极大无关组求法_第1页
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文档简介

方法2逐个判别法给定一个非零向量组A：1,2,…,n

1

设1

0，则1线性相关，保留1

2

加入2，若2与

1线性相关，去掉2；若2与

1线性无关，保留1

，2；

3

依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的极大无关组第一页，共9页。求A的极大无关组解：因为a1非零，故保留a1取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相关。所以极大无关组为a1，a2第二页，共9页。初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性方法3初等变换法第三页，共9页。

可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B,则B的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系。（行变换对列没有影响）第四页，共9页。即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和线性表出性。第五页，共9页。同理,也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵,通过做初等列变换来求向量组的极大无关组。(1)以向量组中各向量为列向量构成矩阵A;(2)对A做初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可求出r(A)=r(向量组的秩为r，说明向量组中线性无关的向量最多有r个，任何r+1个线性相关).(3)在A中找出r个线性无关的向量即是所求向量组的极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。由此提供了求向量组的极大无关组的方法：第六页，共9页。例

求向量组1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T,的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。解以1,2,3,4为列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：

第七页，共9页。知r(A)=2,故向量组的极大无关组含2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1,2列,

故1,2为向量组的一个极大无关组事实上，知r(1,2)=2,故1,2

线性无关求极大无关组方法,找阶梯型矩阵非零行的非零首元所在的列第八页，共9页。为把3,4用1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵

记矩阵B=(1,

2,

3,

4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量1,2,3,4与向量1,

2,

3,

4之间有相同的线性关系。因此3=21-2,4

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