【北师大版】高三数学一轮课时作业【15】

匠心文档，专属精选。课时作业15导数的综合应用一、选择题(每题5分，共40分)12，则导函数f′(x)是()1．已知f(x)＝2x－cosx，x∈[－1,1]A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数分析：f′(x)＝x＋sinx，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx.当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递加，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案：D2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a<1B．0<a<11C．－1<a<1D．0<a<2分析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，0<a<1.答案：B3．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。分析：由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，当x>0时，f(x)，g(x)都单调递加，则当x<0时，f(x)单调递加，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B4．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个同样的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3分析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：C5．(2013·湖北，10)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x212，则()(x<x)11A．f(x1)>0，f(x2)>－2B．f(x1)<0，f(x2)<－211C．f(x1)>0，f(x2)<－2D．f(x1)<0，f(x2)>－2分析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，lnx－2ax＋1＝0(x>0)即lnx＋1＝2a在(0，＋∞)上有两个不一样根x1，x2，令xg(x)＝lnx＋1－lnxx(x>0)，g′(x)＝2，则0<x<1时，g′(x)>0；x>1x时，g′(x)<0.则x＝1时，g(x)max＝1，x→0时，g(x)<0；x→＋∞，g(x)>0.1因直线y＝2a与y＝g(x)(x>0)图像有不一样交点，则0<2a<1,0<a<2，匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。又在(x1,1)上g(x)为增函数，f(x1)<f(1)＝－a<0；1在(1，x2)上f(x)为增函数，f(x2)>f(1)＝－a>－2，应选D.答案：D．若f(x)＝lnx，e<a<b，则()6xA．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>11－lnx分析：f′(x)＝x2，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)，应选A.答案：A．·辽宁，设函数满足2′＋x2f(x)(x)2xf(x)＝e，f(2)＝e，7(201312)x.fx8则x>0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值exgx分析：令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x，f(x)＝x2，所以f′(x)＝x－2gx－2x.h(x)e(x)h(2)0h(x)＝ex－2g(x)在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递加，所以h(x)>0，即e2－2g(x)>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递加，选D.答案：D8．(2014·新余模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。f(x)＋′(x)>1，则不等式x·x＋1的解集为()fef(x)>eA．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}分析：构造函数g(x)＝ex·－x，由于g′(x)＝ex·＋x·′(x)f(x)ef(x)efex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又由于g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转变成g(x)>g(0)，解得x>0.答案：A二、填空题(每题5分，共15分)9．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．分析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2<a<2时恰有三个不一样的公共点．答案：(－2,2)10．(2014·泰州调研)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递加，则实数a的取值范围为________．分析：∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．∵－1≤cosx≤1，①当a>0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0<a≤1；②当a＝0时合适；匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。③当a<0时，a≤acosx≤－a，a≥－1，∴－1≤a<0.综上，－1≤a≤1.答案：[－1,1]π11．(2014·黑龙江哈尔滨一模，13)函数y＝x＋2cosx在区间[0，2]上的最大值是________．分析：y′＝1－2sinx，令y′＝0，ππ且x∈[0，2]，得x＝6，π则x∈[0，6)时，y′>0；πππππx∈(6，2]时，y′<0，故函数在[0，6)上递加，在(6，2]上递减，ππ所以当x＝6时，函数取最大值，为6＋3.π答案：6＋3三、解答题(共3小题，每题15分，共45分．解答写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤)12．某分公司经销某品牌产品，每件产品的成本为3元，而且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，估计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．2令L′＝0，得x＝6＋3a或12(不合题意，舍去)．283≤a≤5，∴8≤6＋3a≤3.2在x＝6＋3a双侧L′的值由正变负．29∴①当8≤6＋3a<9，即3≤a<2时，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．2289②当9≤6＋3a≤3，即2≤a≤5时，222213.Lmax＝L(6＋3a)＝(6＋3a－3－a)[12－(6＋3a)]＝4(3－3a)996－a，3≤a<2，Q(a)＝43－13a3，92≤a≤5.9故若3≤a<2，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，92最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若2≤a≤5，则当每件售价为(6＋3a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(万元)．13．(2014·温州五校联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处获得极值．(1)求函数f(x)的分析式；(2)若过点A(1，m)(m≠－2)，可作曲线y＝f(x)的三条切线，务实数m的取值范围．匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即3a＋2b－3＝0，解得a＝1，b＝0.3a－2b－3＝0，f(x)＝x3－3x.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵曲线方程为y＝x3－3x，∴点A(1，m)(m≠－2)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x03－3x0.∵f′(x0)＝3(x02－1)，∴切线的斜率为3(x02－1)＝x03－3x0－mx0－1，整理得2x30－3x20＋m＋3＝0.∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴关于x0的方程2x30－3x20＋m＋3＝0有三个实根．设g(x0)＝2x03－3x20＋m＋3，则g′(x0)＝6x20－6x0，由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递加，在(0,1)上单调递减．∴函数g(x0)＝2x30－3x20＋m＋3的极值点为x0＝0和1.∴关于x0的方程2x30－3x02＋m＋3＝0有三个实根的充要条件是g0>0，解得－3<m<－2.g1<0，故所务实数m的取值范围是(－3，－2)．．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bxx<1，在x＝0，x＝2处存在14cex1－1x≥13极值．匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。(1)务实数a，b的值；(2)当c＝e时，谈论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数．分析：(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.由于函数f(x)在x＝0，x＝2处存在极值，所以f′0＝0，23f′3＝0，解得a＝1，b＝0.(2)由方程f(x)＝kx，－x3＋x2x<1，知kx＝ex－ex≥1，由于0必定是方程的根，所以仅就x≠0时进行研究：x2＋xx<1且x≠0，方程等价于k＝ex－exx≥1.－x2＋xx<1且x≠0，构造函数g(x)＝ex－exx≥1，关于x<1且x≠0部分，函数g(x)＝－