2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程学案版1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE17学必求其心得，业必贵于专精2．3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3。会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考已知点P（x，y）的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形?（1）｜eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|＝6；（2)eq\r（x＋42＋y2)－eq\r（x－42＋y2)＝6.梳理把平面内与两个定点F1,F2距离的________________等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴?思考2如图,类比椭圆中a，b,c的意义，你能在y轴上找一点B,使OB＝b吗?梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1（a>0,b〉0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2)＝1(a>0，b>0)焦点F1（－c,0），F2（c,0）F1(0,－c），F2(0，c)焦距F1F2＝2c,c2＝a2＋类型一求双曲线的标准方程例1求下列双曲线的标准方程:（1)与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f（x2，16）＝1有公共焦点，且过点（－2,eq\r(10））；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3）过点P（3，eq\f(15,4）），Q（－eq\f（16,3)，5），且焦点在坐标轴上．反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB〈0)．②与双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a＞0，b＞0）共焦点的双曲线的标准方程可设为eq\f（x2,a2－k)－eq\f（y2,b2＋k）＝1（－b2＜k＜a2）．(3）计算:利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程:（1）c＝eq\r(6)，经过点A（－5，2)，焦点在x轴上;（2）经过点P(4，－2)和点Q（2eq\r(6）,2eq\r(2））；(3））已知双曲线与椭圆eq\f（x2，27)＋eq\f（y2,36）＝1有共同的焦点，且过点(eq\r(15)，4)．类型二由方程判断曲线的形状例2已知0°<α<180°，当α变化时,方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？反思与感悟像椭圆的标准方程一样,双曲线的标准方程也有“定型"和“定量”两个方面的功能:①定型：以x2和y2的系数的正负来确定；②定量:以a、b的大小来确定．跟踪训练2已知曲线eq\f(x2，16－m）－eq\f(y2,m）＝1.(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．类型三双曲线的定义及应用命题角度1焦点三角形问题例3(1)如图,已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b>0)，点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．引申探究在本例（2）中，若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．(2）已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2，16)＝1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法（1)方法一:①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a②利用余弦定理表示出PF1，PF2,F1F2③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值;④利用公式＝eq\f(1，2）×PF1·PF2sin∠F1PF2求得面积．(2）方法二：利用公式＝eq\f(1,2)×F1F2×｜yP|(yP为P点的纵坐标）求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用,特别是与PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al（2，2），PF1·PF2间的关系．跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左，右焦点,点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝________.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已知圆C1:(x＋3）2＋y2＝1和圆C2：(x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________．反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时,要注意常数与两定点间距离的大小问题．（3）求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练4设F1，F2是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,45)＝1的左,右焦点，P是双曲线左支上一点．若PF1、PF2、F1F2成等差列，且公差大于0,则∠F1PF2＝________。1．已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________________________．2．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，a2)＝1与双曲线eq\f(x2，a）－eq\f（y2，2）＝1有相同的焦点，则a＝________。3．若方程eq\f（x2，10－k）＋eq\f(y2,5－k)＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．4．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f（y2,24）＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点,且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1）a＝3，c＝4,焦点在x轴上；（2)焦点为(0，－6），(0,6)，经过点A（－5，6);（3)以椭圆eq\f(x2，8）＋eq\f（y2,5）＝1长轴的顶点为焦点，且过（3，eq\r(10)）．1．在双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a<F1F2），不要漏了绝对值符号,当2a＝2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b,c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn〈0)的形式求解．提醒：完成作业第2章§2。32。3。1

答案精析问题导学知识点一思考（1)∵｜eq\r(x＋52＋y2）－eq\r（x－52＋y2）｜表示点P(x,y）到两定点F1（－5，0）、F2(5，0）的距离之差的绝对值，F1F2＝10,∴｜PF1－PF2｜＝6〈F1F2故点P的轨迹是双曲线．（2）∵eq\r（x＋42＋y2)－eq\r（x－42＋y2）表示点P(x,y)到两定点F1（－4，0)、F2(4,0）的距离之差，F1F2＝8,∴PF1－PF2＝6〈F1F2故点P的轨迹是双曲线的右支．梳理差的绝对值双曲线的焦点两焦点间的距离知识点二思考1在双曲线标准方程中,x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上,而与分母的大小无关．思考2以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OB＝b.题型探究例1解(1)方法一椭圆eq\f（x2，16)＋eq\f（y2，25)＝1的焦点为F1（0，－3），F2（0，3)．设双曲线的标准方程为eq\f（y2,a2)－eq\f（x2，b2)＝1（a>0，b〉0)，则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(10,a2）－\f(4，b2)＝1，,a2＋b2＝9,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝5,，b2＝4.)）故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2，5）－eq\f（x2，4)＝1。方法二由椭圆方程eq\f（x2,16)＋eq\f(y2,25）＝1知，焦点在y轴上,设所求双曲线方程为eq\f（y2，25－λ)－eq\f（x2,λ－16）＝1(16〈λ<25)．因为双曲线过点（－2，eq\r(10)）,所以eq\f(10，25－λ）－eq\f（4，λ－16)＝1，解得λ＝20或λ＝7（舍去)，故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,5）－eq\f(x2,4)＝1。(2）因为双曲线经过点M（0，12),所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12。又2c＝26，所以c所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为eq\f（y2，144）－eq\f（x2,25)＝1.(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<0)．因为点P(3，eq\f(15，4）),Q(－eq\f(16，3),5)在双曲线上,所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(9m＋\f（225,16)n＝1,，\f(256,9）m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝－\f(1,16)，，n＝\f(1，9）.）)故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9）－eq\f(x2，16)＝1。跟踪训练1解(1）设双曲线标准方程为eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2）＝1（a>0,b〉0），∵c＝eq\r（6）,∴b2＝c2－a2＝6－a2。由题意知eq\f(25，a2）－eq\f（4,b2）＝1，∴eq\f(25，a2)－eq\f(4，6－a2)＝1，解得a2＝5或a2＝30（舍)．∴b2＝1。∴双曲线的标准方程为eq\f（x2,5）－y2＝1。(2）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0）．∵点P（4，－2）和点Q（2eq\r（6）,2eq\r（2)）在双曲线上,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（16m＋4n＝1，，24m＋8n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f（1,8)，,n＝－\f（1，4)，))∴双曲线的标准方程为eq\f(x2，8)－eq\f(y2,4）＝1。(3）椭圆eq\f(x2，27)＋eq\f(y2，36）＝1的焦点坐标为F1（0,－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的标准方程为eq\f（y2,a2）－eq\f(x2，b2）＝1.由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9,，\f（42，a2）－\f(\r（15）2,b2）＝1，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝4,,b2＝5.））∴双曲线的标准方程为eq\f（y2,4）－eq\f(x2,5）＝1.例2解（1）当0°<α<90°时,方程为eq\f(x2,\f(1，cosα））＋eq\f(y2,\f（1，sinα））＝1。①当0°〈α〈45°时，0<eq\f（1，cosα)〈eq\f(1，sinα），方程表示焦点在y轴上的椭圆．②当α＝45°时,方程表示圆x2＋y2＝eq\r（2)。③当45°<α〈90°时，eq\f（1，cosα）>eq\f（1,sinα)〉0，方程表示焦点在x轴上的椭圆．(2）当α＝90°时,方程为y2＝1.方程表示两条平行直线y＝±1.（3)当90°<α<180°时,方程为eq\f(y2,\f（1,sinα）)－eq\f(x2,\f(1,－cosα)）＝1，方程表示焦点在y轴上的双曲线．跟踪训练2解（1）当曲线为椭圆时，依题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(16－m>0,,－m〉0，,16－m≠－m，)）解得m<0,即m的取值范围为(－∞，0)．此时,椭圆的焦点在x轴上,焦点坐标为（±4，0）．(2）当曲线为双曲线时，依题意得(16－m)m〉0,解得0〈m<16,即m的取值范围为(0,16)．此时，双曲线的焦点在x轴上,焦点坐标为(±4，0）．例3（1）4a＋2m(2）16eq\r(3)引申探究解由双曲线方程知a＝3，b＝4,c＝5.由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a所以PFeq\o\al（2,1)＋PFeq\o\al（2，2)－2PF1·PF2＝36。①在Rt△F1PF2中，由勾股定理,得PFeq\o\al（2,1)＋PFeq\o\al（2，2）＝F1Feq\o\al(2,2）＝（2c）2＝100.②将②代入①,得PF1·PF2＝32。所以＝eq\f(1,2）PF1·PF2＝16.跟踪训练34例4x2－eq\f（y2,8)＝1(x≤－1)