2023年导数知识点各种题型归纳方法总结

导数的基础知识一.导数的定义：２.运用定义求导数的环节：①求函数的增量:;②求平均变化率：;③取极限得导数:（下面内容必记)二、导数的运算:(1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①;②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧法则1：;(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则２:（口诀：前导后不导相乘,后导前不导相乘，中间是正号）法则３：(口诀：分母平方要记牢,上导下不导相乘,下导上不导相乘，中间是负号）(2）复合函数的导数求法：①换元,令，则②分别求导再相乘③回代题型一、导数定义的理解题型二:导数运算1、已知，则２、若,则３.=aｘ3＋３ｘ2+２,，则a=（)三．导数的物理意义1．求瞬时速度:物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数,即有。２．V=s/(ｔ)表达即时速度。ａ=v／（t)表达加速度。四.导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是:。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况:（1)曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是:（２)曲线过点处切线:先设切点,切点为,则斜率k=,切点在曲线上,切点在切线上,切点坐标代入方程得关于a,ｂ的方程组，解方程组来拟定切点,最后求斜率k＝,拟定切线方程。例题在曲线y=ｘ3+３x２+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程;解析:（1)当x0＝-１时,ｋ有最小值3，此时P的坐标为(-1,-14）故所求切线的方程为3x-ｙ-１1=0五．函数的单调性:设函数在某个区间内可导，（1）该区间内为增函数;(2）该区间内为减函数；注意:当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。(3)在该区间内单调递增在该区间内恒成立；(4)在该区间内单调递减在该区间内恒成立;题型一、运用导数证明（或判断)函数ｆ(x)在某一区间上单调性:环节:(1）求导数(2)判断导函数在区间上的符号（３)下结论①该区间内为增函数;②该区间内为减函数;题型二、运用导数求单调区间求函数单调区间的环节为:（1）分析的定义域;（2）求导数(3）解不等式,解集在定义域内的部分为增区间（４)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间题型三、运用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题）思绪一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立;（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思绪二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意:若函数f（x）在(ａ,ｃ）上为减函数，在(ｃ,b)上为增函数,则ｘ=ｃ两侧使函数(x）变号，即ｘ＝c为函数的一个极值点，所以例题．若函数,若则()A.ａ<ｂ<cB．c<b<ａC.c<ａ<ｂD.b<a<c六、函数的极值与其导数的关系:1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有(或,则称为函数的一个极大(或小）值，为极大（或极小)值点。②可导数在极值点处的导数为０（即),但函数在某点处的导数为0,并不一定函数在该处取得极值(如在处的导数为０，但没有极值）。③求极值的环节:第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根;第三步：列表考察在每个根附近,从左到右,导数的符号如何变化，若的符号由正变负,则是极大值;若的符号由负变正,则是极小值;若的符号不变,则不是极值,不是极值点。2、函数的最值:①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有,（或）则称为函数的最大(小）值，记作(或)②假如函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。③求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小:第三步:下结论:最大的为最大值,最小的为最小值。注意:1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数ｆ(x)在区间[a，b]上的最大值为极大值和f(ａ)、f(ｂ）中最大的一个。最小值为极小值和f(ａ)、f(b)中最小的一个。2.函数在定义域上只有一个极值，则它相应一个最值(极大值相应最大值；极小值相应最小值)3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为,极小值为２。注意：当x=ｘ０时,函数有极值f/（ｘ0)=0。但是,ｆ/（x０)＝0不能得到当x＝x0时，函数有极值;判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数的符号单调性与x轴的交点且交点两侧异号极值的增减性的每一点的切线斜率的变化趋势(的图象的增减幅度)的增的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快)减的每一点的切线斜率减小（的图象的变化幅度慢)例1.已知f(ｘ)=eｘ-ax-1．（1)求ｆ(x)的单调增区间;(2)若f(x）在定义域Ｒ内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在ａ，使f(x)在（－∞，0]上单调递减,在[０,+∞)上单调递增？若存在，求出ａ的值;若不存在，说明理由.解：＝ex-a.(１)若a≤0,＝eｘ-a≥0恒成立，即f(ｘ)在R上递增.若a>0,ex-a≥０,∴ｅx≥a，x≥lｎa．∴f(ｘ）的单调递增区间为(lｎa,+∞).(2)∵f（x)在R内单调递增,∴≥0在R上恒成立.∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex）min，又∵ex>0,∴a≤０.(3)由题意知，x=0为ｆ（x)的极小值点.∴＝0,即ｅ0-a=0,∴a＝1.例2.已知函数f(ｘ)＝x3+ax２+bx+c，曲线ｙ=f（x)在点ｘ=1处的切线为ｌ：3x-ｙ+1=０，若x=时，ｙ＝f(x）有极值.（１)求ａ，b,ｃ的值；（2）求y=f(x)在［-3,１]上的最大值和最小值.解（１）由ｆ（ｘ)=x３+ａｘ２+bx＋ｃ,得=3x２+2aｘ+b,当ｘ=１时，切线ｌ的斜率为３,可得２ａ+b=0①当x=时,y=f(ｘ)有极值,则＝０，可得4ａ+3b＋4=0②由①②解得a=2，ｂ=-4．由于切点的横坐标为x=1,∴f(１)＝4.∴１+a+b+c=４.∴ｃ＝5.（2）由（１）可得f(x)=x3+2x２-4ｘ+5,∴=３x2+4x-4,令=0,得ｘ=－２，x=.当x变化时,y,y′的取值及变化如下表:ｘ-３(-3,-2)－2１y′+0-0＋ｙ8单调递增↗13单调递减↘单调递增↗4∴y=ｆ(x）在［-３，1］上的最大值为１3,最小值为例3.当，证明不等式.证明：,,则，当时。在内是增函数，,即，又，当时,，在内是减函数,,即，因此，当时,不等式成立.点评:由题意构造出两个函数，.运用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.七定积分求值1.定积分的概念设函数在区间上连续,则２.用定义求定积分的一般方法是：①分割:等分区间；②近似代替：取点;③求和:;④取极限：3.曲边图形面积：;在轴上方的面积取正,下方的面积取负变速运动路程；变力做功4．定积分的性质性质1（其中ｋ是不为0的常数）性质2性质3（定积分对积分区间的可加性)５.定理函数是上的一个原函数,即则导数各种题型方法总结(一）关于二次函数的不等式恒成立的重要解法：1、分离变量;2变更主元；３根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1)对称轴（重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在(二)分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充足应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个环节进行解决：第一步：令得到两个根;第二步:画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见解决方法有三种：第一种：分离变量求最值－---－用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0，<0)第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元）;例１:设函数在区间D上的导数为,在区间Ｄ上的导数为,若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数，（１）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;(２)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值．解：由函数得（1）在区间上为“凸函数”,则在区间[0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二:分离变量法:∵当时,恒成立，当时,恒成立等价于的最大值（）恒成立,而（)是增函数,则(2）∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)-22-22例2：设函数（Ⅰ)求函数f（x)的单调区间和极值;(Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.(二次函数区间最值的例子)解:(Ⅰ）3aa3aaa3aa3a令得的单调递增区间为(a,３a）令得的单调递减区间为（-，a)和（３a,+)ﻩ∴当x=a时，极小值=当x=３a时,极大值=b． （Ⅱ)由｜｜≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。上是增函数. (9分）∴于是，对任意,不等式①恒成立,等价于又∴点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间）与定义域的关系第三种:构造函数求最值题型特性：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值;（Ⅱ)当时,求的值域；（Ⅲ）当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。解：（Ⅰ)∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知,在上单调递增,在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是(Ⅲ)令思绪1:要使恒成立,只需,即分离变量思绪2:二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1:转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:运用子区间（即子集思想）;一方面求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,ｎ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知,函数．(Ⅰ)假如函数是偶函数,求的极大值和极小值；(Ⅱ)假如函数是上的单调函数，求的取值范围．解:．(Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，令,解得：.列表如下:(－∞,－２)-2（-2，２）２(2，+∞）+0－０+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为,的极小值为.(Ⅱ）∵函数是上的单调函数,∴,在给定区间R上恒成立判别式法则解得:.综上,的取值范围是.例5、已知函数(I）求的单调区间；（II)若在[0，1]上单调递增，求ａ的取值范围。子集思想(Ｉ）1、当且仅当时取“=”号，单调递增。2、a-1-1单调增区间:a-1-1单调增区间:(II）当则是上述增区间的子集:1、时,单调递增符合题意2、，综上，ａ的取值范围是[0，1］。三、根的个数问题提型一函数f(x）与ｇ(x)（或与x轴)的交点===＝＝=即方程根的个数问题解题环节第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大体趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）;重要看极大值和极小值与０的关系;第三步:解不等式(组）即可；例6、已知函数，，且在区间上为增函数．求实数的取值范围;若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解:（1）由题意∵在区间上为增函数,∴在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立,又，∴，故∴的取值范围为(２)设，令得或由（1)知,①当时,,在R上递增,显然不合题意…②当时,，随的变化情况如下表:—↗极大值↘极小值↗由于,欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道,部分根可求或已知。例7、已知函数（1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值；（２)若，在(1)的条件下，是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。解：(1)∵的图像过原点,则,又∵是的极值点，则-1-1（2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于有含的三个根,即:整理得:即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了:)有含的根，则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于－1的不等实根。题型二：切线的条数问题＝=＝=以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为，求:(1）的解析式;（２）若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.（1)由题意得:∴在上；在上;在上因此在处取得极小值∴①，②,③由①②③联立得：,∴ﻩ(2）设切点Q,过令，求得:,方程有三个根。需:故：；因此所求实数的范围为：题型三：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=eq\f(１,3)x3－ｅｑ\f(7,2)ｘ２＋１０x，＝x２－7x＋10，令，解得或．令,解得可知函数ｆ(ｘ)的单调递增区间为和（5,＋∞）,单调递减区间为.（Ⅱ)=ｘ2－(ｍ＋3）ｘ+m+6,1要使函数y＝ｆ(x)在（1,+∞)有两个极值点,=x２－(ｍ+3)ｘ＋m+6=0的根在(１,＋∞)1根分布问题：则，解得m>3例9、已知函数,（1)求的单调区间;(2）令=x4+f（x）（x∈R)有且仅有３个极值点，求a的取值范围.解:(1)当时，令解得,令解得,所以的递增区间为,递减区间为.当时,同理可得的递增区间为，递减区间为.（2）有且仅有3个极值点＝0有３个根，则或，方程有两个非零实根,所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：(一)最值问题与主元变更法的例子.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是－11.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ）若时,恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ)令=0,得由于，所以可得下表:0+0-↗极大↘因此必为最大值,∴因此,，即，∴，∴（Ⅱ)∵,∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,为此只需，即,解得,所以所求实数的取值范围是[０，１］．（二）根分布与线性规划例子例：已知函数(Ⅰ）若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时，设点所在平面区域为S，通过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程．解：（Ⅰ）．由,函数在时有极值,∴∵∴又∵在处的切线与直线平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一：由及在取得极大值且在取得极小值，∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ＡＢＣ,易得,，,,,同时DE为△ABC的中位线，∴所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于ｘ轴的直线L也将S分为面积比为１：3的两部分,设直线Ｌ方程为,它与ＡＣ，BC分别交于Ｆ、G，则，由得点F的横坐标为：由得点G的横坐标为:∴即解得:或（舍去）故这时直线方程为:综上,所求直线方程为：或.…………….………….12分(Ⅱ）解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令，则∴∴故点所在平面区域S为如图△AＢC,易得，,,,，同时DE为△ＡBC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为：,设直线BO与AＣ交于H，由得直线L与AC交点为:∵,