课题几何图形与一元二次方程

课题：几何图形与一元二次方程【学习目标】会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题，并从中体会几何图形的性质在寻找等量关系中所起的作用．【学习重点】根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．【学习难点】根据面积与面积之间的等关系建立一元二次方程的数学模型．情景导入生成问题填空：1．矩形的长和宽分别为am和bm，则其面积为abm2.2．圆的半径为rcm，则其面积为πr2cm2.3．长方体的长、宽、高分别是acm，bcm，ccm，则其体积为abccm3.4．直角三角形的两直角边长分别为acm和bcm，斜边长为ccm，则a，b，c之间的数量关系为a2＋b2＝c2．自学互研生成能力eq\a\vs4\al(知识模块面积问题与一元二次方程)【自主探究】阅读教材P20～P21探究3，完成下列问题：1．探究3中求出x的值有两个，是否两个值都符合题意呢？答：x＝eq\f(6＋3\r(3),4)不符合题意，因为当x＝eq\f(6＋3\r(3),4)时，中央的矩形的长为27－18×eq\f(6＋3\r(3),4)≈－，出现了负数．2．除了教材中的解法外，你还能想出其他的解法吗？解：还有其他的解法，答案不唯一，如：解法二：设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm.依题意得9x·7x＝eq\f(3,4)×27×21.解方程，得x1＝eq\f(3\r(3),2)，x2＝－eq\f(3\r(3),2)(不合题意，舍去)．故上下边衬的宽度为：eq\f(27－9x,2)＝eq\f(27－9×\f(3\r(3),2),2)＝eq\f(54－27\r(3),4)≈.左右边衬的宽度为：eq\f(21－7x,2)＝eq\f(21－7×\f(3\r(3),2),2)＝eq\f(42－21\r(3),4)≈.【合作探究】：依据探究中的解题方法，完成下列问题．范例：如图，某旅游景点要在长，宽分别为20米，12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的eq\f(1,4)，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的eq\f(1,6)，求道路的宽．解：设道路的宽为x米，则正方形边长为4x.可列方程为：x(12－4x)＋x(20－4x)＋16x2＝eq\f(1,6)×20×12.即：x2＋4x－5＝0.解得x1＝1，x2＝－5(舍去)．答：道路的宽为1米．变例：一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长．解：设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40－2x)cm，(28－2x)cm，根据题意，得(40－2x)(28－2x)＝364.整理，得x2－34x＋189＝0.解得x1＝27，x2＝7.如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x1＝27不合题意，应当舍去．答：截去的小正方形的边长为7cm.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块面积问题与一元二次方程当堂检测达成目标【当堂检测】1．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为(22－x)(17－x)＝300．2．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m.3．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，这两条直角边长分别为2cm、7cm．【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________