江苏省南京市燕子矶中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省南京市燕子矶中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为纯虚数，则的值为

（

）

A．1

B．－1

C．

D．参考答案：A2.已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（

）

A.3

B.

C.2

D.参考答案：C

略3.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝（

）A．{x|－1＜x＜2}

B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1}

D．{x|1＜x＜2}参考答案：D4.复数满足，则复数的共轭复数=A.

B.

C.

D.

参考答案：B5.给定下列两个关于异面直线的命题：那么（▲）。命题（1）：若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，那么至多与中的一条相交；命题（2）：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。A．命题（1）正确，命题（2）不正确

B．命题（2）正确，命题（1）不正确C．两个命题都正确

D．两个命题都不正确参考答案：D略6.一个袋子里装有编号为的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球，若从中任意透出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为A. B. C. D.参考答案：A略8.在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是（

）A．B．

C．

D．参考答案：B9.已知集合，则下列结论正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：由于，因此，故答案为C.考点：1、元素与集合的关系；2、集合间的并集、交集.10.等差数列的前项和分别为，且，则=A.

B.

C.

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若，则

．参考答案：512.设△的内角,,所对的边分别为,,.若,则角_________.参考答案：由根据余弦定理可得13.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（

）参考答案：B略14.已知都是定义在R上的函数，，且，且．若数列的前n项和大于62，则n的最小值为

▲

参考答案：6

15.四面体中，共顶点的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、、3，若四面体的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为_______________.参考答案：16π略16.若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有

，则=

参考答案：17.在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若?=2，则λ=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把用和表示，然后结合?=2列式求得λ值．【解答】解：如图，∵=，且∠B=，AB=1，BC=2，∴?=[（1﹣λ）+λ]?=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+=1×（1﹣λ）+4λ=2，解得λ=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.(1)若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；(2)是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．(2分)所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)．，即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.(5分)

(2)假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，m)．设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝2，得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2，1)．(7分)由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得，解得m＝.因为0≤m≤2，所以m＝满足条件，所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.(10分)19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆相交于C、D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.参考答案：解：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.

20.[选修4-2：矩阵及变换]已知矩阵，，若矩阵M=BA，求矩阵M的逆矩阵.参考答案：因为，所以．

21.（12分）求经过直线L1：3x+4y–5=0与直线L2：2x–3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：⑴与直线2x+y+5=0平行；⑵与直线2x+y+5=0垂直。

参考答案：解：(1)2x+y=0(2)x-2y+5=0略22.如图在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．

参考答案：【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．G12【答案解析】（1）证明：略；（2）.

解析：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝.所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.【思路点拨】（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四边形BEDF是矩形，在Rt△BC