2022年高考数学考前训练题及答案

2022年高考数学考前训练题

1.如图，已知三棱柱ABC-AiBitj,平面4ACCi_L平面ABC,ZABC=90°,NBAC=

30°,AiA=AiC=AC,E,尸分别是AC,A181的中点.

(1)证明：EF±BC；

(2)求直线EF与平面AiBC所成角的正弦值.

【分析】(1)连结AiE,推导出AiE_LAC,AiEJ_平面ABC,A\ELBC,BC1.A\F,从而

BCJ_平面4E凡由此能证明E凡LBC,

(2)取BC中点G,连结EG、GF,推导出平行四边形EGE41是矩形，EF在平面AiBC

上的射影在直线AiG上，连结4G,交EF于点、O,则/EOG是直线E尸与平面AiBC所

成角(或补角)，由此能求出直线EF与平面48C所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明:如图，连结4E,：AiA=4C,E是AC中点，.\4E_LAC,

•.•平面4ACCi_L平面A8C,平面AiACCiC平面A8C=AC,AiEu平面AMCC,

平面ABC,：.A\E±BC,

\'AiF//AB,NA8C=90°,：.BCLA\F,

"：A\EQAiF=A\,，8C_L平面AiEF,：.EF±BC,

(2)如图，取8c中点G,连结EG、GF,则四边形EGMi是平行四边形，

♦；AiE_L平面ABC,.♦.AiEl.EG,.•.平行四边形EG布।是矩形，

由(1)得BC_L平面EGEAi，则平面4BC_L平面EGEAi，

：.EF在平面A\BC上的射影在直线4G上,

连结4G,交E尸于点0,则/E0G是直线EF与平面AiBC所成角(或补角)，

设AC=4,则在RtZXAiEG中，则为E=2百，EG=百，

•.•。为4G的中点，；.E0=0G=^=孚，

•/FC-E02+OG2-EG?_3

..cosAEOG-2E00G~5,

直线EF与平面AiBC所成角的正弦值为Jl-(|)2=

【点评】本题考查线线垂直的证明，直线与平面所成角的正弦值的求法，空间中线线、

线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2.如图，直四棱柱A8CO-4B1C1D1的底面A8CA为平行四边形，AO=3,AB=5,cosZ

Q

BAD=I，BD=DD\,E是CCi的中点.

(I)求证：平面。BE_L平面

(II)求直线AQ和平面BQE所成角的正弦值.

【分析】(/)证明AZ)_LB£>.DDilBD.推出8£>_L平面A。。，然后证明平面。丹区,平

面ADD]

(〃)DA,DB,两两垂直，以。为原点，DA,DB,所在直线为x,y,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.求出平面BDE的一个法向量，利用空间向量的数量积求

解直线AD\和平面BQE所成的角的正弦函数值即可.

【解答】(/)证明：由题意可得B£)2=4£)2+AB2_2ABXACCOS/BAO=16,

所以AU+B^MAA2,因止匕

在直四棱柱ABCQ-AiBiCi。中，£>Qi_L平面ABCC,所以。£>i_LB£).

又因为AOn£>Di=Q,£>。1<1平面4。。1，AOu平面AOQ1，

所以8。_1平面4)。1，

因为8£>u平面DBE,所以平面£>BE_L平面ADD}

(〃)解：由(/)知，DA,DB,力。两两垂直，

以。为原点，DA,08,所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则。(0,0,0),A(3,0,0),Di(0,0,4),B(0,4,0).

由几=辰;可得C(-3,4,0),所以E(-3,4,2).

则赤1=(-3,0,4),DB=(0,4,0),DE=(-3,4,2),

设7=(x,y,z)是平面BOE的一个法向量,

(DB-n=4y=0,

{DE-n——3x+4y+2z=0

令x=2,可得£=(2,0,3)

设直线AO1和平面BDE所成的角为0,

|血=-6+12_6同

则sin。=\cos{ADn)\

lfMDJInl5xB65

【点评】本题考查空间的垂直关系和线面角的计算，考查空间想象能力，转化思想以及

计算能力，是中档题.

3.如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，SLABLAD,BC//AD,BC=AB=^AD=I,

PA=PD=V10,平面%。_L平面ABC。，点M为棱PD上动点.

(1)当/为P£>的中点时，平面平面PC£>=/,求证：/〃平面ACM；

V22

(2)是否存在点M使二面角M-4C-Q的余弦值为二二，若存在，请确定M的位

11

置；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由条件可知PQ与/重合，根据C为。。的中点，M为尸。的中点，可得

MC//PQ,进一步证明/〃平面ACM；

(2)取A£＞的中点0,分别以0C,0A,0P为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

-xyz,M在棱P£＞上，不妨设血=2而，其中0W入W1,根据二面角M-AC-。的余

弦值为二V22，得到关于人的方程，求出入后，再得到〃的坐标.

11

【解答】解：(1)证明：延长AB,DC交于Q,连接PQ.

则易知PQ为平面PAB与平面PCD的交线，即P。与/重合.

由题意，在△AOQ中，BC//AD,H.BC=^AD,故C为。。的中点.

又为P。的中点，；.MC〃PQ,

：MCu平面ACM,PQC平面ACM,

〃平面ACM,即/〃平面4cM.

(2)取A。的中点O,连接OP,OC,由题意可得0P_L4£＞,OCA.AD.

又..•平面B4Z)_L平面A8CD,则OP_L平面ABC。，

.,.分别以OC,OA,OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-Ayz.

则4(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,3),

：.DP=(0,-1,3),AD=(0,2,0),AC=(1,1,0)

TM在棱P。上，不妨设质=a茄=4(0,-1,3)=(0,-九3A),其中0W入W1.

：.AM=AD+DM=(0,2,0)+(0,-入，3入)=(0,2-入，3人)，

设平面MAC的一个法向量为就=(x,y,z),

则［薪•嬴=0,即j(2—/l)y+3/lz=0,

I力晶=o''&+y=°

令z=2-入，解得y=-3入，x=3A,即肃=(34,-3A,2-A).

又・・,平面ACO的一个法向量蔡=(0,0,1).

/.\cos<m,n>|=一一12川二解得4=

«3行+(一3冷2+(2一4)2I13