第四次课-案例5.1展示第二组

案例5.1销售肥皂成员：高明秀、卢怡彤、张莲新、高星露、李存伟、刘楠、桑亚东成本收益平衡问题在资源分配问题中，各种资源的使用是受限制的，问题的目标是最有效地利用各种资源。对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的姿态，他们指明哪些收益必须实现，并且要以最低的成本实现所指明的收益。这样，通过指明每种收益的最低可接受水平（minimumacceptablelevel），以及实现这些收益的最小成本，管理层期望获得成本与收益之间的适度平衡。对于任何成本收益平衡问题，大部分工作将放在识别所有的活动和收益以及收集相关的数据上。需要三种数据：每种收益的最低可接受水平、每一活动对相应收益的贡献、每种活动的单位成本。解决案例5.1所需要的假设1.各类广告受众不重叠2.随着广告量的增加，广告单位成本不变3.广告供给不限制（供给一定能满足需求）4.在任一平台所做的每一次额外的广告都会带来相同的销售增长，而不考虑已经做了多少广告利博公司广告组合问题Profit&GambitCo.Advertising-MixProblemTelevisionPrintMediaRangeNameCellsUnitCost($millions)12AdvertisingUnitsC14:D14IncreasedSalesE8:E10IncreasedMinimumIncreasedSalesPerUnitAdvertisingC8:D10IncreaseinSalesperUnitofAdvertisingSalesIncreaseMinimumIncreaseG8:G10StainRemover0%1%3%>=3%TotalCostG14LiquidDetergent3%2%18%>=18%UnitCostC4:D4PowderDetergent-1%4%8%>=4%TotalCostTelevisionPrintMedia($millions)AdvertisingUnits4310TV30.710PM048最初的最优解为，4单位的电视广告和3单位的印刷媒体广告，总成本为$10million

可行域TV30.713PM08此时最优解为：3.33单位的电视广告和4单位的印刷媒体广告，总成本为$11.33million

可行域TV30.710PM08此时最优解为：4.33单位的电视广告和3单位的印刷媒体广告，总成本为$10.33million

可行域TV30.710PM048此时最优解为：4单位的电视广告和3单位的印刷媒体广告，总成本为$10million，不发生改变

可行域如果去污剂的销量最小增加值为1%，其他不变，去污剂的销量增加值为4%，洗衣液的销量增加值为18%，洗衣粉的销量增加值为13%，电视广告投入3.33单位，印刷媒体投入4单位，总成本为1133万美元。如果洗衣液的销量最小增加值为1%，其他不变，去污剂的销量增加值为3%。洗衣液的销量增加值为19%，洗衣粉的销量增加值为8%，电视广告投入为4.33单位，印刷媒体投入为3单位，总成本为1033万美元。如果洗衣粉的销量最小增加值为1%，其他不变，去污剂的销量增加值为3%，洗衣液的销量增加值为18%，洗衣粉的销量增加值为8%，电视广告投入4单位，印刷媒体投入3单位，总成本是1000万美元。去污剂销量增加的最小增加值广告投放单位总成本增加的成本电视印刷媒体（百万美元）（百万美元）43100%4.5712.1438.8571%4.5712.1438.8570.0002%4.5712.1438.8570.0003%43101.1434%3.333411.3331.3335%2.667512.6671.3336%26141.333洗衣液销量增加的最小增加值广告投放单位总成本增加的成本电视印刷媒体（百万美元）（百万美元）43100%0361%0360.0002%0360.0003%0360.0004%0360.0005%0360.0006%0360.0007%0.33336.3330.3338%0.66736.6670.3339%1370.33310%1.33337.3330.33311%1.66737.6670.33312%2380.33313%2.33338.3330.33314%2.66738.6670.33315%3390.33316%3.33339.3330.33317%3.66739.6670.33318%43100.33319%4.333310.3330.33320%4.667310.6670.33321%53110.33322%5.333311.3330.33323%5.667311.6670.33324%63120.33325%6.333312.3330.33326%6.667312.6670.33327%73130.33328%7.333313.3330.33329%7.667313.6670.33330%83140.33331%8.2863.07114.4290.42932%8.5713.14314.8570.42933%8.8573.21415.2860.42934%9.1433.28615.7140.42935%9.4293.35716.1430.42936%9.7143.42916.5710.429洗衣粉销量增加的最小增加值广告投放单位总成本增加的成本电视印刷媒体（百万美元）（百万美元）43100%43101%43100.0002%43100.0003%43100.0004%43100.0005%43100.0006%43100.0007%43100.0008%43100.000我们就平衡问题对每个函数的约束进行了分析，最优估计如下所示：假如洗衣液和洗衣粉增加的销量保持不变，使得去污粉增加的销量发生变化，当其销量的最小增加量的变化范围为2.1%-9%时，可以保持现有的广告投入量，因为根据我们的计算所得，此时的最小成本不会发生变化。同样，我们利用相同的计算方法可以得到当去污粉和洗衣粉的销量增加量不变而洗衣液销量的最小增加量在6%-30%之间变化时，保持现有的广告投入可以使得成本最小。类似的，洗衣液的销量的最小增加量的变化范围为0%-8%。（1）由敏感性报告可知三种产品的销量最小增加值允许的增加值分别为0.06,0.12,0.04，而当三种产品最小销售增量分别变化0.01时，均在各自影子价格有效的允许变化范围内，总成本的增加量分别为各自的影子价格乘以百分比，因此喷雾剂最小销售增加值变为0.04时，总成本增加1.3333333，洗衣液最小销量增加值为0.19时，总成本增加0.3333333，洗衣粉最小销量增加值为0.05时，总成本不变。（2）利用敏感性报告，我们可知第一个函数约束（喷雾去垢剂）的影子价格为133.33333，其右端值的允许增量为0.06，允许减量为0.00857，所以其允许的变化范围为0.02143至0.09；第二个函数约束（洗衣液）的影子价格为33.33333，其右端值得允许增量为0.12，允许减量为0.12，所以其允许的变化范围为0.06至0.3，第三个函数约束（洗衣粉）的影子价格为0，其右端值的允许增量为0.04，允许减量为1E+30，所以其允许的变化范围为0至0.08：根据这些允许变化范围，我们反过来观察问题C中得到的结果，在表1中0.03—0.06的变化范围内，总成本递增量为1.3333333，等于其影子价格，表二中0.12—0.3的变化范围内，总成本的递增量为0.3333333，等于其影子价格，表三中0—0.8变化范围中，总成本不变，同样满足其影子价格为0。推翻假设1现实生活中，电视和印刷媒体并不是完全独立的去发挥作用。存在这样的情况，有部分人群会在看到利博公司投放的电视广告的同时，还看到印刷媒体广告。此时，在考虑这部分人群所带来的销量的增加时，如果仍沿用原先的模型去解决的话，显然会导致在各自媒体上做一单位广告而带来的相应产品销量的估计增加比例，被重复计算。因此，在这种情况下，我们就需要对这个“重叠部分”进行考虑。通过查阅相关文献和资料，针对于这两种方式的广告投发的重叠率我们无法获取在具体的值，我们建议利博公司通过市场调研的方式，或者通过以往广告投放时的后端监测及效果数据进行分析（可以采用谷歌广告监测工具DCM，其中，跨维度覆盖面报告可以提供重叠数据），从而去估计该重叠率。目前，我们只能暂且估计重叠率为5%，看在此情况下，利博公司该如何决策。基于此，我们对模型进行了进一步改进。在考虑此问题时，我们增加一条假设：H：假设一个购买者最多只能购买各类产品的各一件。（确保销量增加比例与人群相对应）首先，广告的总成本计算不变，仍是Min成本=1TV+2PM喷雾去污剂：只通过印刷媒体广告增加销售量，所以它不必考虑“重叠部分”1%PM>=3%洗衣液：两种途径的广告受众重叠率为5%，而且我们假设一个购买者最多只能购买各类产品的各一件，在此条件下，只有总量的95%才可以转化为有效的销量增加值，所以我们将模型改为：（1-5%）（3%TV+2%PM）>=18%同理，得到洗衣粉对应的模型：（1-5%）（-1%TV+4%PM）>=4%在这个模型中，-1%与95%相乘，我们发现得到的数值大于-1%，这也说明在考虑重叠率的情况下，电视广告给洗衣粉带来的“销量增加值”增加了。这是因为，之前本问题中曾提到“洗衣粉增加份额为-1%的原因是洗衣液的电视商业广告会带走一些洗衣粉的销售额”，但是当我们考虑如果有人既看电视又看印刷广告时，在这种情况下，我们认为，由于洗衣粉印刷广告的作用，这将为洗衣粉“赢回”一些人群，或者说是销量。我们得到最终模型：最小化成本=1TV+2PMs.t.喷雾去污剂的销量增加：1%PM>=3%洗衣液的销量增加：（1-5%）（3%TV+2%PM）>=18%洗衣粉的销量增加：（1-5%）（-1%TV+4%PM）>=4%以及TV，PM>=0根据excel分析的结果显示，与原先所求得的最优解相比，电视广告的投入量增加了。印刷媒体的广告量不变，总成本增加。推翻假设2假设“随着广告量的增加，广告单位成本不变”不成立。首先我们需要进行市场调研，预估当广告数量达到何值时（假设为a1，a2），其单位成本发生改变，改变有两种方式：1）数量到达a之后，每增加一单位广告的成本为另一常数值；2）数量到达a之后，每增加一单位广告的成本递减。由此可知若为情形2），则变为非线性规划问题，所以在此不对情形2）进行讨论，只对情形1）加以讨论。讨论如下：根据调查当电视广告数量大于a1（a1>=4或a1=2）时，其单位成本变为0.5（百万），印刷媒体广告数量大于a2（a2>=3或a2=2）时，其单位成本为1（百万）。a1>=4,a2>=3时

我们知道（4，3）是我们在假设广告单位成本不变时的最优解，所以当广告单位成本发生改变的最小数值仍大于最优解时，其对于模型最优解和最小成本均不产生影响。a1=2,a2>=3时此时a1=2<4，所以其对最优解和最小成本均会产生影响。因为原广告单位成本不变时的最优解为（4，3），所以我们可知，对于电视广告的投放量大于2个单位，所以进行新的规划