2023年初中数学知识点

初中数学知识点汇总相反数:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数，也称为这两个数互为相反数。0的相反数是0。用数学语言表述为：若a、b互为相反数,则a＋ｂ=０即，反之也成立。数a的相反数是－a。倒数:若a、b(a、ｂ均不为0）互为倒数，则aｂ=1即,反之也成立。ａ的倒数是。0没有倒数，1和－１的倒数是它们自身。有理数和无理数统称为实数。实数分为有理数和无理数，也可分为正实数、０、负实数。实数与数轴上的点一一相应。有理数分为正有理数、０、负有理数,它们均是有限小数或无限循环小数;也可分为整数和分数,整数又分为正整数、0、负整数;分数又分为正分数、负分数。无理数分为正无理数和负无理数，它们都是无限不循环小数。π是无理数,是分数是小数是有理数,0是自然数。绝对值的几何定义:在数轴上，一个数所相应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,数a的绝对值记为“|ａ|”。代数定义:一个正数的绝对值是它自身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是０。于是,|a|=a；|a|=-aa≤0。任何一个实数的绝对值都是非负数,即|a｜≥0。或，或若|x|＝a(a≥0),则x＝±a,即绝对值的原数的双值性。数轴上两点A（）、B（）之间的距离为|AB|＝|-｜，其中点所表达的数为。坐标平面内两点A(,）、B（,）的距离为：|AB｜=,中点C的坐标为(,)，点Ａ到x轴的距离为||,到y轴的距离为||，到原点的距离为,假如=且≠，则直线AB平行于ｙ轴;假如=且≠，则直线AB平行于x轴。科学记数法：把一个数写成±ａ×10n的形式（其中1≤a<１0,n是整数)这种记数法叫做科学记数法。记数的方法：（1)拟定ａ;a是只有一位整数数位的数；(2)拟定n；当原数≥1时，n等于原数的整数位数减１；当原数<１时，ｎ是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零)。近似数：按某种接近限度由四舍五入得到的数或大约估计数叫做近似数。一般地,一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。一个数的近似数,经常要用科学记数法来表达。有效数字：一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1）精确到哪一位数;（2）保存几个有效数字。近似数非零数之间的0和尾巴上的0都是有效数字。实数大小的比较：在数轴上表达的两个数，右边总比左边的大；正数大于零;负数小于零；正数大于一切负数；两个负数,绝对值大的反而小。实数加法法则:（1)同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；（2）异号两数相加,绝对值相等时,和为０；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。加法互换律a+b＝b+a；加法结合律（a＋b)＋c=a＋(b+c)减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=ａ＋（－b)减法运算的环节:(1）将减号变成加号，把减数的相反数变成加数;（2）按照加减运算的环节进行运算。两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。实数乘法与加法运算环节同样，第一步拟定符号,第二步拟定绝对值。零乘以任何数都得0。乘法互换律ab=ba；乘法结合律（ａb)c＝a（bｃ);乘法分派律a(b+c)=ab+ac两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0;除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a·(b≠0)乘方运算的性质：（1)正数的任何次幂都是正数;(2）负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;（3）任何数的偶次幂都是非负数；（４)－1的偶次幂是1，-1的奇次幂是－１;(5)1的任何次幂都是1,0的任何非零次幂都是0;(６)负整数指数幂(7)零指数幂列代数式及代数式的求值：用运算符号把数与表达数的字母连接而成的式子,叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式;代数式分为有理式、无理式，有理式又分为整式、分式，整式分为单项式、多项式。列代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表达的运算顺序。一般来说,先读的先写；要对的使用表白运算顺序的括号;列代数式时,出现乘法时，通常省略乘号,数与字母相乘,要将数写在字母前面;带分数要化成假分数,然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”号：出现除法运算时,一般按分数的写法来写。代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算顺序计算出结果。列代数式时,假如代数式后跟单位，应当将具有加减运算的代数式用括号括起来。同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把同类项合并成一项就叫做合并同类项。合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变,系数相加。同类项与系数的大小没有关系。单项式:数与字母的乘积的代数式叫做单项式,单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单独一个数或一个字母也是单项式。单独一个非零数的次数是0。多项式:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项,一个多项式中，次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式。π是数，是一个具体的数，而不是一个字母。0是单项式，也是整式。整式的加减法则:整式的加减实质上是合并同类项。几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接起来,一般环节是:（1)假如碰到括号,按去括号法则先去括号；(２）合并同类项。同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加,即aｍ·aｎ=ａm+n(m、n都是正整数)幂的乘方与积的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即（ａｍ）n=amn（m、ｎ都是正整数)；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂的相乘,即（ab)n＝ambn(ｎ是正整数）单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分派律用单项式去乘以多项式的每一个项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。平方差公式:(a＋b）（a-b)=a２-ｂ2；完全平方公式:(a±ｂ）2＝ａ2±2ab+b2完全平方式：a2±2aｂ+b2，特别注意交叉项的正负性和2倍。(ａ+b)2=(ａ-b）2+4ab同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变，指数相减,即am÷aｎ=ａm-n（a≠0，ｍ、n都是正整数,ｍ>ｎ)零次幂、负整数次幂的意义：ａ0=1（a≠0）；ａ-p=(ａ≠0,ｐ是正整数)单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式,对于只在被除式里具有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式:一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。应当注意整式乘法与除法中的符号运算。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式,多项式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。分解因式的公式：平方差公式：ａ2-b2=（a＋ｂ)（a－b);完全平方公式:ａ2±2ab+b2=(ａ±b)2分解因式的一般环节：提公因式；二项考虑平方差公式,三项的考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法。有时得用换元法（整体考虑）或者比较系数法。几个整式相乘，所有最高次项相乘得最高次项,最低次项相乘得最低次项。分式:假如除式B中具有字母，那么称为分式。当B＝0时，分式无意义；当Ａ＝0且Ｂ≠０时，分式的值为０;当Ｂ≠0时,分式故意义。分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即。分式的乘除法:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后现与被除式相乘。即。约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。分子、分母和分式三个符号的同时改变两个,其结果不变，分数线有时起着括号的作用，即。分式的加减法:同分母的加减，分母不变，把分子相加加减；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。即。分式的乘方：混合运算:先乘方，再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的。解分式方程的一般环节:去分母，将分式方程化为整式方程;解这个整式方程;验根,把整式方程的根代入最简公分母,若值不为0，则是原方程的根，若值为０,则是原方程的增根，舍去。分式方程的应用：分式方程应用题与一元方程应用题类似,不同的是注意双检查：（１）检查所求的解是不是原方程的解；（2）检查所求的解是否符合题意。注意已知增根，求待定字母的取值。分式方程有解的条件为:去分母后的整式方程有解;去分母后的整式方程的解不能都为增根。当结果中具有根式时,一定要化成最简根式。二次根式的相关概念:(1)平方根和算术平方根。一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数ｘ就叫做a的算术平方根,记为，我们规定0的算术平方根是0,即。假如一个数ｘ的平方等于a,即x2=a，那么这个数ｘ就叫做a的平方根(也叫二次方根）,记为±。一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0自身；负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。(2)立方根。假如一个数ｘ的立方等于a，即ｘ3=ａ，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。一个正数正的平方根叫做它的算术平方根。最简二次根式:被开方数的因数都是整数，因式都是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。二次根式的化简：；;二次根式的计算：；;二次根式的加减法重要是把根式化成最简二次根式后合并同类二次根式。几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。两个具有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不再具有二次根式，称这两个二次根式互为有理化因式。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。两个式子比较大小的方法有：直接比较法、求差比较法、求商比较法、中间量传递;此外尚有指数形式往往把底数或指数化为相同；二次根式尚有分母有理化或分子有理化；方程(组)及解的概念:具有未知数的等式叫做方程。在一个方程中，只具有一个未知数x（元）,并且未知数的指数是１(次)，这样的方程叫做一元一次方程，其标准形式为。使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。具有两个未知数,并且所含未知数的的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。具有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。只具有一个未知数的整式方程,并且未知数最高次数是2的方程叫做一元二次方程,其一般形式为。方程或方程组的解法：(1)等式的性质：等式的两边同时加上(或减去）同一个代数式(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。(２）一元一次方程的解:一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1,把一个一元一次方程“转化”成x=ａ的形式。(3)二元一次方程组的解法：解方程组的基本思绪是“消元”——把“二元”变为“一元”。重要方法有代入消元法和加减消元法。其中代入消元法常用环节是：要消哪一个字母，就用含其它字母的代数式表达出这个字母,然后用表达这个字母的代数式代替此外的方程中的这个字母即可。(4)一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（５)一元二次方程的判别式。当＞0时有两个不相等的实数根；当=０时有两个相等的实数根；当<0时没有实数根。(6）若、是的两实数根,则有，。（7)对于一元二次方程，方程有一个根为0;方程有一个根为１；方程有一个根为-1;关于方程，(1)当时,方程有唯一解;（２）当a＝0,０时,方程无解；（３）当a=0，b＝０时,方程的解为全体实数。关于方程组,(1)当时方程组有唯一解；(2）当时方程组无解；(３)当时方程组有无数组实数解。用公式法解一元二次方程时,一方面要将一元二次方程化为一般形式,找出a,b,ｃ的值,即先计算判别式，再用求根公式；用配方法解一元二次方程时,先将方程二次项系数化为1，然后两边同时加上“一次项系数一半的平方”。特别注意别漏掉一个根。注意换元法的使用。一元二次方程的近似解的求法，实质是运用夹逼方法进行求解的。列方程、方程组解应用题的一般环节是：审题;设未知数；列方程或方程组;解方程或方程组；检查并写出答案。审题是基础，找出等量关系,建立方程（组）模型是关键。利润率==;打a折,即降价为本来的。降次的常用方法是:直接开方降次、分解因式降次,代入降次。不等式的性质：（1)基本性质1：不等式的两边都加上(或减去）同一个整式，不等号的方向不变；(2)基本性质２:不等式的两边都乘以（或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3）基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变。不等式和不等式组的解法：（1）能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解，求不等式的解集的过程叫做解不等式；(２)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。记住多画画数轴。求一元一次不等式（组）的整数解的环节：（1)求出一元一次不等式（组）的解集；（2)找出合适解集范围的整数解、非负数解、正整数解或负整数解。已知不等式组的解集,拟定不等式中的字母的取值范围,有以下四种方法:（1）逆用不等式组解；(2)分类讨论拟定;（3）从反而求解拟定;（４）借助数轴拟定。一次函数,当函数值y>0或y<0时，一次函数转化成不等式,运用函数图象、拟定函数值和自变量的取值范围。在平面内拟定一个点的位置,通常需要两个量,这两个量可以是两个数,也可以是一个角度、一个数。平面内,拟定物体位置的的方法重要有两类:（1)定点的位置：=1\*GB3①线线相交,用交点的唯一性位置；=2\＊GB3②方位角+距离:以某一点为观测点，用方位角、目的到达这个点的距离这两个数据来拟定目的的位置。(2）定区域的位置。平面直角坐标系点的坐标特性:（１)平面直角坐标系有关概念;（2）点的坐标特性:x轴上的点,纵坐标为零，y轴上的点,横坐标为零。即表达为（a,０)、(0,b）。第一象限点(＋,＋),第二象限(-,+），第三象限（-，-)，第四象限（+，-);（3)对称点的坐标：P(ａ,ｂ）关于ｘ轴，y轴和原点的对称点分别为(a,-ｂ),(-ａ，b),（-ａ，-b);P（ａ,b）关于y=x，y=-ｘ对称的点的坐标为(（ｂ,a），(-ｂ,－ａ)；P(ａ,ｂ)关于y=ｙ０，x=ｘ0对称的点的坐标为((ａ,２y0-b),(2x0-a,b）；（4）象限角平分线上的点的特性：第一、三象限角平分线上的点的特性是(a,a)（直线解析式为y=ｘ）;第二、四象限角平分线上的点的特性是（－a,a)或(ａ,－a)。图形的变化:变化前的点坐标(x,y)坐标变化变化后的点坐标图形变化平移横坐标不变,纵坐标加上（或减去)n(n>0）个单位长度(ｘ,ｙ+ｎ)或(x,y-n)图形向上(或向下)平移了n个单位长度纵坐标不变,横坐标加上(或减去)n(n>０)个单位长度(x＋n,y）或(x-n,ｙ)图形向右（或向左）平移了ｎ个单位长度伸长横坐标不变,纵坐标扩大n(n>１）倍(ｘ,nｙ)图形被纵向拉长为本来的n倍纵坐标不变，横坐标扩大n（n>1）倍(nx,y)图形被横向拉长为本来的n倍压缩横坐标不变,纵坐标缩小ｎ(n>1)倍(x,)图形被纵向缩短为本来的纵坐标不变,横坐标缩小n（n>１)倍（,y)图形被横向缩短为本来的放大横纵坐标同时扩大n（n>1）倍（nx,ｎy)图形变为本来的n2倍缩小横纵坐标同时缩小n（n>１)倍（,）图形变为本来的求与几何图形联系的特殊点的坐标,往往是向x轴或ｙ轴引垂线，转化为求线段的长，再根据点所在的象限，醒上相应的符号。求坐标分两种情况:(1）求交点，如直线与直线的交点；(２）求距离，再将距离换算成坐标，通常作x轴或y轴的垂线,再解直角三角形。一般地，在某一个变化过程中,有两个变量x和ｙ，假如给定一个ｘ值,相应夺就拟定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，ｙ是因变量。函数的表达法有三种：解析法、图象法、列表法。把一个函数关系式的自变量ｘ与相应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面坐标系内描出它的相应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。即：若点P(ｘ,y）的坐标满足函数关系式，则点Ｐ在函数图象上;反之,若点Ｐ在函数图象上，则P(x,y)的坐标满足函数关系式。描点法画函数图象的环节:列表、描点、连线。要使函数关系式故意义:函数关系式形式自变量取值范围整式函数全体实数分式函数使分母不为零根式函数偶次根式使被开方数非负奇次根式全体实数零指数、负指数形式函数使底数不为零正比例函数与一次函数的概念:(1）一次函数：形如(k≠0，ｋ，b是常数)的函数叫做一次函数。(２)正比例函数:形如,k是常数）的函数叫做正比例函数。（3）正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形。一次函数的图象和性质:(1）图象：一次函数的图象是过点（,０)，(０，b)的一条直线,正比例函数的图象是过点(0，0），（1，ｋ)的直线;|k|越大，(1,k）就越远离ｘ轴，直线与x轴的夹角越大；｜k|越小,（１，k）就离x轴越近,直线与x轴的夹角越小;（2)性质：ｋ>0时，ｙ随ｘ增大而增大;k<０时，y随x增大而减小；（3）图象跨越的象限:①k>０,b>0通过一、二、三象限;②k<0，b＞0通过一、二、四象限;③k>0,ｂ＜０通过一、三、四象限;④k<０,b<0通过二、三、四象限。即k＞０,一三;k<0，二四；ｂ＞０，一二；b<0,三四。(4）直线和的位置关系为:;相交于y轴上；b>0b=0ｂ<0增减性ｋ＞0yOyOxyOyOxyOyOxｙ随着x增大而增大ｋ<0yOyOxyOyOxyOyOxy随着ｘ增大而减小用割补法求面积,基本思想是全面积等于各部分面积之和，在割补时需要注意:尽也许使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上,这样表达面积较为方便。坐标平面内图形面积算法：把图形分割或补为底边在坐标轴或平行于坐标轴的直线上的三角形、梯形等。求函数的解析式往往运用待定系数法,待定系数法的环节:（1）设出含待定系数的函数解析式；(2）由已知条件得出关于待定系数的方程（组),解这个方程(组);(３)把系数代回解析式。仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系:(1)一元一次方程kx+b=y0(y0是已知数)的解就是直线上，y=y０这点的横坐标;（2）一元一次不等式y1≤ｋx+ｂ≤y2(y1,y2是已知数,且ｙ1<ｙ2)的解集就是直线上满足y１≤ｙ≤ｙ２那条线段所相应的自变量的取值范围。(3)一元一次不等式kx+ｂ≤y0(或kx+b≥ｙ０）（y０是已知数）的解集就是直线上满足y≤ｙ0(或y≥y0)那条线段所相应的自变量的取值范围。反比例函数的定义及解析式求法:(1）定义：形如（k≠0,k是常数)的函数叫做反比例函数,其自变量取值范围是ｘ≠０;(2)解析式求法:应用待定系数法求k值,由于k=xy,故只需要已知函数图象上一点,即求出函数的解析式。反比例函数的图象和性质：(１）图象：反比例函数的图象是双曲线,当k>0时，双曲线的两个分支在第一、三象限；当k<0时，双曲线的两个分支在第二、四象限。(２)性质:当k>0时,在每一象限内,ｙ随x的增大而减小;当k＜0时,在每一象限内，y随ｘ的增大而增大；图象是关于原点对称的中心对称图形,又是轴对称图形,其对称轴为ｙ=x，y=－ｘ。正、反比例函数图象及性质对比:k值函数性质k>0k<0(k≠０）图象yxOyxO(1,k)yxOyxO(1,k)性质y随着ｘ增大而增大y随着x增大而减小(k≠０）图象yxOyxO(1,k)yxOyxO(1,k)性质y随着ｘ增大而减小y随着ｘ增大而增大(1)利润最大、费用最低等一类问题，往往可通过建立函数模型进行解决;（２)运送等问题可采用列表或画图的方法来分析其数据间的关系，这样易于理清错综复杂的数据,对解题有极大的帮助;（3）方案设计问题,往往先建立不等式,转化为求不等式的整数解的问题。二次函数的定义和解析式求法:(1）形如(ａ、b、ｃ为常数,a≠0)的函数叫二次函数；(２)用待定系数法求二次函数解析式，其解析式有三种形式。一般式：,重要用于已知抛物线上任意三点的坐标;交点式:,其中（，０)与（，0）是抛物线与x轴的两点交点的坐标，重要用于已知与x轴两个交点的坐标或两点间的距离及对称轴;顶点式:，其中(h,ｋ）是抛物线的顶点坐标,重要用于已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小)值。二次函数的图象是一条抛物线，它具有以下性质：(1）抛物线的顶点坐标是（,),对称轴是直线；当ａ、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时,对称轴在y轴的右侧；当b＝0时，对称轴为y轴。(2)当ａ＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下;｜a|决定抛物线开口大小；|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小,抛物线开口越大。（3）当a>0,时,y有最小值；当a<0，时，y有最大值。(4）增减性：对于二次函数。①若ａ>0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随ｘ的增大而增大;②若a<0,当时,y随x的增大而增大;当时，y随ｘ的增大而减小。(5）抛物线与y轴交点为(０,c），当c>0时，交点在y轴的正半轴；当c<0时，交点在y轴的负半轴;当c＝０时,通过原点。对于抛物线,a的符号由开口方向拟定，b由对称轴拟定,c由抛物线与y轴的交点拟定，2a±b由对称轴拟定,a－b+ｃ由ｘ=－1时y的符号拟定，4a－2b+c由x=-２时y的值拟定。即抛物线通过(1，ａ+b＋c)、（-1，a-b＋ｃ）、(－2，4a-2ｂ+c）等点。求两个函数图象的交点坐标,就是把两个函数的解析式联立成方程组，求出的解就是交点坐标。直线与抛物线的交点有三种情况：当方程组有两解时,有两个交点(△＞0）；当有一个解时,即有一个交点（△＝０)；当没有解时,即不存在交点（△<0)。构造二次函数模型，求最大（小)值。选择题的解题办法：数形结合的观测法、特殊值法、验证法、排除法、直解法。对于抛物线，与ｘ轴交点A(,０)、B（，0）则（１）|ＡB｜=｜－|=，对称轴函数关系式点坐标线段长几何知识的应用。在记录中，我们把所要考察对象的全体叫做总体。总体中每一个考察对象叫做个体。当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本容量。平均数:(1);（2),其中;（３)，其中是数据的权。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。众数、中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。众数：在一组数据中,出现次数最大的数据叫做这组数据的众数(众数不唯一)。中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的一个数据(或是最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。方差是反映一组数据波动大小的特性数，方差越大，这组数据的波动越大。叫做样本的方差，它可衡量样本波动大小(离散限度)；叫做样本的标准差,也是用来衡量样本波动大小,样本标准差与原始数据的度量单位一致。另：，扇形记录图及应用：（1）扇形记录图是表达部分在总体中所占的比例,它不能直接得到具体的数量,是用圆代表总体,扇形代表部分。(2）圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的大小等于该部分比例乘以３600。（３）画扇形记录图的环节:计算比例，圆心角,画上扇形，标上比例。(４)两个扇形记录图中,在整体数量相等的情况下,根据扇形的大小也可判断部分数量是多还是少。(５）在一个扇形记录图中，可以得到两个部分之间的比例。条形记录图能清楚地表达出每个项目的具体数量,扇形记录图能清楚地表达出各个部分点总体的比例。频数：将一组数据按照统一的标准提成若干组，每个小组内的数据的个数。频率:每个小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率。频率=。直方图中小长方形的高与频率成正比，因此其高的比即是各小组频率之比，或各小组频数之比。求一个样本的频率分布情况的环节：(1）计算最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数；（３)决定分点;（4)列频率分布表；（５)绘制频率分布直方图、扇形记录图、折线记录图。一些性质和规律：数据平均数方差标准差一般地，我们把一组数据中其值过大（或过小）的数据看作异常值,有异常值的一组数据其平均数会受到此数据的影响，这时用中位或众数来描述一组数据的一般水平比较合适。在一定条件下，也许出现不同的结果,究竟出现哪一种结果,随机遇而定，带有偶尔性的现象叫做随机现象。在随机实验中，假如一件事情也许发生，也也许不发生，则称它们为随机事件。在一定的条件下，必然会发生的事情叫做必然事件。在一定的条件下,一定不会发生的事件叫做不也许事件。必然事件与不也许事件都是拟定的，这些事件称为拟定事件。一个事件发生的也许性大小叫做该事件发生的概率，一个事件发生的概率取值范围为0~１。,求概率有树状图和列表法两种列出所有也许结果的方法。概率是可以在直线上表达出来的。在丰富的图形世界中，我们常见的几何体分类为：棱柱体、圆柱体、圆锥体、棱锥体、台体与球体。常见的立体图形特性:球体是由曲面围成的，圆锥的底面是圆,侧面是曲面;棱锥的底面是多边形，侧面是三角形;圆柱的底面是圆,侧面是曲面;棱柱的底面是多边形,侧面是正方形或长方形。点、线、面的关系：面面相交形成线,线线相交形成点，点动成线,线动成面，面动成体。正方体的展开图是六个正方形；棱柱的展开图是两多边形与一个长方形;圆锥的展开图是一个圆与一个扇形；圆柱的展开图是两个圆与一个长方形。截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状：用一个平面去截一个几何体,截出的截面形状一般有正方形、长方形、三角形、梯形与圆等。我们从不同方向看同一个物体时，可看到不同的图形,把从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的图形叫做俯视图。画在视图时，主、俯视图规定长对正,主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。太阳光线可以当作平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影；当投射线与投影面垂直时,这样形成的投影叫做正投影。在平行投影中,物体是互相平行的,影子也是互相平行的,常把四边形的问题转化为直角三角形问题来解。探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以当作是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。我们看物体，眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，眼睛看不到的地方称为盲区。直线上两点间的部分叫做线段;在直线上某一点和这一点一旁的部分叫做射线;这一点叫做端点。通过两点有且只有一条直线，即两点拟定一条直线；两点之间，线段最短;连结两点的线段的长度叫做两点间的距离。应当注意用字母表达它们的方法。三线之间的关系:类型端点的个数延伸性延长线和反向延长线直线0向两端无限延伸无射线1向一端无限延伸有反向延长线线段2无既有延长线,也有反向延长线。12345678直角：９00的角;平角:1800的角;周角:36０0的角。设一个角为α，若0０<α<900，则α叫锐角;若９０0<α123456781度=60分；1分=6０秒;1周角=２平角=4直角。如图,∠1和∠5是同位角；∠2和∠８是内错角；∠2和∠5是同旁内角；∠4和∠２是对顶角;∠5和∠8是邻补角。把一条线段分为两条相等的线段的点，叫做线段的中点。若α+β=9０0，则α与β互余。若α+β=180０,则α与β互补。余角和补角是对两个角之间的数量关系而言的，与两个角的位置没有多大的关系，互为邻补角的两个角与两个角的位置有关。从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角提成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。角平分线上的点到角两边距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。三角形三内角平分线的交点叫做三角形的内心。在求三角形内部所形成的角时应想到三角形内心定理。一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。对顶角相等是常用的性质。两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。通过一点有一条并且只有一条直线垂直于已知直线;直线外一点与直线上各点连结的线段中，垂线段最短。从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。过线段的中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(中垂线）。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。同位角相等,两直线平行;内错角相等，两直线平行；同旁内角互补,两直线平行;平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行。两直线平行，同位角相等，内错角相等,同旁内角互补；两平行线间的距离处处相等;夹在两平行线间的平行线段相等；过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。三角形按边分类：；三角形按角分类：三角形任意两边的和大于第三边;三角形任意两边的差小于第三边。三角形的内角和等于18０度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；在直角三角形中，两个锐角互余;同（等)角的余(补)角相等。一般来说，较大线段大于另两线段之和时，就能构成三角形。全等三角形的鉴定：SAS、ＡSＡ、AAＳ、SSS、HL。全等三角形的性质:相应角相等,相应线段(边,高,中线,角平分线)相等、周长相等、面积相等。鉴定两个三角形全等的基本思绪:（1)有两个角相应相等时，找夹边相应相等或任一相应边相等;（2）有两边相应相等时,找夹角相应相等或第三边相等；(3)有一边和一角相应时,找等角的另一边相应相等或另一角相应相等。等腰三角形的性质：两个底角相等;顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的鉴定:假如一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边相等。等边对等角；等角对等边；大角对大边;大边对大角。任何一个图形的对称轴都是直线。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴只有一条：底边上的高所在直线。等边三角形的对称轴有三条。等边三角形的内心、外心、重心、垂心重合。等边三角形的性质:三边都相等,三个角都相等，每一个角都等于6０0。等边三角形的鉴定：三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是6００的等腰三角形是等边三角形。三角形的重要线段：名称定义交点交点的性质中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段重心重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的２倍角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段内心内心到三角形三边的距离相等高三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段垂心直角三角形的性质:两锐角互余；300角所对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线长等于斜边的一半。直角三角形的鉴定：有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。涉及与三角形的高有关的问题时,要注意分类讨论,重要是分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形。DADABC射影定理，如图：；;在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。通过平移,相应线段、相应角分别相等;相应点所连的线段平行且相等。拟定一个图形平移后的位置，除需知道本来的位置外，关键条件是平移的方向和平移的距离。在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状不改变;旋转前后两个图形的相应点到旋转中心的距离相等；相应点到旋转中心的连线所成的角彼此相等，都等于旋转角。作简朴的平面图形绕定点旋转一定角度后的图形，只要把平面图形上的关键点都绕定点旋转一定角度,然后按本来的式样连结这些点而成。旋转需要知道旋转方向和旋转角度。常用相应点和旋转中心的连线所夹角拟定旋转角，常用两组相应点连线的中垂线交点拟定旋转中心。旋转360度的整数倍时，图形位置不改变。注意区别相应线段和相应点的连线是不同的。多边形的任何一边向两方向延长，假如其他各边都在延长所得直线的同旁,这样的多边形叫做凸多边形，它的每一个内角均小于１800。ｎ边形的内角和为(n-２)·1８0０。任意多边形的外角和均为３6０0。平行四边形的性质：对边平行；对边相等;对角相等;对角线互相平分。平行四边形的鉴定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形。一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是平行四边形。菱形的两条对角线把菱形提成全等的等腰三角形或直角三角形。菱形是中心对称图形,也是轴对称图形，它的对称就是它的两条对角线所在直线。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对边平行且相等;矩形的四个角都是直角；矩形的两条对角线互相平分且相等。有三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的两条对角线把矩形提成全等的直角三角形和等腰三角形。矩形是中心对称图形也是轴对称图形，它的对称轴是过对角线交点,平行于边的两条直线。正方形的鉴定:有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形是正方形;一组邻边相等的矩形是正方形；一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等且垂直平分的四边形。正方形的性质：除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有:对角线与边夹角为４50；Ｓ＝ａ２（a是边长)。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形,它的对称轴有四条:两条对角线所在直线和两条过对角线交点的平行于边的直线。正方形旋转90度不变。梯形的性质：一组对边平行，另一组对边不平行;中位线平行于底边,且等于两底和的一半；。等腰梯形另具有:两腰相等；同一底上的两底角相等;对角互补;对角线相等；以两底的中点连线为对称轴的对称图形。直角梯形另具有:一个底角是直角。梯形的鉴定:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形;两对角线相等的梯形是等腰梯形;两腰相等的梯形是等腰梯形。有一个角是直角的梯形是直角梯形。当梯形的两条对角线互相垂直时,经常平移对角线发明直角三角形。作高构造直角三角形,是梯形中常用的辅助线。梯形有问题经常平移一对角线把梯形转化为三角形。梯形中常见的辅助作法：（虚线表达辅助线）平移腰平移腰作高延腰平移对角线过一腰中点延交上底中点三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线;三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。连结梯形的两腰中点的连线叫做梯形的中位线；梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。梯形中位线与梯形两对角线的交点间的距离等于两底差的一半。尺规作图。规定掌握下列基本作图的作法：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线;作已知线段的点垂线(即垂直平分线)尺规作图。已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形。尺规作图。会过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。对于尺规作图题，会写已知、求作、和作法。有时还需要证明。假如沿着一条直线对折，两个图形可以互相重合，那么这两个图形叫做以这条直线为对称轴的对称图形；假如沿着一条直线对折，一个图形在这条直线两旁的部分可以互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形。轴对称的两个图形全等；对称轴垂直平分对称点的连线;两个图形关于某一条直线对称，它们的相应线段或其延长线的交点在对称轴上；两个图形的对称点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。轴对称指的是两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形。当两个图形关于某直线成轴对称时,假如把这两个图形当作一个整体(即一个图形）,则它也是轴对称图形。常见的轴对称图形有:直线、射线、线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等。镜子里的图象与物体之间成轴对称关系,此时，我们称之为镜面对称,它和轴对称及轴对称图形是有区别的。物体翻折形成轴对称。把一个图形绕着某点点旋转１8０0后，假如它与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称,这个点叫做对称中心。假如一个图形绕着中心旋转18００后，可以与自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形。关于中心对称的两个图形是全等的；关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分,这个性质的逆命题也成立。用相同的正多边形密铺的条件是：周角3６0０为正多边形的一个内角度数的整数倍时，用这样的正多边形进行密铺。几种正多边形的组成,各取其中一个内角相加恰好为一个周角3６0０时,这样的正多边形的组合能进行平面图形的密铺。（当围绕一点拼在一起的几外多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,即能进行密铺。)四条线段a,b,ｃ,d中，假如，那么a，b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段。在比例式（或a：b＝ｂ:c）中,b叫做a和ｃ的比例中项。比例的基本性质：ad=bc;合比性质：；等比性质:若线段AＢ上一点C把线段AB提成两条线段AC和BＣ（AC＞BC），且使ＡC是AB和ＢC的比例中项(即AC２=AB·BC），则称线段AB被C黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡB的黄金分割点，其中两条线段的比与单位的选择无关,但在求线段的比时一定要用同一长度单位。两角相应相等,两三角形相似;两边相应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边相应成比例，两三角形相似;假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形斜边和一条直角边相应成比例,那么这两个直角三角形相似。全等三角形是相似三角形的特例，位似图形也是特殊的相似图形。证明线段等积或比例式的常用方法是:设法找出比例式(或转化后）所蕴含的几个字母，看是否存在可由“三点”拟定的两个相似三角形。相似应当注意相应点、相应线段。相似三角形的相应角相等;相似三角形的相应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。运用相似三角形面积比求相似比是常用技巧;测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形,运用其性质解答是常用方法。证明等积式或比例式时,假如不能直接找到相似三角形,则用以下方法寻找过渡量。寻找中间比;运用等长线段转化；等积转化。各角相应相等、各边相应成比例的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形的比叫做相似比。相似多边形的相应角相等，相应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。比例尺是图上长度与实际长度的比值,也就是图上图形与实际图形的相似比。相似三角形的面积比等于周长比的平方。假如两个图形不仅是相似图形,并且每组相应点所在直线都通过一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称位似比。位似图形上任意一对相应点到位似中心的距离之比等于位似比。将一个多边形放大或缩小，一般运用位似定义；位似中心可取在多边形内或在一条边上或在某一顶点上或多边形外。位似图形是特殊位置上的相似图形，所以位似图形具有相似图形的所有性质。锐角三角函数的定义:正弦、余弦、正切、余切。求几何图形中锐角的三角函数值,必须在直角三角形中求解，若没有直角三角形，需先构造。锐角三角函数的增减性：当角度在00~90０间变化时,正弦、正切值随着角度的增大（或减小）而增大(或减小)；余弦、余切值随着角度的增大（或减小)而减小(或增大)。锐角三角函数都不可取负值，当00<α<90０时,０<ｓinα＜１，0<ｃosα<１,特殊角的三角函数值:αsｉnαcｏｓαtａｎαcotα300450116０0互余两角的三角函数之间的关系:若∠A为锐角，则有sinA＝cos(900-A)、cｏｓA＝ｓｉn(９０0-A）、tanＡ=cｏt（900－Ａ)、ｃotA=taｎ（9００-A)，即换名函数。同角三角函数之间的关系:若∠A为锐角,则有ｓin2Ａ+ｃｏs2Ａ=１、tanA·coｔA＝1,，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。(可用锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形两锐角互余等进行求解。）对于含特殊角的斜三角形的计算问题，通常转化为直角三角形解决,转化的方法就是作斜三角形的高构造直角三角形;已知三角形两边和其中一边的对角的问题,解答时一般需分类讨论。运用锐角三角函数值巧妙设元(未知数），从而求出相应边长是常见技巧，也是平面几何其他类型计算题的常见技巧。求多边形的面积通常转化为求三角形面积。注意四边形中直角三角形的构造。水平线视线水平线视线视线铅垂线仰角俯角hαl坡面的垂直高度ｈ和水平宽度ｌ的比叫做坡度i或坡比）,即，其中坡角αhαl方向角：指南或指北的方向线与目的方向线构成小于900的角,叫做方向角。东北方向指北偏东450方向，东南方向指南偏东450方向，西北方向批北偏西45０方向，西南方向指南偏西4５0方向。对于不能直接求解的问题,要设法找到与之过渡的线段长或角的度数，特别是两个三角形的公共角或公共线段。运用三角函数知识钥匙时,尽量选择用乘法计算的关系式，可归纳为“有斜用弦,无斜用切;求对用正，求邻用余,宁乘勿除”。解面积问题常用的两种思维方法:(1)切割法，把图形分割成一个或几个直角三角形与其他特殊图形的组合;(2)粘贴法，此法大都通过延长线段来实现。判断一件事情的语句,叫做命题；每个命题都是由条件和结论两部分组成；命题分为真命题和假命题两种;对的的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题；两个命题的条件和结论互换,称这两个命题为互逆命题，其中一个命题是另一个的逆命题。公认的真命题称为公理;除了公理外,其他命题的对的性都通过推理的方法证实,推理的过程称为证明;通过证明的真命题称为定理。要说明一个命题是假命题,只需举一个反例即可。证明两条直线平行重要是从“角”方面去考虑,即找同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，证明时选择哪一类需用由条件决定；运用平行线的性质解题时,若“三线八角”不完整，一般需通过作辅助线补充完整。在几何证明中出现线段的垂直平分线时，一般存在等腰三角形。在证明两条线段的和等于第三条线段时，常用“截长”法或“补短”法，若在较长的线段上截取一段等于某已知线段之一,再证余下的部分等于另一已知线段,此法为“截长”法。反之，为“补短”法。当待证结论中出现线段的平方和或平方差时，应考虑构造直角三角形，运用勾股定理来解决。构造平行四边形，依据平行四边形的性质证明线段相等、角相等是常见方法。证明线段的倍分关系，常借助于矩形性质的推论——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。运用正方形中的直角构成的直角三角形，通过勾股定理及其逆定理的计算来证明垂直也是常用方法。圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。点和圆有三种位置关系，即在圆外、在圆上、在圆内。点到圆心的距离(ｄ)与圆的半径（r)的大小决定了点和圆的三种位置关系,反之亦然。即ｄ>r点在圆外；ｄ=r点在圆上；d＜ｒ点在圆内。圆是轴对称图形，其对称轴是通过圆心的任意一条直线。(直径或半径所在的直线就是该圆的对称轴）垂径定理：（1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两长弧;（２）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；(4)弦的中垂线通过圆心,并且平分弦所对的两条弧;（5）圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等;等弧所对的圆周角也相等;相等的圆周角所对的弧相等(注意条件：在同圆或等圆中)。弧的度数、圆心角、圆周角之间的关系:(1)圆心角等于所对弧的度数；(2）圆周角等于所对弧的度数的一半。圆的内接四边形对角互补,它的一个外角等于这个角的内对角;直径(或半圆弧）所对的圆周角是直角。运用圆心到直线的距离ｄ和圆的半径r的大小比较判断直线和圆的三种位置关系：相离(ｄ>r）、相切（d＝ｒ)、相交（d＜r）。有时得构造这个距离。在直角三角形中，运用面积法求斜边上的高是常用方法。切线的性质定理及推论：若一条直线满足(1)垂直于切线，(2)通过