广西壮族自治区河池市东兰县民族中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区河池市东兰县民族中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．角满足，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：A∵角的终边过点，∴，，∵，故角的终边在第一或第二象限，当角的终边在第一象限时，，，当角的终边在第二象限时，，，故选A．2.已知集合A=,则B中所含元素的个数为(

)

A.

3

B.

6

C.

8

D.

10参考答案：D略3.已知向量．若为实数，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.方程2x=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）参考答案：D【考点】函数的零点．【分析】利用函数零点的判定定理即可判断出．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2xln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②综上①②可知：函数f（x）=2x+x﹣2在R有且只有一个零点x0，且x0∈（0，1）．即方程2x=2﹣x的根所在区间是（0，1）．故选D．【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．5.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．

B．C．

D．参考答案：A【知识点】圆的方程H3设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则,代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．【思路点拨】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够求出点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程．6.设集合,集合，则集合中有___个元素A．4

B．5

C．6

D． 7 参考答案：∵，所以，∴中有6个元素，故选．7.函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）

A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平衡个长度单位参考答案：A略8.已知全集，集合，则（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：C，所以，选C.9.设2a=5b=m，且，则m=(

)A． B．10 C．20 D．100参考答案：A【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．10.执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2013)＝__________．参考答案：3略12.给出下列命题:①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;③命题“,使得”的否定是真命题;④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________参考答案：①③13.设函数的定义域为D，如果对于任意，存在唯一的，使（c为常数）成立，则称函数在D上均值为c，给出下列五个函数：①②；③；④；⑤满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是

。参考答案：答案:②③⑤14.记函数的导数为，的导数为的导数为。若可进行次求导，则均可近似表示为：若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数

（用分数表示）参考答案：15.在△ABC中，若tanB=﹣2，cosC=，则∠A=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinB、cosB、sinC的值，再利用诱导公式、两角和的余弦公式求得cos∠A=﹣cos（B+C）的值，可得∠A的值．【解答】解：在△ABC中，若tanB==﹣2，则由sin2B+cos2B=1可得，sinB=，cosB=﹣．由cosC=，可得sinC==，∴cos∠A=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=+=，∴∠A=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．16.已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论．参考答案：++…=【考点】类比推理．【分析】直接利用类比推理，即可得出结论．【解答】解：由cosx=0有无穷多个根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把这个式子的右边展开，发现x2的系数为++…=，即++…=．故答案为++…=．17.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．参考答案：【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知、、为的三个内角，其对边分别为、、，若，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．参考答案：命题意图：本题综合考察平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题．（Ⅰ），……2分又，

………………4分，．……6分（Ⅱ）由余弦定理得即：，………9分……………12分19.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（+θ）=2（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方程．（2）射线θ=与C1、l的交点分别为A、B，射线θ=﹣与C1、l的交点分别为A1、B1，求△OAA1与△OBB1的面积之比．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的参数方程中用代y，可得曲线C1的参数方程，化为普通方程和极坐标方程即可得到；（2）由极坐标表示点A、A1和B、B1，运用三角形的面积公式计算△OAA1与△OBB1的面积，即可得到它们的比．【解答】解：（1）在曲线C的参数方程（θ为参数）中用代y，得到曲线C1的参数方程（θ为参数），化为普通方程为x2+y2=4，故曲线C1的极坐标方程ρ=2；（2）依题意知点A、A1的极坐标分别为（2，），（2，﹣），设B、B1的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，﹣），则ρ1ρ2=?===32，所以=2sin=，=ρ1ρ2sin=16×=8，故=．【点评】本题考查直角坐标和极坐标的转化和参数方程与极坐标方程的转化，考查运算能力，属于中档题．20.已知向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），函数f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，）且cos（α+）=，求f（α）．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换，化简f（x），求出它的增区间；（Ⅱ）利用二倍角公式化简f（α），再根据同角的三角函数关系，即可求出f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），∴f（x）=?=sinxcos（x+）+sin2x+cos2x=sinxcosxcos﹣sinxsinxsin+1=sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x﹣?+1=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，…4分令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；…6分（Ⅱ）由f（α）=sin（2α+）+=sin（α+）cos（α+）+，…8分又，且，∴sin（α+）==，…10分∴f（α）=×+=+．…12分21.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出件，（n∈N*）．（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？参考答案：考点：数列与函数的综合．专题：应用题；压轴题．分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn，则sn﹣1表示广告费为（n﹣1）元时的销量，由题意，sn﹣﹣sn﹣1=，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2﹣）解法二、利用累差叠加法：，，…，累加结合等比数列的求和公式可求Sn（2））b=4000时，s=4000（2﹣），设获利为Tn，则有Tn=s?10﹣1000n=40000（2﹣）﹣1000n，欲使Tn最大，根据数列的单调性可得，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值解答：（1）解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2﹣）（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+）解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，由题：，相加得Sn﹣S0=+++…+，即Sn=b++++…+=b（2﹣）．（2）b=4000时，s=4000（2﹣），设获利为t，则有t=s?10﹣1000n=40000（2﹣）﹣1000n欲使Tn最大，则，得，故n=5，此时s=7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，且过点P(，1)．直线y=x+m与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积的最大值；（Ⅲ）设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式，求得a2=2b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，求得m的取值范围，利用韦达定理，弦长公式，根二次函数的性质，即可求得△PAB的面积的最大值；（Ⅲ）设直线PA，PB的斜率分别是k1，k1，根据韦达定理和直线的斜率公式求得k1+k2=0，则∠PMN=∠PNM，则丨PM丨=丨PN丨．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆=1（a＞b＞0）的半焦距为c，由椭圆C的离心率是e===，即a2=2b2，[]将点代入椭圆方程：．

解得，[]∴椭圆C的方程为；．[]（Ⅱ）由，消去y，整理得x2+mx+m2﹣2=0．[]令△=2m2﹣4（m2﹣2）＞0，解得﹣2＜m＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣2．∴丨AB丨==?，[]点．到直线x﹣y+m=0的距离