第一章矢量分析

第一章矢量解析第一章矢量解析

1.1

标量拥有大小特点的量称为标量

1.2矢量

矢量的表示习惯上用黑体符号或在符号上加单向箭头表

示矢量，如矢量A可记为

A

或是

A。大小(又称为模值)为

1的矢量称为单位矢量，他没有量刚。

矢量的单位矢量用

ea

表示，即Aea

A.在直角坐标系中，矢量

A

可表示为Ae_A_

eyAy

ezAz____-6-20(1.1)第一章矢量解析矢量的模值为AA_2Ay2Az2矢量A单位矢量ea为eaAAe_A_AeyAyAezAzAAe_A_eyAyezAze_coseycosezcos(1.2)AzzAAy_____-6-20A_y图1.1直角坐标系下的矢量A____-6-20____-6-20第一章矢量解析矢量的代数运算1矢量加法设矢量Be_B_eyByezBz,则AB为ABe_(A_B_)ey(AyBy)ez(AzBz)(1.3)矢量的加法知足交换律和结合律，即(1.4)(a)结合律：(AB)CA(BC)(1.5)AB____-6-20

交换律：ABBA(b)ABABBABB图1.2矢量加减第一章矢量解析2矢量减法矢量A与矢量B相加称为矢量记为AB,即ABe_(A_B_)ey(AyBy)ez(AzBz)

A与

B

的差，(1.6)3矢量的乘积1)矢量的数乘设k为任意常数，则kAea(kA)2)矢量的标量积(标积或内积)矢量A与矢量B的标量积记为AB,其大小等于A和B的模与它们之间夹角的余弦的乘积，即____-6-20ABABcosAB(1.7)第一章矢量解析0180式中AB是A和B之间较小的夹角，即AB两矢量的标量积知足交换律和分配律，即(1)ABBA(1.8)(2)A(BC)ABAC(1.9)但结合律不适用于标量积,由于ABC这样的表达式无心义。在直角坐标系下ABA_B_AyByAzBz(1.10)3)矢量的矢量积(矢积)矢量A与B的矢量积记为AB,它是一个矢量，即AenABsinAB____-6-20(1.11)第一章矢量解析矢量积不知足交换律，即ABBA1.12矢量积知足分配律，即A(BC)ABAC矢量积不知足结合律，即A(BC)(AB)C在直角坐标系下，e_ABA_B_____-6-20eyAyByezAzBz1.15第一章矢量解析3)三个矢量乘积三个矢量的乘积有两个，即三重标量积和三重矢量积。(1)三重标量积公式：A(BC)B(CA)C(AB)1.16式中A,B和C的次序知足循环交换律。三重矢量积公式：A(BC)B(AC)C(AB)1.17此式被称为“back-cab”规则____-6-20E_ample2-1ProvethelawofcosinesforatriangleSolution:ReferringtoFig.2-7,thelawofcosinesstatesthatCA2B22ABcosConsideringthesidesasvectors:thatisCABTakingthedotproductofCwithitself,wehave:CCC(AB)(AB)AABB2ABAB2ABcosAB222CBBABAB180CAB2ABcos180222COAAB2ABcos____-6-2022AFig.2-7IllustratingE_ample2-1CA2B22ABcosReviewquestionsR2-1Whichofthefollowingproductsofvectorsdonotmakesense?E_plain.(a)ABC(b)ABC(c)ABC(d)AB(e)AaA(f)ABCR2-2ABAC

imply

IsB

(

AC

B)Cequal?E_plain.

toA(BR2-4

C)?DoesA

R2-3BA

C

DoesimplyCE_plain.____-6-20第一章矢量解析1.3标量场与矢量场场的定义表达为，若对于空间域Ω上每一点都对应着某个物理量的一个标量(数目)或是一个矢量，则称此空间域确定了这个物理量的场。若所议论的物理量是标量，则称这个场为标量场；若所讨论的物理量是矢量，则称这个场为矢量场。比方，若所研究的物理量是温度、压力、密度、电位等时，这些物理量的状态可以用标量函数A(_,y,z,t)来描绘；反之，当所研究的物理量时力、速度、电场强度等时,这些物理量的状态可以用矢量函数A(_,y,z,t)来描绘。若一个场中的每一个点所对应的量与该点的地址有关，还与时间有关，则称这类场为动向(时变)场。如果场中的每一点所对应的量与时间没关，则称这类场为静态场。____-6-20第一章矢量解析方导游数lP方导游数在实质应用中不单需要宏观上认识场在空间的数值，还需要知道场在不同样方向上场变化的状况。应用方向性导数可以描绘标量场在空间某个方向上变化的状况。____-6-20P图1.4方导游数方向性导数表示场沿l方向的空间变化率。第一章矢量解析方导游数:标量场在某点的方导游数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。比方标量场在P点沿l方向上的方导游数定义为lPllimP(P)(P)Δl0(1.18)梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方导游数，梯度的方向为该点拥有最大方导游数的方向。可见，梯度是一个矢量。____-6-20图标量场梯度的图示____-6-20第一章矢量解析在直角坐标系中，标量场grad