2018届高三数学第40练数列中的易错题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE9学必求其心得，业必贵于专精第40练数列中的易错题训练目标(1)数列知识的深化应用;（2）易错题目矫正练．训练题型数列中的易错题．解题策略（1)通过Sn求an，要对n＝1时单独考虑;（2)等比数列求和公式应用时要对q＝1，q≠1讨论;(3）使用累加、累乘法及相消求和时，要正确辨别剩余项，以免出错.一、选择题1．等差数列｛an｝的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值,则下列各数也为定值的是(）A．S7 B．S8C．S13 D．S152．已知等差数列：1，a1，a2,9；等比数列：－9，b1,b2，b3，－1。则b2(a2－a1)的值为()A．8 B．－8C．±8 D.eq\f(8,9）3．已知函数y＝f（x），x∈R，数列{an｝的通项公式是an＝f(n)，n∈N*,那么“函数y＝f(x）在［1，＋∞）上递增”是“数列｛an}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2017·抚州月考）设Sn为等差数列{an}的前n项和，（n＋1)Sn<nSn＋1（n∈N＊)．若eq\f(a8,a7）<－1，则(）A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S75．（2016·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列｛an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是()A．若a3>0，则a2013<0 B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0,则S2013〉0 D．若a4〉0，则S2014〉06．已知数列{an｝满足：an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3－an－3，n≤7，,an－6,n>7)）(n∈N＊)，且｛an}是递增数列，则实数a的取值范围是(）A．(eq\f（9，4），3） B．[eq\f（9,4),3)C．(1，3) D．(2，3）7．(2016·江南十校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3eq\f（n，n＋1)(n∈N*),则使Sn〈－4成立的最小自然数n为（)A．83 B．82C．81 D．808．数列{an｝满足a1＝1,an＋1＝r·an＋r（n∈N＊，r∈R且r≠0),则“r＝1”是“数列｛an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题9．若数列｛an}的前n项和Sn＝n2－2n－1,则数列{an｝的通项公式为________________．10．（2016·辽宁五校联考）已知数列{an｝满足an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n，n）,则数列｛eq\f(1,anan＋1)｝的前n项和为________．11．已知数列｛an}是递增数列，且对于任意的n∈N＊，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．12．在数列{an}中,a1＝1，a2＝2,数列｛anan＋1}是公比为q(q>0）的等比数列，则数列{an}的前2n项和S2n＝____________。

答案精析C[∵a2＋a8＋a11＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋（a1＋10d）＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)∴a1＋6d为常数．∴S13＝13a1＋eq\f（13×12,2)d＝13（a1＋6d）也为常数．］2．B[a2－a1＝d＝eq\f（9－1,3）＝eq\f（8，3），又beq\o\al（2，2）＝b1b3＝(－9)×(－1）＝9，因为b2与－9，－1同号，所以b2＝－3。所以b2(a2－a1)＝－8。]3．A[由题意,函数y＝f(x),x∈R,数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N*.若“函数y＝f（x）在[1，＋∞）上递增"，则“数列｛an｝是递增数列"一定成立；若“数列{an｝是递增数列”，则“函数y＝f(x)在［1，＋∞)上递增”不一定成立，现举例说明,如函数在［1，2］上先减后增，且在1处的函数值小．综上，“函数y＝f（x)在[1，＋∞)上递增"是“数列｛an｝是递增数列”的充分不必要条件，故选A.]4．D［由（n＋1)Sn〈nSn＋1，得(n＋1）·eq\f(n（a1＋an），2）〈n·eq\f((n＋1）(a1＋an＋1)，2），整理得an<an＋1，所以等差数列{an}是递增数列,又eq\f（a8,a7)〈－1,所以a8〉0，a7<0,所以数列｛an｝的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.］5．C[设an＝a1qn－1，因为q2010〉0，所以A，B不成立．对于C,当a3〉0时，a1>0,因为1－q与1－q2013同号，所以S2013〉0，选项C正确，对于D，取数列：－1,1，－1，1,…,不满足结论，D不成立，故选C.]6．D[根据题意,an＝f(n）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(（3－a)n－3，n≤7,,an－6，n〉7,））n∈N*，要使｛an｝是递增数列，必有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3－a〉0，，a〉1,，(3－a）×7－3〈a8－6，）)解得2〈a〈3.]7．C[∵an＝log3eq\f(n，n＋1）＝log3n－log3(n＋1），∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3（n＋1)＝－log3（n＋1）〈－4，解得n>34－1＝80.故最小自然数n的值为81.]8．A[当r＝1时,易知数列｛an}为等差数列;由题意易知a2＝2r,a3＝2r2＋r，当数列{an}是等差数列时,a2－a1＝a3－a2，即2r－1＝2r2－r。解得r＝eq\f（1，2)或r＝1，故“r＝1”是“数列｛an}为等差数列”的充分不必要条件．］9．an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－2，n＝1，,2n－3，n≥2)）解析当n＝1时，a1＝S1＝－2;当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，所以数列｛an｝的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,2n－3，n≥2。))10。eq\f(2n，n＋2）解析an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n，n)＝eq\f（n＋1,2），则eq\f(1,anan＋1）＝eq\f（4，(n＋1）（n＋2））＝4（eq\f(1,n＋1）－eq\f（1,n＋2)）,所以所求的前n项和为4［（eq\f（1，2）－eq\f（1,3）)＋(eq\f（1，3）－eq\f（1,4））＋…＋(eq\f（1，n＋1）－eq\f(1,n＋2））］＝4（eq\f(1，2）－eq\f(1,n＋2))＝eq\f（2n，n＋2）。11．（－3，＋∞）解析因为数列｛an｝是单调递增数列，所以an＋1－an>0（n∈N＊）恒成立．又an＝n2＋λn（n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ（n＋1)－(n2＋λn）>0恒成立，即2n＋1＋λ>0。所以λ>－(2n＋1)（n∈N＊）恒成立．而n∈N＊时，－(2n＋1)的最大值为－3（n＝1时），所以λ的取值范围为（－3，＋∞）．12。eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(3（1－qn）,1－q），q〉0且q≠1，，3n，q＝1）)解析∵数列｛anan＋1}是公比为q（q>0)的等比数列,∴eq\f(an＋1an＋2，anan＋1）＝q，即eq\f（an＋2，an）＝q，这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q,又a1＝1,a2＝2，∴当q≠1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a2n）＝eq\f（a1（1－qn)，1－q）＋eq\f(a2(1－qn），1－q）＝；当q＝1时，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝（a1＋a3＋…＋a2