习题二十一格林公式及其应用(续)

习题二十一格林公式及其应用（续）一、证明以下曲线积分在整个xoy平面内与路径没关，并计算积分值（1）(2,3)y)dx(xy)dy(x(1,1)解：Pxy,Qxy,明显P和Q在整个xoy面内拥有一阶连续偏导数，又P1Qy，因此积分与路径没关。x取点(1,1)到(2,3)的直线y2x1,1x2,故(2,3)(xy)dx(x2[(3x1)(125(1,1)y)dyx)2]dx(1x)dx。112（2）(6,8)1)dx(x2eyy)dy(2xey(1,2)解：P2xey1,Qx2eyy,明显P和Q在整个xoy面内拥有一阶连续偏导数，又P2xeyQ，因此积分与路径没关。yx取点(1,2)到(6,8)的路径如图，故(6,8)1)dx(x2eyy)dy61)dx8y)dy36e8e235。(2xey(2xe2(36ey(1,2)12(1,1)y)dx(xsiny)dy（3）(sinx(0,0)解：Psinxy,Q(xsiny),明显P和Q在整个xoy面内拥有一阶连续偏导数，又P1Qy，因此积分与路径没关。x取点(0,0)到(1,1)的直线yx,0x1，故(1,1)y)dx(xsiny)dy1x)(xsinx)]dx1(sinx[(sinx2xdx1。(0,0)00二、求exsinydxexcosydy，L：沿yx22x上从点(0,0)到点(4,8)。L解：Pexsiny,Qexcosy,明显P和Q在整个xoy面内拥有一阶连续偏导数，又PexcosyQ，因此积分与路径没关。yx取点(0,0)到(4,8)的路径如图，故exsinydxexcosydyL()exsinydxexcosydyL1L248e4cosydy0dx00e4sin8三、设I[ex2f(x)]ydxf(x)dy与积分路径L没关，且f(1)1，求L(1,1)[ex2f(x)]ydxf(x)dy之值。I(0,0)解：I12f(x)]0f(x)0}dx12f(1)]y0f(1)}dy{[ex{[e1001f(1)dy0(1)1四、确立的值，使曲线积分I(x44xy3)dx(6x1y25y4)dy与积分路线没关，L并求(1,2)(x44xy3)dx(6x1y25y4)dy之值。(0,0)解：Px44xy3,Q6x1y25y4,P12xy2,Q6(1)x2y2,yx由条件知PQ,yx因此3。取点(0,0)到(1,2)的直线y2x,0x1，故I(x44xy3)dx(6x2y25y4)dyL132x4)(6x24x2516x4)2]dx[(x4010

79x4dx795五、考证以下各表达式是某一个函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)（1）4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdy解：P6cos3ysin2xQ,yx因此该表达式是某个定义在xoy面内的函数u(x,y)的全微分。u(x,y)(x,y)3cos3ycos2xdyC4sinxsin3ycosxdx(0,0)xdxy3cos3ycos2xdyC000cos2xsin3yC（2）(lny1)dxxdy（在第I象限内）xy解：P1Q,yyx因此该表达式是某个定义在第一象限内的函数u(x,y)的全微分。u(x,y)(lny1)dxxdyC(x,y)(1,1)xyx11)dxyxC(lnxdy11yxlnxxlnyC六、设F(x,y)(k3)(xiyj)是定义在右半平面的力场，此中k为常数，rx2y2,证明在此力场中场力所作的功与路径没关。证明：关于由半平面内的任一曲线L，F(x,y)沿L所作的功