量子力学十道面试题目

十道量子力学口试题赏析说明第一，这十道面试题，不是特意编辑和思考的结果。而是上篇博文撰写过程中，临时回想出的一些问题。面试过程中，对每位考生，每位老师顶多能问一次，而且最好不要重复。所以我现场提出的问题要多很多，而且不限于量子力学。第二，周世勋先生的《量子力学教程》是我校指定的复习教材，很多学生的笔试近乎满分。问一问就可以知道他是否尝试脱离应试的桎梏。第三，如果不是研究理论性问题的研究人员、也不是量子类课程（含量子力学、量子场论、量子统计、固体理论等）的教师，一时想不起答案来，很正常。————插播————复试时自傲的学生?还是上个世纪碰到过!科学院物理所罗会仟研究员:学生会非常自傲，说把量子力学给读烂了，然后面试问题是让他在黑板上现场解氢原子的薛定谔方程。这哥们立马挂了。对考科学院理论物理所博士的某位硕士：“你说你的硕士论文研究的是统计物理问题，而你解决的这个问题对宇宙起源和演化的理解有所帮助。那你讲讲都有哪些帮助?”这哥们也立马挂了。1,宽度为a的一维无限深势阱中的基态，当宽度突然变化到2a时，是否会变到新的无限深势阱中的基态?答案：在新的势阱中，要把原来的基态通过简单的添加零后就是新的势阱中的状态（以保证粒子数守恒），会发现这个态不是新势阱中的基态。赏析：动力学立即改变时，状态不会马上变化。不过，如果把这个问题反过来，问当宽度突然由2a变化到a时，基态如何变化，就是一个棘手的问题。2，问一维谐振子基态波函数对位置的依赖大概是个什么函数?答案：高斯分布。赏析：一维体系本征态有三大性质（节点定理，简并定理，宇称定理）。高斯分布往往是对基态形式的第一个尝试。3，粒子的能量低于势垒高度而处于势垒中时，粒子的动能是否为负?答案：学生常有这个困惑。本质上，量子力学中没有这个问题。周世勋《量子力学教程》P.92有专门讨论。现在我们可以讨论§2.8末尾提出的问题:怎墉理解势垒¥穿中在势垒内部粒子动能是负值的问题.在量子力学中,这个问■的提法就未能成立，因为（2.8-20）［见第布贡技搀算符的等式由于坐标算符和动量算符不对易，势能算符双总和动能算了若也就不对易，即势能和动能不能同时具有确定值；在这种情"「下，说在某一点或某十区域内粒子的能量等于动能与势能之和看没有意义的。（2.8r20）式只说明在一个态中平均总能量等于平也动能与平均势能之和,而对一个态求平均时,要对曳量的整个区的积分°当粒子在势垒范围内被发现时，根据测不准关系，粒子的宫能就在某一范围内不确定。赏析：这是周世勋先生《量子力学教程》中唯一一个两次着墨的问题。不可轻视！开始学习量子力学，难以挣脱经典力学理解的定势。而认真的学生要有一个自我摆脱的过程，并且对这个羽化的过程有体会。按杨振宁先生的说法，任何一位量子力学的学习者，如果没有这个羽化过程，难以进入量子力学的厅堂。4，基态氢原子能级是多少?答案：-13.6eV赏析：13.6eV对于通常的热运动、光照等因素来说，是个很大的能量。它是通常情况下氢原子稳定、也就是碳水化合物（含人体）稳定的原因。5，会不会计算基态氢原子的动量分布?是否听说过对这个分布的测量?答案：这是周世勋《量子力学教程》P.85-86上的一个例题。例求氢原子处于基态时,电子动量的几率分布。因为要求的是动量的几率分布，我们首先将氢原子基态波数则。。按动短算符的本征函数中P展开。动量算符的本征战组连续法，因而展式可分为砂hMt）=｝日办6）0.由（3.6-8）式，几率振幅为Cj>=，/⑺如皿⑺此'聘房4西得⑺=（J$1”代入上式，彳1nI,I尢2(251nI,I尢2(25犷…：*2Te^edrdc^ed<p.先对中积分，再对。。与。积分，最后用分部积分法对牙积分，即工求得Cp=cos#Cp=cos#r2drdcos6338rii一"a^F一新中，K^rnJre『[ea]drQ一一(2如引”Jf[flo,P2+fc2]2

这式子便与力的绝对值有关，与叁的方向无关力由此得到动量f比率密度为Ic户―8a汴5当氢原子处于基态时，电子动量的绝对值在2fp+&》范围内f几率，等于!c,P乘以动量空间的体积元4孔加孙,即w(p)dp=—w(p)dp=—利用公式「高晶二监，可以证明各种可能的几率之和等于1赏析：这是一道优美的习题，值得所有量子力学初学者记住。对这个动量的直接测量需要1990末期出现的电子动量谱仪(Electron-momentumspectroscopy)及其发展。电子动量谱仪的出现是量子力学导致的一个重要技术进步。我曾经引用过的文献包括了清华大学实验小组的工作XGRen式加)X.-G.Renetal,M.VosandI.McCarthy:Am.J.Phys.65(1997)544;M.Vos:Aust.J.Phys.51(1998)609.E.WeigoldandI.McCarthy:ElectronMomentumSpectroscopy(KluwerAcademic/Plenum,NewYork,1999).M.Vos,S.A.Canney,I.E.McCarthy,S.Utteridge,M.T.Michalewicz,andE.Weigold:Phys.Rev.B56(1997)1309.X.-G.Ren,C.-G.Ning,J.-K.Deng,S.-F.Zhang,G.-L.Su,B.Li,andX.-J.Chen:Chin.Phys.Lett.22(2005)1382.6，如果用不确定性原理来估算一个系统的基态，问用经典力学还是量子力学来估计位置和动量的不确定度?答案：经典力学。赏析：量子力学中的一些问题，有时并不需要用到量子力学“全套武装”。很多时候，经典力学加不确定性原理就可以建立起很好的图像和结果。不过要小心，不确定性原理对经典力学概念的使用范围提供了一个很强的限制。7,有篇文献中出现了如下狄拉克记号l\psi(x,t)>,你觉得合适吗？答案：按初等量子力学，这是不合适的。可以是\psi(x,t),也可以是l\psi(t)>,不可以是昨五位此>。按狄拉克的想法，引入bra和ket记号就是不依赖于任何表象的一种抽象表示法。如果投影到具体表象中，态函数才有具体形式，例如把一个状态投影到坐标表象lx>中，有\psi(x,t)=<xl\psi(t)>.赏析：张永德先生似乎对狄拉克记号有他的看法，细节不详。8,如果一个轨道角动量的量子数为1,z方向上的投影量子数也是1.如果另外有一个z’轴，和z的夹角非常小(例如1度)，问在这个z′轴上测量原角动量的投影,会得到什么结果？答案：可能值只能是(-1,0,1)\hbar，但是期待值非常接近于1\hbar.赏析：量子力学中角动量在空间任意方向上的可能取值都是分立的。9,当光射到原子上时,光波中的电场和磁场同时对原子中的电子有作用。问,为什么只考虑电场的影响？答案：磁作用比电作用小倍这也是周世勋《量子力学教材》P.163上专门讨论过的内容。当光射到原子上时，光波中的电场有和磁场场都对原子中|电子有作用。在电场中，电子的能量是。&=函・吏；磁场对电子f作用是由于电子在原子中运动时具有磁矩M,因而电子在磁场।的能量是。器•婚。我们来比较这两种能量的大小.U擂的?量级是遇。，°。二条是玻尔轨道半径；由第三章习题量级是遇。，°。二条是玻尔轨道半径；由第三章习题3.4知取『一族五’(SI):2pcL”2pcL”(CGS);L.是角动量之分量,它的数量级是3由此得。■吟忽，⑸);U：(CGS).因为(SI);&〜/(CGS),于是有所以两种能量之比是_“■」,，137,。是精细结构常数。由此可见，和电场的作用相比较，磁场对电的作用可以略去。下面我们只考虑光波中电场对电子的作用°赏析：学习初等量子力学，要记得一些典型的、有趣的实验结果。特别是，要知道和别的课程中的区别。1，在电动力学中，平面电磁波中的电场分量和磁场分量的平均能量相等。可是打到原子上时，磁场部分就不那么“阳刚”了。2，精细结构常数，似乎出现到了不相关的地方。10，什么是自旋单态?或者什么是正氦仲氦?答案：两个电子自旋角动量耦合，其波函数有对称和反对称两种。