广西壮族自治区南宁市市第三十一中学2021年高三数学理月考试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市第三十一中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8，则cos（a3+a7）的值为 A． B． C． D．参考答案：A因为a1+a5+a9=8，所以，所以，所以。2.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．参考答案：C3.已知x0∈（0，π），且sinx0+cosx0=，则x0∈（）A．(，) B．(，)C． (，)D．(，)参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】，两边平方可得：sin2x0=﹣，可得x0∈．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：，两边平方可得：sin2x0=﹣，∴x0∈．又=sin=﹣，==﹣1．∴，∴x0∈．故选：D．4.已知，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D解析：

＝＝5.已知函数f（x）=sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出当x∈[0，π]时，f（x）≥的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵sinx+3cosx=2sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，x+∈[，]，∴≤x+≤，∴0≤x≤，∴发生的概率为P=，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．6.（5分）定义运算，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D由定义运算，知函数=，作出分段函数的图象如图，故选D．7.数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，已知=1，且a1=，则tanSn的取值集合是（）A．{0，} B．{0，，} C．{0，，﹣} D．{0，，﹣}参考答案：A【考点】数列的求和．【分析】已知=1，化为[nan+1﹣（n+1）an]（an+1+an）=0，an，an+1＞0．可得．可得an=×n．Sn．可得tanSn=tan[]，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵=1，∴na=（n+1）a+anan+1，∴[nan+1﹣（n+1）an]（an+1+an）=0，an，an+1＞0．∴nan+1﹣（n+1）an=0，即．∴=…==．∴an=×n．∴Sn=．∴tanSn=tan[]，n=3k∈N*时，tanSn==0；n=3k﹣1∈N*时，tanSn=tan=0；n=3k﹣2∈N*时，tanSn=tanπ=．综上可得：tanSn的取值集合是{0，}．故选：A．8.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A． B．2 C．﹣1 D．1参考答案：A【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．9.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黒色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：D由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。选D。

10.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是有穷数列{}的前n项和，定义：

为数列{}的“Kisen”和．如果有99项的数列：…的“Kisen”和1000，则有100项的数列：1，…的“Kisen”和=

.参考答案：991解：记99项数列前n项和为，由已知…1000×99,设100项

数列的前n项和为,则…,,所以

.12.设函数，（、、是两两不等的常数），则

.参考答案：0略13.已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是

.参考答案：[0,4]14.曲线在点处的切线方程为

参考答案：略15.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则

.参考答案：16.若，，，则的值等于____参考答案：17.已知数列的前项和为，，且当，时，，若，则参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，向量，函数．（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的运算由已知可求函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．（Ⅱ）结合范围，由正弦函数图象可求A的值，由余弦定理解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，…（3分），所以：f（x）的单调递减区间为：．…（Ⅱ）由（1）知：，∵时，，由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）∴，…（8分）由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，∴b=2，…（10分）∴．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量的运算，正弦函数的单调性，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.（本小题满分16分）设，其中为非零常数，数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an＋Sn＝．（1）若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：【证】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．因为恒成立，所以，即．而且当时，，

①

，②①－②得．若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

【解】（2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii)若k=1，设（b，c为常数），当时，，

③

，

④③－④得．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1，此时．(iii)若k=2，设（，a，b，c是常数），当时，，

⑤

，⑥⑤－⑥得，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a，考虑到a1=1，所以．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）．(iv)当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．【解答】证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD?平面PCD，而MN?平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…因为MD?平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．

…在Rt△PDA中，AD=，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．

…连接BD，在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则DN⊥PB．…又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．

…21.如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设．（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时的值．参考答案：（1）由，可得，即有，，则，

…………4分即有，由，则函数的解析式为 …………6分（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF

…………8分令（≤≤8），即有

…………10分当且仅当，即，此时米，∴当时，△OEF的面积取得最小值，且为平方米．…………12分22.已知抛物线x2=4y，直线l的方程y=﹣2，动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段A，B的中点为Q（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点；（Ⅱ）求Q点轨迹方程．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设Q（t，﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由y′=x，利用导数的几何意义求出在点A处的切线方程为y=x1x﹣y1．在点B处的切线方程为y=x2x﹣y2．从而点A，B都满足方程﹣2=tx﹣y，由此能证明直线AB恒过定点（0，2）．（Ⅱ）设Q（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2=4y，利用点差法能求出Q点轨迹方程．【解答】证明：（Ⅰ）设Q（t，﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵y=x2，∴y′=x．∴在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），化为y=