2021高考数学一轮复习第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课时作业含解析新人教B版

PAGE平面向量的数量积及应用课时作业1．(2019·吉林市调研)如果向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，那么下列结论正确的是()A．|a|＝|b| B．a·b＝2eq\r(2)C．(a－b)⊥b D．a∥b答案C解析|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，A错误；a·b＝2，B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，∴(a－b)⊥b，C正确．故选C.2．若|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝()A．1 B．－1C．7 D．－7答案C解析a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝7.故选C.3．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝()A．－3 B．－2C．2 D．3答案C解析∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴eq\r(12＋(t－3)2)＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.故选C.4．如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，则·＝()A．2eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)答案D解析·＝(＋)·＝·＋·＝·＝eq\r(3)·＝eq\r(3)||||·cos∠BDA＝eq\r(3)||2＝eq\r(3).故选D.5．已知向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°答案A解析cos∠ABC＝＝eq\f(\r(3),2)，所以∠ABC＝30°.故选A.6．(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，|a|＝eq\r(2)，则a在b方向上的投影为()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析∵a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝eq\r(2)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2).故选C.7．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5答案A解析由|a＋b|＝eq\r(10)得a2＋b2＋2a·b＝10，①由|a－b|＝eq\r(6)得a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.故选8．(2019·山东济南模拟)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4 B．－4C.eq\f(9,4) D．－eq\f(9,4)答案B解析由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq\f(n2,m·n)＝－eq\f(n2,|m||n|cos〈m，n〉)＝－eq\f(|n|2,|m||n|×\f(1,3))＝－3×eq\f(|n|,|m|)＝－3×eq\f(4,3)＝－4.故选B.9．(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为正，故不等号两边平方得2＋2＋2||||cosθ>2＋2－2||·||cosθ(θ为与的夹角)，整理得4||||·cosθ>0，故cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件．故选C.10．(2019·温州模拟)如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则·的最小值为()A．－1 B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)答案B解析设||＝t≥0，因为＝－，则·＝(－)·＝2－·＝t2－eq\f(\r(2),2)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),4)))2－eq\f(1,8)≥－eq\f(1,8)，当t＝eq\f(\r(2),4)时取等号，所以·的最小值为－eq\f(1,8).故选B.11．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1,2] B．[2,4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2.因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以eq\f(1,2)≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).12．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为()A.eq\f(21,16) B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16) D．3答案A解析解法一：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，C(0，eq\r(3))，令E(0，t)，t∈[0，eq\r(3)]，∴·＝(－1，t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，t－\f(\r(3),2)))＝t2－eq\f(\r(3),2)t＋eq\f(3,2)，∵t∈[0，eq\r(3)]，∴当t＝－eq\f(－\f(\r(3),2),2×1)＝eq\f(\r(3),4)时，·取得最小值，(·)min＝eq\f(3,16)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(21,16).故选A.解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝eq\r(3)，∵＝＋λ，∴＝＋＝＋＋λ，∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋||2＋λ·＋λ2||2＝3λ2－eq\f(3,2)λ＋eq\f(3,2).当λ＝－eq\f(－\f(3,2),2×3)＝eq\f(1,4)时，·取得最小值eq\f(21,16).13．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.答案－eq\f(\r(2),10)解析∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|b|＝eq\r((－8)2＋62)＝10.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).14．(2019·南宁模拟)已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________.答案eq\r(10)解析由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝eq\f(1,2)，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×eq\f(1,2)＝10，所以|2α＋β|＝eq\r(10).15．(2019·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则eq\f(AB,AC)的值是________．答案eq\r(3)解析解法一：如图1，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)(＋)，＝－＝－eq\f(1,3)，∴6·＝eq\f(3,2)(＋)·＝eq\f(3,2)2－eq\f(1,2)2＋·＝·，整理可得2＝32，∴eq\f(AB,AC)＝eq\r(3).解法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．设E(1,0)，C(a，b)，则B(3,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋3,2)，\f(b,2))).eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(lAD：y＝\f(b,a＋3)x，,lCE：y＝\f(b,a－1)(x－1)))⇒Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋3,4)，\f(b,4))).∵·＝6·，∴(3,0)·(a，b)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋3,4)，\f(b,4)))·(a－1，b)，即3a＝6eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((a＋3)(a－1),4)＋\f(b2,4)))，∴a2＋b2＝3，∴AC＝eq\r(3).∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).16．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则·的最小值为________．答案eq\f(15,4)解析解法一：如图，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ，＝＋＝＋(λ－1)，∴·＝(＋λ)·[＋(λ－1)]．又||＝2，||＝1，且AB⊥BC即·＝0，∴·＝4＋λ(λ－1)＝λ2－λ＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co