球的表面积和体积-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.6简单几何体的再认识第3课时导入新课问题1

从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．运用上述思想能否计算球的表面积和体积？极限思想可以用来计算球的表面积和体积．新知探究问题2

球也是旋转体，它是由什么平面图象旋转得到的？球心直径O半径以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．新知探究问题3

用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d．在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2．ADCBORrdO′新知探究问题4

过球外一点作球的切线，有几条？这些切线是什么关系？过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．ACDBO′·HMF新知探究问题5

阅读教材，填写下面的空格．（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的________．（2）被不经过球心的平面截得的圆叫作球的________．（3）设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝___________．大圆小圆

1．球的截面2．球的切线（1）当直线与球有唯一交点时，称直线与球______，其中它们的交点称为直线与球的切点．相切新知探究问题5

阅读教材，填写下面的空格．（2）过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．这些切点的集合是以O′为圆心的圆，圆面O′及所有切线围成了______．圆锥3．球的表面积和体积公式（1）设球的半径为R，球的表面积为S球面＝______；（2）设球的半径为R，则球的体积V球＝______．

4πR2新知探究问题6

球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？球面的面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍（其中R为球的半径）初步应用例1

如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）解析：因为V半球＝

≈134（cm3）

由于V半球＜V圆锥，所以冰淇凌融化了，不会溢出杯子．V圆锥＝

≈201（cm3）

124初步应用例2

一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，求钢球的半径．解析：设钢球半径为R，由题意得：所以钢球的半径为1.5cm．

解得：R＝

＝1.5cm，8.5383初步应用

作轴截面如图所示，

∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π．

课堂练习练习：教科书第244页练习第1题，第2题．归纳小结（1）求球的体积与表面积的方法是什么？（2）解决有关球的问题时，常用哪些性质？问题3

本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所学知识．（1）求球的体积与表面积的方法：①要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．②半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．归纳小结（1）求球的体积与表面积的方法是什么？（2）解决有关球的问题时，常用哪些性质？问题3

本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所学知识．（2）解决有关球的问题时，常用以下性质：①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．②如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r2＋d2．球的有关计算问题，常归结为解直角三角形．作业布置作业：教科书第244页A组第1题，第4题．1目标检测C若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．2πc2

解析：设球的半径为R，则2πR＝c，∴R＝

，

∴球的表面积S球＝4πR2＝

2目标检测A若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为（）A．12πB．C．8πD．4π

解析：由于正方体的体积为8，故正方体的棱长a为2．又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，

3目标检测圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm．解析：设球的半径为xcm