式，这里。如果对于任意的，都有，那么取定任意和cnR，都有因为对于一元多项式来说，如果对于任意的cnR，都有gc(cn)0，则gc(xn)的系数全为零，即.然而是任意的，由归纳假设，有从而推论2.9.4设与是数环R上一个n元多项式。如果对于任意都有，那么=推论2.9.3与一元多项式定量2.6.5相同，即两个多项式（一个文字元，或者是n个文字）相等，当且仅当它们所定义的函数相等证明令=—由于对任意的，都有所以—由定理2.9.3，，即=2.10对称多项式教学目的理解对称多项式的概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的方法。教学重点对称多项式的概念，对称多项式表成初等对称多项式的方法。教学难点对称多项式表成初等对称多项式。教学过程在这一节里，我们将讨论一下对称多项式.对称多项式是一类重要的多元多项式,它的应用也比较广泛回忆一下,在1.2里,我们曾把一个有限集合到自身的双射叫做这个集合的一个置换.设I={1,2,,n}是前n个自然数码所成的集合.是I的一个置换.记那么仍是1，2,,n这n个数码,只不过是排列的次序有所不同.我们把叫做1，2,,n这n个数码的一个排列.现在设是数环R上n个文字的一个多项式.指标集的置换引起这n个文字所成的集合的一个置换:，仍是R上n个文字的一个多项式,一般来说,.例如,设而。那么定义1设是数环R上一个n元多项式.如果对于这n个文字的指标集{1,2,,n}施行任意一个置换后,都不改变,那么就称是R上一个n元对称多项式.例如,是整数环上一个n元对称多项式.是整数环上一个三元对称多项式.不难看出,两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元对称多项式.根据对称多项式的定义,如果一个对称多项式含有一项，那么也一定含有一切形如的项,这里是1,2,,n的任意一个排列.在对称多项式的理论中,所谓初等对称多项式占一个很重要的地位.看以下的n个n元多项式:，………，这里表示中每次取k个所作的一切可能乘积的和,这样的n个多项式显然都是n元对称多项式.我们称这n个多项式为n元初等对称多项式.我们以下将要证明,每一个n元对称多项式都可以唯一地表成初等对称多项式的多项式.这就是所谓的对称多项式的基本定理.为此,首先证明以下引理2.10.1设是数环R上一个n元多项式.以代替i,1in,得到关于的一个多项式，如果,那么一切系数，证假设不是所有的系数都等于零.那么至少有一项的系数不为零.设是的一项.把这一项中表用示式(1)代入,我们得到的一个多项式.根据定理2.9.1,这个多项式的首项是中两个非同类项化成的的多项式的首项不会是同类项.事实上,设是的另外一项,且至少有某一i1in,使得kl把这一项写成的多项式以后,它的首项是如果这一项与是同类项,那么必须有，，，由此得出从而导致矛盾.这样,把多项式中每一个系数不为零的项展成的多