【北师大版】高三数学一轮课时作业【44】

匠心文档，专属精选。课时作业44立体几何中的向量方法(二)一、选择题(每题5分，共40分)．·天水模拟已知二面角α－－β的大小是π1(2014)l3直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()2πB.πA.33ππC.2D.6分析：∵m⊥α，n⊥β，∴异面直线m，n所成的角的补角与二面角α－l－β互补．π又∵异面直线所成角的范围为(0，2]，π∴m，n所成的角为3.答案：B2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，1F是BC上一点且FB＝4BC，则GB与EF所成的角为()A．30°B．120°C．60°D．90°分析：如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件，得113→1→G(0,0，2)，B(1,1,0)，E(1,1，2)，F(4，1,0)，GB＝(1,1，－2)，EF＝(－114，0，－2)匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。→→→，→〉＝GB·EF＝，则→⊥→cos〈GBEF0GBEF.→→|GB||EF|答案：D3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()1030A.10B.10215310C.10D.10分析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．→＝－，→＝－，〈→，→〉＝BC1(1,0,2)AE(1,2,1)cosBC1AE

→→BC1·AE＝→→|BC1||AE|

3010.匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。30因此异面直线BC1与AE所成角的余弦值为10.答案：B4．(2013·山东，4)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，4则PA与平面ABC所成角的大小为()5ππA.12B.3ππC.4D.6分析：如图，设P0为底面ABC的中心，连结PP0，由题意知|PP0|为直三棱柱的高，∠PAP0为PA与平面ABC所成的角，S△ABC＝1×(3)2·sin60°2＝343.∵三棱柱的体积V＝9，4∴33·0＝9，∴|PP0＝又0为底面ABC的中心，则|AP0|4|PP|4|3.P2等于正△ABC高的3，3又易知△ABC的高为2，匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。23∴|AP0|＝3×2＝1.|PP0|3π在Rt△PAP0中，tan∠PAP0＝|AP0|＝1＝3，∴∠PAP0＝3，应选B.答案：B5．(2012·西，陕5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()55A.5B.3253C.5D.5分析：设CB＝1，则CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，1，→→＝(－2,2,1)，1＝(0,2，－1)，AB1B(0,2,1)BC→，→→→1＝4－1＝3，∵|BC1＝1＝，1·|5|AB|3BCAB→→〉＝∴cos〈BC1，AB1

→→BC1·AB1＝→→|BC1||AB1|

355×3＝5，应选A.答案：A6．(2014·南昌月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1→→)的中点，则sin〈CM，D1〉的值为(N14A.9B.95匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。22C.95D.3分析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系→(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，→→→1→→45D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－9，sin〈CM，D1N〉＝9.答案：B7．(2014·东北八校一模，9)已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，面BCD与面BCA所成的二面角的余弦值为()A.3B.1331C．0D．－2分析：取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．又AE＝ED＝2，AD2，∴∠AED＝90°，应选C.答案：C8．(2014·山西临汾一模，7)以下列图，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。A．90°B．60°C．45°D．30°分析：将其还原成正方体ABCD－PQRS，明显PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.答案：B二、填空题(每题5分，共15分)9．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。n·a分析：cos〈n，a〉＝|n||a|－822＝－411＝32×33.又l与α所成角记为θ，11即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝33.11答案：3310.以下列图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．分析：建立以下列图的空间直角坐标系．匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，→→＝(2,0,2)，则EF＝(0，－1,1)，BC1→→∴EF·BC1＝2，∴〈→，→〉＝cosEFBC1∴EF和BC1所成角为

12×22＝2，60°.答案：60°11．(2012·大纲全国，16)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．分析：由∠BAA1＝∠CAA1＝60°可得四边形BCC1B1为正方形．把底面ABC补成菱形ABCD、把底面A1B1C1补成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱补成平行六面体ABCD－A1B1C1D1，则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角．不如设棱长为2，则AD1＝BC1＝22，AB1＝B1D16＝23，由余弦定理可得cos∠B1AD1＝6.匠心教育文档系列8答案：

匠心文档，专属精选。66三、解答题(共3小题，每题15分，共45分．解答写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤)12.1已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)求证：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN夹角的大小．解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，匠心教育文档系列9匠心文档，专属精选。轴建立空间直角坐标系如图．111则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，2)，N(2，0,0)，S(1，2，0)．→1(1)证明：CM＝(1，－1，2)，→＝(－1，－1，0)，SN22因为→→＝－1＋1＋＝，CM·SN0022因此CM⊥SN.→＝(－1，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，(2)NC2→1＝0，x－y＋z＝0，·2aCM则即→＝0，1·－2x＋y＝0.aNC令x＝2，得a＝(2,1，－2)．1→－1－22因为|cos〈a，SN〉|＝|2|＝2，3×2匠心教育文档系列10匠心文档，专属精选。即SN与平面CMN夹角的正弦值为22.因此SN与平面CMN夹角为45°.13．(2012·新课标全国)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝1BC＝2AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC.(2)求二面角A1－BD－C1的大小．解：(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形．因为D为AA1的中点，故DC＝DC1.1又AC＝2AA1，可得DC2＋DC2＝CC2，11而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，匠心教育文档系列11匠心文档，专属精选。因此DC1⊥平面BCD.BC平面BCD，故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，因此CA，CB，CC1两两互相垂直．→→以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向，|CA为单位长，建|立以下列图的空间直角坐标系C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．则→＝，－，→＝，－，→＝－．A1D(0,01)BD(11,1)DC1(1,0,1)设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则匠心教育文档系列12匠心文档，专属精选。→＝0，－＋＝，·nBDxyz0→即＝0，z＝0.·1nAD可取n＝(1,1,0)．同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则→＝0，m·BDx－y＋z＝0，即可取m＝(1,2,1)．→－x＋y＝0.m·DC1＝0.n·m3从而cos〈n，m〉＝|n|·|m|＝2.故二面角A1－BD－C1的大小为30°.14．(2012·全国)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．解：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.匠心教育文档系列13匠心文档，专属精选。42设C(22，0,0)，D(2，b,0)，此中b>0，则P(0,0,2)，E(3，0，23)，B(2，－b,0)．→→22→22于是PC＝(22，0，－2)，BE＝(3，b，3)，DE＝(3，－b，3)，→→→→＝0，从而PC·＝0，PC·BEDE故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，因此PC⊥平面BDE.→＝，→＝，－．(2)AP(0,0,2)AB(2b,0)设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则→→m·AP＝0，且m·AB＝0，即2z＝0且2x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，2，0)．设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则匠心教育文档系列14匠心文档，专属