江苏省南京市江宁区陆郎中学2022年高二数学理模拟试题含解析

江苏省南京市江宁区陆郎中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（

）A.70 B.140 C.420 D.840参考答案：C试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到桑格不同的地区，方法数有种.考点：排列组合.2.下列命题正确的个数为

①斜线与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角。

②二面角的平面角是过棱l上任一点O，分别在两个半平面内任意两条射线OA，OB所成角的∠AOB的最大角。

③如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

④设A是空间一点，为空间任一非零向量，适合条件的集合的所有点M构成的图形是过点A且与垂直的一个平面。

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.在△中，，，，则边

A．1 B． C． D．参考答案：C略4.下列结论正确的是（

）A.若则 B.若则C.若则 D.若则参考答案：B【分析】利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解.【详解】A.若则是假命题，因为c=0时，显然不成立.所以该选项是错误的；B.若则，因为函数f(x)=在R上是增函数，所以该选项是正确；C.若则不一定成立，如a=1,b=-1，所以该选项是错误的；D.若则不一定成立，如：a=2，b=-3，所以该选项是错误的.故选：B【点睛】本题主要考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知圆与直线相交，且在圆C上恰有2个点到直线距离为1，则直线被圆C截得的弦的长度取值范围为__________．参考答案：略6.定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）=1，则fA．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】求出函数的周期，然后利用周期性以及函数的奇偶性求解即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）=1，可得f（x+4）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+8）=f（x），T=8，f=1．故选B．7.已知函数在区间上是减函数，则的最小值是A.

B.

C.2

D.3参考答案：C略8.等差数列中，则数列的公差为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案：B9.已知函数，关于的方程有四个不等实数根，则的取值范围为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于【

】.A．

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从一个有88条棱的凸多面体P，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q.这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是

.参考答案：264

解析：P的所有棱仍是Q的棱中新的棱由切去的棱锥的底面形成，每个棱锥新增加棱的条数，等于从顶点出发的棱的条数.所以Q的棱有88+2×88=264条12.若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为________．

参考答案：（﹣5，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，

若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0①或②

或③

或④．

解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈?；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．【分析】求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．

13.已知，则f(x)的解析式为__________．参考答案：(或，)【分析】利用换元法求函数的解析式即可.【详解】设，所以所以故答案为：(或，)【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知在等差数列.类比上述性质，在等比数列中，则有__________________________________.参考答案：略15.不等式x2－(a+1)|x|+a＞0的解集为{x|x＜－1或x＞1，x∈R,则a的取值范围为

.参考答案：16.已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出p的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．17.设，，则虚数的实部为．参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.因发生交通事故，一辆货车上的某种液体溃漏到一池塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．参考答案：考点：函数模型及其应用试题解析：（1）因为，所以，①当时，由，解得，所以此时．②当时，由，解得，所以此时．综合得，，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．（2）当时，，由题意知，对于恒成立．因为，而，所以，故当且仅当时，有最小值为，令，解得，所以的最小值为．又，所以的最小值约为1.6.19.(本小题满分12分)某学校举办“有奖答题”活动，每位选手最多答10道题，每道题对应1份奖品，每份奖品价值相同。若选手答对一道题，则得到该题对应的奖品。答对一道题之后可选择放弃答题或继续答题，若选择放弃答题，则得到前面答对题目所累积的奖品；若选择继续答题，一旦答错，则前面答对题目所累积的奖品将全部送给现场观众，结束答题。

假设某选手答对每道题的概率均为，且各题之间答对与否互不影响。已知该选手已经答对前6道题。（Ⅰ）如果该选手选择继续答题，并在最后4道题中，在每道题答对后都选择继续答题。

（ⅰ）求该选手第8题答错的概率；

（ⅱ）记该选手所获得的奖品份数为，写出随机变量的所有可能取值并求的数学期望；（Ⅱ）如果你是该选手，你是选择继续答题还是放弃答题？若继续答题你将答到第几题？请用概率或统计的知识给出一个合理的解释。参考答案：20.求满足下列条件的直线方程：（1）经过点，倾斜角是；（2）经过点A(4,0),B(0,3)；（3）经过点（2，3），且在两坐标轴上的截距相等。参考答案：（1）；（2）3x+4y-12=0；(3)x+y-5=0或3x-2y=0.21.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱中，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且（Ⅰ）求证：∥平面（Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：取，连结和,∴，∥，，∥，∴，∥．∴四边形为平行四边形，∴∥，

在矩形中，，

∴四边形为平行四边形．

∴∥，∥．

∵平面，平面，∴∥平面．———4分（Ⅱ）连结，在棱柱中，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴建系，

．————8分（Ⅲ）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．

．

，

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，

则

，即

，令，所以．

∴，

∵二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．12分22.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；（3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立.参考答案：(1)，时,取得极值,故，解得

经检验符合题意.

（2）由知

由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.依题意有

解得